Л.М. Бреховских, В.В. Гончаров - Введение в механику сплошных сред (1119112), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Разнообразие снл, действующих на жидкие частицы прн нх движении, приводят к многообразным волновым двнженням. Мы рассмотрим основные типы волн в жидкости в так называемом линейном приблиясении, когда волны распространяются независимо друг от друга. В этой главе мы получим линейные уравнения для волн в жидкости н рассмотрим волны, обусловленные действием силы тяжести. Это прежде всего гравитационные поверхностные волны, возникающие на свободной поверхности жидкости, напри- 18й мер поверхности океана. К гравитационным также относятся и внутренние волны, возникающие на резких нли размытых границах раздела в толще жидкости.
Кроме того, в этой главе мы рассмотрим капиллярные поверхностные волны, обусловленные силами поверхностного натяжения. З 36. Линейные уравнения для волн в жидкости 36.1. Линеаризацня уравнений гидродинамикн. При изучении волновых процессов в жидкости мы должны исходить из основных уравнений гидродинамикн, полученных в гл. 6 (см. (6.9)„ (6.14) и (6.18) ): — + (ч Ч) ч = — — — и Ч г — 211 хч, дч Чр дГ Р (10.1 — + Ч (рч) = О, — = с' —, сэ = ( — ~ др ЫР ИР ! др т д~ а и ' (дР1, Здесь в уравнение Эйлера мы включили силу тяжести, направленную вертикально вниз, н силу Кориолиса — 2ЙХч, возникающую во вращающейся с частотой й жидкости (например, на вращающейся Земле).
Центробежная сила инерции, являющаяся, как-отмечалось в п. 21.3, потенциальной, может быть формально включена в потенциал силы тяжести, что изменит направление местной вертикали. Мы остановимся на теории распространения волн в идеальной жидкости, не затрагивая к тому же вопросы их возбуждения. Важным обстоятельством при исследовании волновых движе« ний в жидкости является нелинейность уравнений гидродинамн. кн (10.1), так что точная теория волн в жидкости будет нелинейной теорией.
Это приведет к влиянию одних волновых процессов на другие (взаимодействие волн) и к значительному усложнению процесса распространения волн каждого отдельного вида. Однако если возмущения жидкости, вызываемые волнами, в некотором смысле малы, то уравнения гидродинамнки могут быть линеаризованы относительно этих возмущений.
При этом теория волн в жидкости становится линейной и вступит в силу принцип суперпозиции (волны распространяются независимо друг от друга). Точный смысл условий малости возмущений мы обсудим ниже (см. гл. 14). Здесь же мы просто будем считать в уравнениях гндродинамнкн значение скорости о малой величиной, а возмущенные значения давления р и плотности р мало отличающимися от нх равновесных значений р, и р, соответственно После этого, положив р=р,+р', р=р.+р', преобразуем уравнения (10.1), сохраняя лишь линейные по чан(и, о, в), р' и р' члены (линеаризация уравнений). Для состояния равновесия имеем уравнения гндростатнки: чо=О, бра!Йг= — яо(г).
189 (10.4) При линеаризации нелинейный член (чЧ)ч в уравнении Эйлера выпадает, член же Чр/р преобразуется следующим образом: ЧР ЧРо+ЧР' ЧРо ЧР' Чяо Р + Р Ро (! + Р'/Ро) Ро Ро Ро Ро Аналогично преобразуется нелинейный член в уравнении нераз- рывности Ч(рч) =Ч((ро+р )ч) ~(йро/йг) !в+РоЧч и в уравнении состояния (с учетом (6.4) ) д и / ) о(Р Р Ро дР о(Ро Ж' д( о(г (, д( о(х Если теперь вспомнить, что Чр,=(йр,/йг)Чг, а также учесть уравнение гидростатики (10.2), то легко выписать линейную си- стему уравнений гидродинамини (штрихи у р' и р' опущены): — + — +а — Чг+2(гхч =О, дъГ ЧР Р Ро Ро — + — о!в+ Р,Чч =О, (1О.З) д( о(х др ! др )чо (о) — = — — +.
р — !в, д( со д( у где У*(г) = — й(р,-ойр,/йг+у/со) — введенная выше (см. (6.28)) частота Вяйсяля. 36.2. Линейные граничные условия. Для свободных волн в качестве «возвращающих» сил могут выступать силы, возника- ющие на границах области, занятой жидкостью. Наиболее важ- ной с этой точки зрения является свободная поверхность. В са- мом деле, пусть в состоянии равновесия поверхность жидкости является плоской. При выведении ее из этого положения суще- ствуют двоякого рода силы, стремящиеся вернуть поверхность в прежнее состояние: сила тяжести и сила поверхностного натя- жения.
В результате на поверхности жидкости возникает возму- щение, распространяющееся во все стороны в виде волны. Силы, возникающие на поверхности жидкости, должны вхо- дить в граничные условия для уравнений (10.3). Получим их в предположении, что в состоянии равновесия свободная поверх- ность является плоской (г=О). Пусть возвышение возмущен- ной поверхности описывается выражением 6=Ь(х, у, /).
Ско- рость возвышения поверхности й~/й/ должна совпадать с верти- кальной скоростью частиц среды (гв(х, у, г, /)), на ней находя- щихся (поскольку эти частицы не могут ни опережать поверх- ность, ни отставать от нее), что можно записать в виде о((, (х, у, !) о(о'уи! Ж 190 Аналогично из (10.5) с учетом (10.6) и р,(0) =р, имеем — ь+р!,+ = — оА 1+ де !, ч где А =ба/дх'+д'/ду' — оператор Лапласа по горизонтальным переменным. В результате, ограничиваясь только линейными членами, с учетом уравнения гидростатики (10.2) получаем линейные граничные условия на невозмущенной свободной поверхности а=О: ~1, = ~~, И, =- ур, (О) ь — 6 С. (10.7) 36.3.
Линейные уравнения для гидродинамических волн. В основных уравнениях (10.3) для волн в жидкости учтено изменение ее плотности за счет сжимаемости, которое описывается первыми двумя членами в уравнении состояния (третье уравнение (10.3)): дв 1 др д! с~ д! (10.8) Наиболее важным следствием сжимаемости жидкости являются акустические волны, которые будут рассмотрены ~в гл. 12. Здесь же рассматриваются поверхностные и внутренние волны, для которых сжимаемость проявляется лишь в виде некоторых малых поправок, которыми мы пренебрегаем. 191 Это так называемое кинематическое граничное условие на свободной поверхности жидкости.
Во втором, динамическом условии на свободной поверхности жидкости учитывается наличие скачка давления по обе стороны от границы, обусловленного силами поверхностного натяжения. Если давление в жидкости р,(г) +р, а давление над поверхностью р„то по известной формуле Лапласа р (ь) +р1.=! — р.= — а/с-', (10.5) где о — коэффициент поверхностного натяжения; /с-' — сумма главных кривизн поверхности ~, равная для поверхности г= =~(х, у, 1) я 1= 7(ч ь/у'1+(ч ь)з). (10.6у Граничные условия (10.4) и (10.5) также оказались нелинейнымн. Линеаризуем их, считая возмущение поверхности ь малым.
При этом, применяя формулу (6.4) для полной производной по времени, из (10.4) получаем гв),, + — ~ ь+ дв ! д1 дг д! я=о дь — — =О. д! Формально переход к несжимаемой жидкости можно осуществить, потребовав постоянства плотности в жидкой частице: йр/й/=О. (10.9) При этом непосредственно из точного уравнения неразрывности (6.9) следует, что при движении жидкости Чч=О. (10.10) С другой стороны, из точного уравнения состояния (6.18) при условии (10.9) имеем с-ойр/й1=0.
Но в общем случае йр/й/чьО, например из-за изменения гидростатического давления, поэтому в несжимаемой жидкости следует считать скорость звука с= со. Этот результат отражает тот факт, что в несжимаемой жидкости упругие возмущения распространяются мгновенно. Теперь уже не составляет труда получить из (1О,З) линейные уравнения гид- родинамики несжимаемой жидкости: — + — +К вЂ” Чг+ 2йхч = О, д Чр р Ро Ро (10.11) Чч =О, — — р,— ов = О, др 1Чо д1 'в где частота Вяйсяля /оо(х) = — др,-ойро/ах.
Граничные условия (10.7), не содержащие скорости звука с, останутся наизменными. Условием применимости приближения несжимаемой жидкости (с=ос) будет требование, чтобы скорость распространения рассматриваемых возмущений была значительно меньше скорости звука. 4 37. Гравитационные поверхностные волны 87.1.
Основные уравнения. При возмущении плоской свободной поверхности жидкости в гравитационных волнах возвращающей силой является сила тяжести. В граничном условии (10.7) ее влияние описывается членом ур,(0)~, равным давлению столба жидкости высотой ь. Исключим в наших уравнениях действие снл поверхностного натяжения, силы Кориолиса, архимедовых сил, положив для этого а=О, Й=О, р,=сопз1 (/ч =О, р=О) соответственно, и введем обозначения: пни(и, о) — горизонтальная компонента скорости частиц, Ч =е,д/дх+е„д/ду.
Тогда из (10.11) получаем уравнения для гравитационных поверхностных волк — +=~ =О, — + — ~ =О, Ч и+ — =О. (10.12) д1 ро д1 ро дг дг Из этих уравнений можно исключить горизонтальную скорость чо и давление р, выразив последние через вертикальную компоненту скорости частиц вн == — Ч, д р=р,— ' даи д ! дооо (!0.13) дг, д1дг д1дг 192 (10.14) Подстановка последнего в граничное условие при г=О показы- вает, что волна (10.17) существует не при произвольных значе- ниях й и е, а только прн удовлетворяющих дисперсионному со- отношению ар*=уй 1п йН. (10.19) Отсюда следует, что фазовая скорость гравитационной поверхностной волны зависит от частоты (волнового числа): се = ов/А ~ )~'уН "у"т'и'нН)нН.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
