Л.М. Бреховских, В.В. Гончаров - Введение в механику сплошных сред (1119112), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Отсюда следует, что плотность меняется только за счет прихода в данную точку частиц с другой плотностью, как это и должно быть в несжимаемой жидкости. Аналогично тому, как это было сделано для поверхностных волн (см. $37), можно вычислить энергию и-й моды в столбе жидкости от дна до поверхности с поперечными размерами в длину волны (Х=2п1я) вдоль направления распространения н единичной длины в перпендикулярном. Подробный расчет, проведенный в задаче 10.12, показывает, что кинетическая энергия равна потенциальной, и для полной энергии волны справедлива формула (ь 9 Еп = — — Хл ДФОП(0) + ( )У'(х) Фл(а) Ня, Хл =— -И (10.63) Естественно, что для поверхностной волны (п=0, Ф,(0) =1) в однородном слое (р,=сопз1, М'=О) выражение (10.63) переходит в сумму выражений (10.33) и (10.34).
Простейшей является волна первого порядка (первая мода), в которой согласно рнс'. 10.6, б все точки термоклина смещаются при данных г и 1 в одну сторону, так что весь термоклин как 208 целое приобретает волнообразную форму. Если при этом длина волны значительно превышает эффективную толщину термоклина (г,— г,) (см. рис. 10.6, а), но все же значительно меньше расстояния от него до границ жидкости, то для такой волны справедливо дисперсионное соотношение (10.45).
Напомним, что последнее получено для бесконечно тонкого слоя скачка (г,=г, г„У-+со, р,=р,(г,) )р,(г,) =р,). Волновые движения в этом случае концентрируются вблизи уровня г„г, и экспоненциально убывают при удалении от него (см.
(10.44)). Для оценки встречающихся на практике величин возьмем случай двух граничащих друг с другом однородных полупространств с типичным для океана относительным перепадом плотности Ьр/р,=(р,— р,)/р,АЙ[0-'. Тогда из (10.45) получаем для волн с периодом Т=2п/ге=1200 с: Ь=2п/Х=(в*/л)2р,/Ьр, А =1,2 км.
40.2. Модель океанского волновода. Для иллюстрации общих закономерностей рассмотрим следующую модель волновода в океане (рис. 10.7). В верхнем, прилегающем к свободной поверхности слое воды ( — Ь,<г<0), частота Вяйсяля в котором мала из-за перемешивания водных масс, положим У,=О. Область термоклина моделируется слоем жидкости ( — Ь,<г< — Ь,) с постоянной достаточно большой частотой Вяйсяля У,. В придониом слое ( — Н<г< — Ь,) частоту Вяйсяля будем считать постоянной и райной У,<У,. Равновесная плотность жидкости р,(г) предполагается непрерывной на границах раздела слоев. г= — Ь, н г= — Ьь Выпишем для этого случая решение уравнения (10.59), удовлетворяющее условию (10.60) на свободной поверхности и обращающееся в нуль на дне (г= — Н). В приповерхностном слое (У,=О) функция Ф(г) =Ф,(г) имеет вид Ф,(г) =а,аййг+Ь, сп Ьг, — Ь,<г<0.
Связь между постоянными а, и Ь, можно найти нз условия (10.60); Ь,=а,гэ'/йЬ, так что Ф,(г)=а,(зййг+бсййг), 6=в*/9Ь. (10.64) В области термоклина ( — Ь,<г< — И,) общим решением уравнения (10.59) является функция Фэ(г) = а,з[п [Ьа,(г+ Ь,))+ Ь,соз[йа (г+ Ь1)[, аэ = 'г' У,'/оР— 1. ( 10.65) Наконец, записав решение в придонном слое в виде Фэ(г) = а, й [Ьа,(г+ Н)), а, = 'г' 1 — У*,/а', ( 10.66) мы удовлетворим условию при г= — Н. Потребуем теперь выполнения граничных условий на горизонтах раздела слоев г= — Ь, и г= — Ь„ а именно равенство 209 нормальных скоростей в=д~/д1 и полных давлений р,+р по обе стороны от границы. В случае непрерывной р,(г) (см.
(10.44')) эти условия для функций Ф,(г) (1=1, 2, 3) примут вид: ф,(-й,) =Ф,(-й,), (Р, (-й,) =Е, (-й,), (10.67) Ф,( — й,) =Ф,( — Ь,), Ф,'( — Й,) =Ф,'( — Ь,). Здесь, как обычно, штрихом обозначена производная по г. Под- 210 становка в (10.67) функций Ф,(г) приводит к однородной систез ме уравнений относительно амплитуд аь Ьз. ( — вн ~з+6 сн ~з) а, = Ь„(с)т ~з — б вй фз) а, =зхза„ вЂ” азв!по+ Ь,сова =а,вйрз, а,сова+ Ь,в!по =а аз сп!)„ о« (10.68) где введены следующие обозначения: з з ™зз О Йюзз з з з — Йз Йз Из — Йазз"3 (10.69) а,=Н вЂ” Й Приравнивая нулю детерминант системы уравнений (10.68) или же просто исключая, например, величины а„Ь, и а., получаем уравнение для определения собственных значений Й„(гэ): 1 — бй р, +а',(6 — йрз) — '|в!по — а,х аз 1 х [6 — й ~з — (1 — 6 й ~з) — '~ сов о = О.
й бз1 (10.70) ! аз 1 Если частота волны в задана (тем самым фиксированы значения величин «вз и «вз), то,-выражая нз (10.69) волновое число Й через о (Й=о/зхзз!з) и подставляя последнее в р„рз и б, получаем в результате в левой части (10.70) функцию только переменной о. Корни последней о (в) (а=О, 1, 2, ...) н определяют собственные значения Й„(гэ) =о„(а)/азИз. 40.3. Поверхностная мода. Условие «твердой крышкиэ. Если частота волн гэ>Н,>6/., то в (10.70) зхз вместе с о становятся чисто мнимыми (аз=г71 — Нз/зо').
При этом в!по=!вп!о~, сов о=си!о~, а уравнение (!0.70) уже не будет содержать осцнллирующнх по о членов. В силу этого последнее имеет только один вещественный корень Йз(зэ), соответствующий поверхностной волне. Как мы уже отмечали выше, на глубокой воде (Й,Н»1) поверхностная волна (10.32) является решением исходной системы уравнений прн произвольной зависимости Н(г). Покажем теперь, что в нашем конкретном случае и прн «з(6/з наименьший по модулю корень о, уравнения (10.70) соответствует поверхностной волне. Предположив, что при этом о, вместе с р, н р, малы, разложим левую часть (10.70) в ряд Тейлора, ограничиваясь только линейными членами: оз — аз (б — ~з — ~з/аз) = О. Отсюда, подставляя выражения (10.69) и 6 из (10.64), получаем обычное днсперсионное уравнение гэз=йНЙ' для поверхност- 211 ных волн на мелкой воде. Прн этом для величины о, имеем а а ва- ' /И '1 а ИЫ о, = Ааааа', — ( — — 1~ ав < — = е — * ((1, яи ( / яи и где параметр Иан, 1 Др, Др а ( и1 «" Ра «в Ра (10.71) Ф,(0) =а,ожаа(сЬа ра+авв зЬв р,) «Аб«А.
Справедливость условия «твердой крышки» обусловлена тем, что пропорциональная бра сила, приводящая к заметным вертикальным смещениям Ь внутренних слоев жидкости, вызывает лишь незначительное смещение свободной поверхности (-ьЛР/р), где совершается работа против полной силы тяжести (-и) 40.4. Внутреннне моды. Анализ внутренних волн в волноводе проведем в приближении «твердой крышки», что соответствует параметру б, равному нулю. В частности, днсперснонное 212 Здесь Др (порядка 1О-' г/см' в реальных случаях) — перепад равновесной плотности ра(з) в термоклнне. Следовательно, наше предположение о малости о, в условиях океана оказалось справедливым. Отметим, что н условие мелкой воды выполнено: аавИ У„'И Й~Н = — <.'— ' = е <1, У У а параметр б=овв/фг,=й,И также мал. Собственные значения высших номеров й (ы) (л=1, 2, ...— внутренние моды) соответствуют значенням о„»о, (последовательные ветви 12о прн записи (10.70) в виде 12о=р(п)).
Прн этом волновые числа волн й„=о„/аав/,.2л„а параметр б становятся еще более малым. Отсюда следуют два важных вывода. 1. Прн равных частотах внутреннне волны существенно короче (длнна волны меньше) поверхностной. Следовательно, фазовая скорость последней значительно больше фазовой скоростн внутренних волн. 2. Для внутренних волн хорошо выполняется условие «твердой крышки» (ш1,,=0). В самом деле, если ввести амплитуду внутренней волны в термоклнне А=уйа+б.в (см.
(10.66)), то нз системы (10.68) легко получить оценку для величины аа: а,ж«вв(сЬвб,+ава зЬ' ба)-ьА. Прн этом на свободной поверхности а=О нз (10.64) следует, что уравнение (10.70), определяющее собственные значения, примет внд 1да =Р(а), Р(а) =а,~1!срс+ — '1Га,'!пр, — ' — 1) (10.72) Правая часть последнего, являкнцаяся функцией только а, обращается в нуль при а=0.
Рассмотрим сначала случай достаточно высоких частот У,< <со<й/ь для которых р,=йу'1 — /у,'/со*0, вещественно. В этом случае при а«1 правая часть (10.72) отрицательна, а при а-~- -~-оо Р(а)-~-Р„=сс,(1+ос,)/(а,' — сс,). Если сс,'>сс, или с учетом (10.65), (10.66) ш (сов = Л!в/(2 Ис/Ис) (10.73) то функция Р(а) имеет аснмптоту а=а„определяемую из уравнения сс,* 1й (), й р, !о, —— а,. На рис. !0.8 схематически изображены графики правой и левой частей уравнения (10.72) для со<со, (а) и со>со, (б). Точки пересечения кривых соответствуют корням уравнения (10.72) а.
(ш), определяющим собственные значения й. (со) = =а„(со)/сссс/ь 10ак видно яз рисунка, значения а„(со) заключены в следующих пределах: пп — сс/2<а (со) <пп при со>со, или со<со„но а<а„ (и — 1)я<а„(со) <пп — и/2 при со<со, и а>а,. Воспользовавшись выражениями (10.65) и (10.69), выпишем дисперсионное соотношение (связь между со и /с) для внутренних волн в неявной форме аа = /у,' ас4сс (10.74) «ЧФ + о„' 1~) Отсюда заключаем, что при й-~оо (короткие волны) со-~й/„т.
е. частоты всех внутренних мод становятся близки к максимальной частоте Вяйсяля. При этом правая часть уравнения (10.72) всегда мала (Р(а) -сс,ч,;.1) и а„- пя. Собственные функции Ф(г) в области частот У,<со<Ус достигают максимального значения в термоклине, а при удалении от него экспоненциально убывают (см. (10.64) и (10.66) при 6=0), причем скорость убывания растет с увеличением частоты, т. е.
на высоких частотах внутренние волны сосредоточены в термоклине. В области низких частот (со<У,) параметр сс,= 1'! — Н,'/со* вместе с р, становится чисто мнимым. Следовательно, в выражении (1066) зп1ла,(г+Н)) переходит в !э!и [й!а,!(г+Н) ! 213 и собственная функция Ф(з) становится осциллирующей и при з< — Ль В дисперсионном уравнении (10.72) следует также положить 1й Р,=(1я ~0,~, так что его правая часть уже будет осциллирующей функцией а. Мы ограничимся анализом случая очень низких частот (се-~.О) (гидростатичесное приближение).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
