Л.М. Бреховских, В.В. Гончаров - Введение в механику сплошных сред (1119112), страница 47
Текст из файла (страница 47)
11.1). Аналогия с внутренними волнами сохраняется и при отражении от границ: волновой вектор х' отраженной волны должен составлять с вертикалью (направлением й) тот же угол, что и волновой вектор х падающей волны. Длина волны в общем случае произвольного наклона границы меняется при отражении. Движение частиц жидкости в инерционных волнах будет отличным от их движения во внутренних. Напомним, что в последних частицы двигались по прямым линиям, перпендикулярным волновому вектору и лежащим в плоскости, содержащей х и ось г.
Для волны (11.5), воспользовавшись (11.3), найдем горизонтальные компоненты скорости: с Рнн. 11.1 г -Лу Рнн. 114 Рнн 11.1 ~~нгн гР Рнн 11.6 Рна. 1! 5 с РРА'с сс Ф Фллм 1сссссес, ессс. Действительно, хч = »2и + йзп -1- »,в = у»' .р»» = — »,~ ° +;" »1 22 »1 »2 ! — ) в+»1в =О. .Г ~1~З~ ~ »2) Без ограничения общности можно положить»„=О (»„=»). Кроме того, в (11.5) положим »=В ехр (1а), ф=»„х+»,г — 22!+а. Тогда для вещественных частей (11.5) и (11.8), которые только и имеют смысл, будем иметь: 1 2 и = — — *в = — — *Вспаши, »» д», и =- — — *Вз!п2р, в=Всоз2р 22» Теперь легко видеть, что ч' = и'+ и'+ вз = /»1, Р' »,' Х1 = ! — * созз ф+ —, — * з!пз,2р+ созз2Р) В' = —, В' = сопз!. »1 Х' »1 228 Здесь мы также использовали дисперсионное соотношение (!1.6).
Таким образом, частицы жидкости в инерционной волне движутся с постоянной скоростью. Учитывая также периодичность процесса с частотой в, можно заключить, что траектории частиц — окружности во фронтальной плоскости (перпендикулярной х радиусом А=хВ/е2» (А»2= !к!).
Причем во всей фронтальной плоскости движение сиифазно, т. е. вся плоскость движется как единое целое (без деформаций) и таким образом, чтобы траектория каждой ее точки была окружностью. Различные фронтальные плоскости имеют разные фазы движения, поэтому в жидкости возникает градиент давления, естественно, направленный по х (7р-х). Рассмотрим баланс сил и ускорение частиц в инерционной волне. Вектор ускорения каждой жидкой частицы а„ (центростремительное ускорение) лежит во фронтальной плоскости.
В соответствии с уравнением Эйлера (а„, = до/д! = — 7р/р2 — 2ЙХч) центростремительное ускорение может быть вызвано только составляющей силы Кориолиса 1ь лежащей во фронтальной плоскссти. Ее другая составляющая уравновешивает возникающий градиент давления. В самом деле, = — 20~Хи, где !222 ~ =Я соз6 — составляющая вектора Я, нормальная фронтальной плоскости. Так как Й1Л.ч, то 12= =20исозй=а~!ч'1=з2'А — известное выражение для центростремительного ускорения при движении материальной точки по окружности с угловой скоростью е.
41.3. Волны в однородном жидком слое. Приложение к геофизике. Простейшее решение для инерционных волн в жидком (11. 10~ где оператор (ИЧ)'= (И„д/ду+И,д/дг)'=И„*д'/ду'+2И„И,У/ /дудг+ И,'У/дг'. В задачах геофизики часто используют так называемое «традиционное» приближение. При этом пренебрегают членами, содержащими И„. Мы видим, что для гармонических волн вида 229 слое получается в случае, если границы слоя перпендикулярны вектору угловой скорости И.
Считая, например, границы абсолютно жесткими и расположенными прн г=О н г= — Н, запишем решение уравнения (11.4) в виде суммы двух плоских воли (11.5) с противоположными по знаку, но равными по модулю й;. в=5 з!и [й,(г+Н) ) ехр [1(аг — Ы) ), (11.9) где й= [к[; й, и ш удовлетворяют дисперсионному соотношению (11.6). Как н должно быть, и[, а=О; приравняв нулю верти-. кальную скорость на верхней границе (ш~,,=О), найдем возможные значения й,: зйп й,Н=О, й,=нл/Н, о=1, 2, Дисперснонное соотношение для инерционных мод в жидком однородном слое получится прн подстановке последнего выражения в (11.6): Примерный ход днсперснонных кривых показан на рнс. 11.3, цифры соответствуют номеру моды. Частота любой нз мод монотонно убывает с ростом волнового числа й, т. е.
групповая скорость дв/дй отрицательна. Это, в частности, означает, что спектрально-узкий волновой пакет будет перемещаться в противоположном вектору й направлении. В природе инерционные волны наблюдаются в океане н в атмосфере. Для волн, длина которых очень мала по сравнения» с радиусом Земли, кривизной последней можно пренебречь н считать приближение жидкого (воздушного) слоя с плоскопараллельнымн границами достаточно хорошим. Однако наде отметить, что на вращающейся Земле направление оси г, совпадающее с направлением местной вертикали, будет параллельно И только на полюсах. Это вносит в нашу задачу некоторые особенности, чтобы понять нх, направим ось у, как это принято в задачах геофизики, с юга на север, ось х — с запада на восток (перпендикулярно плоскости рис.
11.3). В этом случае И=[0, И„, И,)=[0, Исозф, Из(пф), где ф — широта места. Уравнение для вертикальной компоненты скороств, аналогичное (11.4), запишем в виде (см. задачу 11.1) — Лв+ 4 (ИЧ~' в = О, еэ (11.1Ц дР (11.5), когда д/ду=й„, д/де= й„это справедливо, если !й„й„~~~Я,й,! или !А„~ << !Й,! !дар.
Другими словами, про- етрайственный масштаб изменения волнового поля в верти- кальном направлении должен быть значительно меньшим, чем в горизонтальном, а широта места не должна быть слишком малой. В этом приближении уравнение (11.11) переходит в (11.4) с параметром Кориолиса Г=2 й з|п ф. $42. Гравитационно-гироскопические волны 42.1.
Общие уравнения. Простейшая модель среды. Гравитационно-гироскопическими называются волны, в которых, кроме силы Кориолиса, важную роль играют также гравитаци- онные силы. Рассматривая их, мы будем учитывать и плотност- ную стратификацию среды р,(г). При этом первые два и по- следнее уравнения (11.2) останутся в силе, изменится лишь третье уравнение и добавится уравнение состояния — + — — +й — =О, — — р — ш= О.
дв 1 др р др ЛП Ра де Ря дг у Ограничимся приближением Буссинеска, считая явно входящую в уравнения р, постоянной. Нижнюю границу слоя (г= — Н) бу- дем предполагать абсолютно жесткой (я~~,= и=О), а верхнюю (а=О) — свободной с граничными условиями (10.7) при о=О: — — др,ш) = О. др д! (11.13) Выражения (11.3) для давления и горизонтальных скоростей остаются справедливыми, поскольку они получены без обраще- ния к третьему уравнению (11.2).
С нх помощью уже не состав- ляет труда получить из (11.12) и (11.13) уравнение и гранич- ные условия только для ге: ди — Ьв+Рэ — ~+ 3/'Л ш =О, д (11.!4) !!дР / дг Представим вертикальную скорость в виде гармонической волны ш=Ф(г) ехр [!(1гг — гэ!) ), й= — (й„, й„). (11.15) Тогда из (11.14) для функции Ф(г) получаем следующую крае- вую задачу: Ф" +й "*'*' "' Ф=О, Ф( — Н)=Ф (О) — '"* Ф(О)=О. м' — Р~ оР— д' (1!. 16) Собственные значения й„(в) этой задачи и соответствующие им собственные функции Ф„(а) определяют волновые моды во вра- щающемся жидком стратифицированном слое. 230 (11.18] 231 Рассмотрим вначале наиболее простую модель жидкого слоя с №(г) =сонэ!, для которой решение задачи можно довести до конечных формул.
Это позволит нам получить представление о возможных волновых движениях во вращающемся жидком слое. В этом случае решением уравнения (11.16), обращавшимся в нуль при г= — Н, будет функция Ф(г) =Ь япа(г+Н), а=йУ(№ — «в')/(«з' — Р»), (11,17) где параметр а может быть и чисто мнимой величиной а=их' (при этом яп х(г+Н) =! з)!а'(г+Н)): Подстановка выражения (11.17) в граничное условие при г=О приводит к дисперсионному уравнению для волновых мод: 1п о =, сР = а'Н' = н»Н» и (Ф~ — «в) № — н» ев вв — Е' Мы будем анализировать (11.18), фиксируя частоту волн е, и ограничимся только такими его корнями, которые приводят к вещественным значениям й (распространяющиеся моды).
42.2. Классификация волновых мод. Прежде всего отметим, что при всех «в>Р уравнение (!1.18) имеет по крайней мере один корень о, (наименьший по модулю), соответствующий поверхностной волне. При йН с.1 (длинные волны) его можно найти, положив !пожо. В результате, учитывая также смысл о' из (11.18), получаем: о,~=н(Н вЂ” щ~)/И, ~~=Р+КНЬ. (11.19) Отсюда следует, что частота поверхностной волны всегда выше, чем Р=211 яп <р.
При дНА*»Р' имеем обычное соотношение для поверхностных волн на мелкой воде (е/й)'=с«'=дН, В случае ге'>№>Р' уравнение (!1.18) имеет только этот единственный корень о,. Далее, замечаем, что это уравнение не имеет волновых решений типа (1!.15) с вещественными в и й в случаях, если №>Г'>ге' или Р'>№>в'. При этом о'<О и знаки правой и левой частей уравнения (11.18) противоположны. В результате нам остается рассмотреть два случая: 1) №>ы*>Р' — случай внутренних волн, возмущенных вращением Земли; 2) Р>в*>№ — случай инерционных (гироскопических) волн, возмущенных наличием силы тяжести и стратификацией. Не будем рассматривать малые о — поверхностные волны, имеющиеся в первом случае.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
