Л.М. Бреховских, В.В. Гончаров - Введение в механику сплошных сред (1119112), страница 44
Текст из файла (страница 44)
При этом х,жУ,/в-~со, сс,=(У./сс-~со, но параметр а=АУ,И,/е остается конечным, следовательно, й = ото/4У,-~О. Тогда а =У,И,/се, Р,=(У,йз/се=/вУ,4/УЩ, где сф=в/я — фазовая скорость волн. Переписав теперь днсперсионное уравнение (10.72) в виде 1ц а= (У.Ь,+с, 1К ! Р. !)/(У.й, 10 1 Р.! — С,У,/У,), заметим, что последнее зависит только от се и не зависит от частоты. Это означает, что на низких частотах фазовые скорости внутренних мод, являющиеся корнями уравнения (10.75), не зависят от частоты, т.
е. низкочастотные внутренние волны в волноводе распространяются без дисперсии (се= (с )„й). Собственные функции Ф(з) на низких частотах в верхнем слое ( — Л,<а<0) будут линейно убывать при удалении от границы термоклина вплоть до нуля при г=О. Однако в слое ниже термоклина амплитуда внутренней волны может быть сравнима с ее амплитудой в термоклине. Более того, при У,а,>У,й, ()р,) >о), как это обычно наблюдается в условиях океана, первая внутренняя мода будет иметь максимальную амплитуду в слое ниже термоклина. Проведенный анализ позволяет схематически представить ход дисперсионных кривых системы поверхностной (и=О) и внутренних (1 — 3) волн в океане (рис. 10.9).
Можно показать, что в общем случае произвольной У(з) (см. задачу 10.17) каждая дисперсионная кривая является монотонно возрастающей (с(ы/Ий=с„,>0). В области низких частот дисперсионные кривые линеййы с уменьшающимся при увеличении номера моды наклоном. Отметим, однако, что в реальных условиях океана на частотах, сравнимых с частотой вращения Земли, ход дисперсионных кривых будет иным (см. гл. 11).
Отметим, также, что в случае волн в атмосфере в качестве модельной задачи лучше было бы взять неограниченный в положительном направлении слой з> — Л, с отличной от нуля частотой Вяйсяля (У,<У,). При этом волноводные моды (захваченные волны) возможны только на частотах св>Уь На более низких частотах в верхнем слое атмосферы могут существовать не захваченные волноводом распространяющиеся волны, в частности гармонические плоские волны. В этом случае из области возбуждения (обычно низкие слои атмосферы) энергия будет уходить вверх. Задачи 10.!. Пусть при х=О возбуждается спектрально-узкий пакет гравитационных поверхностных волн на глубокой воде содержащий М~! периодов колебаний частотой ю», модулированный медленно меняющейся функцией времени: и[ «=Р(/)ехр( — /ве!), Р(!)=О при/(0 и !>Т 2лН/ыз- Определить; а) число гребней волн Н, на поверхности, которое увидит неподвижный наблюдателю б) сколько колебаний Нз совершит наблюдатель, находящийся в лодне при прохождении данного волнового пакета.
Решение. Пакет волн распространяется с групповой скоростью, т. е. ш(х, /)=Р(/ — х/с„р)ехр[/(Аег — ю,/)), йе=м»»/л. Для стороннего наблюдателя в момент времени / пакет будет занимать в пространстве интервал длиной /. = Те, р, на котором уложится число волн Н, =/ й«/2л = Тй»с»р/2л= =2л(Н/ем)денар/2л=Усгр/се. Но так как дляволн на глубокой воде с,р св/2, то М,=М/2.
Для наблюдателя, находящегося в лодке в точке х, время про. хождения пакета волн равно Т, за которое лодка совершит Нз Тм,/2л И колебаний. 10.2. В каком случае наблюдатель с берега реки со скоростью течения оз может увидеть неподвижную стоячую волну (ы=О) с гребнями поперек русла. Р е ш е н и е. Форму свободной поверхности, имеющую вид стоячей волны для неподвижного наблюдателя, можно записать таким образом: а Ь = а соз йх ехр ( — /ю!) — (ехр [! (й г — ы!)) + ехр [ — (йх + ем) [) . 2 В системе координат, связаыной с движущейся водой г' х — ор!, имеем а (ехр [! (йг — ыг/))+ехр [ — ! (йг +ы !)и, ю ~ Оз — йое, юз и+две. Но в этой системе координат должно выполняться обычное дысперсиониое соотношение для волн (ю — йо»)г=йй (в+Ар»)з, что возможно только прн а= 0 н 0=л/о»е.
При этом ь=а соа (дг/ое~) =а соа [й(х'+из!)). Таким образом, в неподвижной отыосительно воды системе координат мы имеем бегущую со скоростью течения навстречу ему волну, которая для наблюдателя на берегу соответствует неподвижной (в=О) возмущенной свободыой поверхности с пространственным периодом возмущения 2л/0=2лоез/й. !О.З. Показать, что в бегущей поверхностной волне центр тяжести «всей» жидкости остается на одной глубине, а в стоячей совершает колебания с удвоенной частотой. Решение. В состоннии покоя (ь=О) центр тяжести жидкости находится на уровне г»= — Н/2 (см'. рис.
10.1). Рассчитаем вертикальное смещение центра тяжести Ьг столба жидкости шириной в длину волны й при ьчиО. По определению центра тяжести имеем ь Ил (г — г,— Лг)да=О. и гг /ь О»~ у у * ~[и О) е ь аг (2нх)-1~ ьзаг, Для берущей волны ь=асоз (йг — в!) получаем аг= е =аЧ4Н, для стоячей ь асов йг сов ы! имеем Лг=аз(!+сов 2ю!)/ОН. 215 10.4. Найти волновое поле при отражении гармонической граввтацноннокапиллярной волны от абсолютно жесткой вертикальной стенка. Решеыие. Пусть стенка расположена перпенднкулярво оси х пря х=О, Запишем падающую волну в анде (1ОЛ7) с Ф(г) вэ (10.18): ш+ ЬФ (г) ехр [! (й с + й„у — ы!Ц, где в и й=!й '+й„' удовлетворяют дисперсвовному соотвошевшо (10.39). !1ри отршкенин волны сохраыяются се частота ю (волыовое число й) а проекция волнового вектора й„ на границу, так что для отраженной волны получаем ю '»ЬФ(г)ехр(!( — й х+й,у — ы!Ц, где У вЂ” коэффициент отражения.
На жесткой стенке обращается в нуль нормальная составляющая скорости частиц и„для которой в соответствви с формулой (10.24), справедливой также и для граантацноыно-капвллярвых волн, вмеем: (и+) ! — ЬФ' (г) ехр(!(й х+й у — м!Ц, й, (и„), — ! — 'гЬФ' (г) ехр (! ( — йгх+ й,у — м!Ц. Приравнивая сумму (и+) +(и )» нулю при х=О, находим»'=1. Следовательно, полное волновое поле для г~О будет ю в++ ю„2ЬФ (г) ссм й„сехр (! (й„у — ы!Ц.
В случае нормального падения волны ыа стенку (й»=0) получаем стоячую поверхностную волну. 10.6. Определить частоты собстаеыиых колебаний несжимаемой жидкости з бассейне глубаной Н с прямоугольным горизонтальным сечепыем дланей й и ширныой Р. Стеыкп бассейна жесткие. Найти наименьшую частоту колебаыий. Решение. Общим гармоническим решением уравнения (10.14) для волы в бассейне будет функция ш ЬФ(г)ехр(-йз!)/(х,у), где /(х,у) — комбинация экспонент вида ехр(!(жй хжйзу)1, юз уйЧЪйН. Но а предыдущей задаче показэыо, что коэффициеыт отражения позерхаостных волн от зертакальньш шестках граивц равен единице. Следовательно, ю(г, у, г, !) будет иметь внд стоячих воли как по х, так и по у.
При этом, если положить /(г,у) =соз й х соя й„у, то нормальные к стенкам бассейна х=О а у=О составляю. щие скорости частиц и,=й-здзю/дхдг а и„=й-'д'ы/дуда обратятся а ыуль. Потребовав, чтобы зги скорости обращались а нуль иа противоположных стенках и»)» ь 0 ы и»(з э О, получаем соответственно з!пй /. О, (й»)» ии//, (и О, 1, 2, ...) и з!пй,Р=О, (й„) =ти/Р (т О, 1, 2, ...). Отсюда для волновых векторов и частот собственных колебаний имеем: ч/ из шз - ы 1/ — + —, ы' = уй„(й й, Н. г й Р Положив для определенности Ь)Р, найдем нанмеиьшую частоту ем!„— — ы~з ° 3 =(уи/!,)1)з(иН/Ь) (йми =йм=ы/й).
Например, для Н=40 м, !.=1 км находим /»ш=10-з гц. 216 10.0. Получить дисперсноыное уравыение для волн в жидком слое толщиной Н, состоящем иа двух жидкостей с плотыостямн р~ ы Рь граничащих ва глубине Ь. Верхнюю границу слоя (г=О) считать свободной, нижнюю (г= =* — Н) — абсолютно жесткой. Рещение. Ищем решение уравиеыня (1ОИ4) в виде в=Ф(г)сир[1(йг— — в1)], где функция Ф(г) удовлетворяет уравнению Ф" — й>Ф=О. При — Ь< <г<0 н — Н<г< — Ь запяшем общее решение последнего уравнения в виде: Ф,(г) Ь,ьЛйг+с~сЛйг, Фз(г) Ь,ьйй(г+Н) соответствеыно.
При этом Фз( — Н) =О. На свободной границе (г=О) функция Ф~ удовлетворяет условию (Ф~' — йй>Ф~/вз), ь —— О. Отсюда имеем связь между постоянными Ь| и с,: Ь|=ййс~/вз. Условия для Ф~ н Фз на границе раздела следуют из условий (10.44') Ф~( — Ь) =Фз( — Ь), яй>ЬРФг( — Ь) =вз(Р«Ф>'( — Ь) — Р~Ф~'( — Ь)], ! 1, 2, ЬР Р> Рь Отсюда получаем связь между постоянными Ьь с, и Ьз. — Ь| зЛЬЬ+ с~сЛЬЬ = ЬзьЛйб, б= Н вЂ” Ь, ай>ЬРЬ«ьЛМ= вз (Рзйзсййб — Р А сЛЬЬ+ Р, с ~ ьЛЬЬ) й. С учетом Ь, =айс,)вз находам еРзЬЫ зЬЫ еР сг йз — —— Ьз оР сЬ йй — яй зЬ йй сЬ йй вз — яй 1Ь ЬЬ и дисперснонное уравнение для вола в слое (еР— яй 1Л ЬЬ) ~вз — — яй рл Ы) — еР 1Л Ы (яй — еР 1Л йгйй ЬР 1 Р Рз Рз 10.7.
Провести анализ дисперсионвого уравнения предыдущей задачы, рассмотрев частные случаи: з) ЬЬЪ1, Ыг>1; б) Ьр/рз»1. Решение. Исходное дисперсионное уравнение является квадратным относительно вз. Следовательно, оно содержит две ветвы дисперсконных кривых: в« вз(й) в в, =в,(й). В случае «а>, положив 1ЛЬЬ=(Лйб= 1, легко находим вез= яй — поверхностная волна на глубокой воде и вР=ЬРйй/(Р~+Рз) — вол. на на границе раздела двух сред. В случае «б> (р~гмрз=ре) вылижем явный вид уравнения для в' (1+1ЛЬЬ(ЛЬ«()⫠— яй(ИЙЬ+1Лйд)в>+я>йг(АР/Рз)ИЙЫЛЫ=О и его корни Игй(Ь+б)( ) 4ЬР с)ЛЬ(Ь+«() 2 ( ! Рр с1ЬЬЬ+с)Л Ы ] Разложив квадратный корень в ряд Тейлора, получаем: в>з йй(ЛЬН вЂ” поверхностная волна в слое и в,' ° — Кй (с1Л ЬЬ + с1Л Ы1 ' Ьр (10.76) Рз — внутренняя волна нз разделяющей поверхностя с учетом границ г О и г= — Н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
