Л.М. Бреховских, В.В. Гончаров - Введение в механику сплошных сред (1119112), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Для бароклинных волн Россби хорошо выполняется приближение «твердой крышки» (и(1,,=0). По аналогии с (11.45) собственное значение т„ бароклинных волн записывают в виде м„=1(йН„, причем Н= =Н,>Н,>Н,» ... Н„>... Величины Н„размерности длины называют эквивалентной глубиной.
В заключение представим дисперсионные зависимости для всех волн в несжимаемой вращающейся жидкости графически (рис. 11.7). При этом в силу анизотропии волн Россби нужно построить днсперсионную поверхность чо=ш(л„, й„), сечение которой плоскостью (оз, й ) и представлено на рис.
1!.7. Полная поверхность ш(й„, й„) получится мысленным вращением картинки вокруг оси ш. При этом частоты волн Россби будут уменьшаться в соответствии с множителем сова (см. (1!.43)). Дисперсионные поверхности для остальных волн будут практически поверхностями вращения. На рисунке приведены также без соблюдения масштаба типичные для океана периоды волн. Задачи !1.1.
Получить уравнение для волн в однородной вращающейся жидкости в случае произвольного направления вектора угловой скорости й по отношению к осям координат. Решение. Если применить к первому уравнению (11.1) операцию го(, то с учетом го(т(р=о и го1(й Хт) = — (й тг)т систему (11л) запишем покомпонентам в виде: д (дш дп! д (ди дш! — ( — — — ) — 2(йтг)и=о, — ~ — — — ) — 2 Я!()о=о, д( !,ду дг! ' д( '!дг дх(' (11.46) д !до ди! ди дп дш — ~ — — — ) — 2(йт()ш=о, — + — = —— в( 1( дх ду ) ' дх ду дг Продифференцируем теперь первое уравнение по у, второе — по х и вычтем одно из другого.
В результате будем иметь — Ь ш — — ( —. + — ) + 2 (й т ) ( — — — ) = О. д дз до ди до ди Дифференцируя последнее соотношение по 1 и воспользовавшись третьим и 240 четвертым 'уравнениями (!1.46), получаем искомый результат: — йю + 4 (ЙР)з ш = О. бз дР 11.2. Найти нормальные волны в однородном слое с горизонтальнымн абсолютно жесткими границами, отказавшись от «традиционного приближеиияь (вектор Й не вертикален). Решение. Ищем решение уравнения предыдущей задачи в виде ш = Ф (з) ехр !Е(йг — юг) ), при этом для функции Ф(з) получаем уравнение ~«~1 сг «1 й + й Ф +й Ф О ~«21)г' общее решение которого имеет вид Ф(а) =Ьеехр((а+а)+Ь ехр((з з), где и+ и а — корин характеристического уравнения з 1 аз+23 и — Ьз =О, Эти корин будут аа=й,«йй,", где р,р .
/ ы'(Р,+ р'1~ — ыз) ~г о' (~г ы ! Пусть теперь границы слоя расположены на уровнях а=О я з= — Н, тогда решение Ф(а), обращающееся в нуль при э= О, имеет вид Ф (з) = Ь ехр (13'н) мп й г. Очевидно, что удовлетворить условию на нижней границе (Ф( — Н) =О) можно только ислучае вещественных Ь,", т. е, если й!з ыз (~Р + Г~1~ — — 4(Ь~ + 4 (() — ), при этом Ь,"Н=пн (п=1,2,3,...). Отметим, что полученное решение отличается от (11.9), соответствующего «традиционному прнближеннюэ (ЯМ=О в нашем случае). В частности, частота инерционных воли может-быть больпп. параметра Кориолиса г,=20,.
11.3. Получить дисперсионные зависимости для нормальных волн задачи 1!.2. Р е ш е н и е. Искомые дисперсионные соотношения получатся, есля решить относительно ю уравнение Ь,«Н пи предыдущей задачи. Имеем ы (~чз+ ~! ы ) лзнз (и )* Ь*н 241 откуда следует квадратное уравнение относительно ез: ( — ) я'лз ! ( язлз язцз ! + — ) — (2 — Рз + Р' + Р' ) ее+ — Р' = О, йзНз ) ~ йзН * * !) йзн корнями которого будут езе (2в ц Рез+(Рег+ Р1) й Н вЂ” йН (( з+ Р!!) й Н + + 4язцзРРе! ) Б)/[2 (язлз + йзНз)). Следовательно, имеются две ветви дисперсионных кривых.
Заметим, однако, что в случае ййчЬО(направление й совпадает с осью г) е+'=Р,з=4й,', е' =Р,зи'из(язпз+йгНз)-', так что только ветвь е соответствует инерционным волнам (см. 11.!0)). Рассмотрим подробнее случай ййФО. При лН- 0 (длииные волны) имеем Р,Р„ гг е' = Рз +- — йН = г яц йн =4йз щ4 й (й — ). *( й) Дисперсиоиные кривые стремятся к частоте г . ! !.з 2й„но каждая со своим не равным нулю на- клоном (групповой скоростью)с,з= шРзН)2пю Для реальных условий й=2п/24 ч, Н(1(р м имеем с,р(0,5 м/с. В случае коротких волн (йН-ьее) находим: 2 те е' Р,'+ Ч„йй, '+4(йт) е'. О Отметим горизонтальную анизотропию дисперсионных соотношений, а именно зависимость от направления распространения (вектора й). На рнс.
11.8 схема.тически показан вид дисперсиониых зависимостей, заметно отличающихся от полученных в <традиционном приближении» (см. рис. 11.2). 11.4. В приближенны Буссинеска получить уравнение для волн в стратнфищированной вращающейся с произвольно направленной частотой й жидкости. Указа н не. Ход преобразований общей системы уравнений (10.11) ана.логичен проведенному в задаче 11.1. Следует учесть, что го! (я — Чг) =я — ( — ) Чх — я — ( — ) Чу, го(( — ) =0 бра=сопя! в приближении Буссинеска). Ответ: бз — Ьв+ 4 (йЧ)' е+ Фз (г) Ь ш = О. д!з 1!.5.
Провести качественный анализ гравитационно-гироскопических мод е слое с горизонтальнымн абсолютно жесткими границами на основе анализа ,решений уравнения предыдущей задачи. 242 Р е ш е н н е. Подставив м = Ф (г) ехр(!(йг — ыг) ) в уравнение, получаем Р! Рз Мз — ыз+ Р' Ф" — 2!й —.( — Ф' + йз Ф = О, г ыз — Рз где Р1=2(й/л; Р,=2(),. Если теперь представить Ф(з) в виде Ф (з) = ехр (!АР !! Рза/(мз — Р~!) ф (з), то уравнение для ф(з) не будет содержать первой производной: (№ — мз) (ыз — Р) + в'Р' ф" + йз ф — О. 2 Собственные решения (моды) должны обращаться в нуль на границах слом (ф(0) =ф( — Н) =0), что возможно только в случае, если ф(г) — осциллнрующая функция.
Для етого достаточно потребовать, чтобы козффициеит прм ф в последнем уравнении был положителен: (№(з) — Ч),' — Р')+ Р' ~О. Отсюда легко находим условия на возможные частоты волн ы з<ыз<ы+з. где ы~ (з) (№+ Рз+ Рз Ь ((№+Р,'+ Рз! ')з — 4НзР~~)")/2 = =(№+ Рт+ Р'1 '+ ((№ — Рз — Р'1 )з+ 4Н'Р'1 )У')/2, причем в т<РР<ш+' при любых №(г))0. Частота Р, является особой точкой уравнения для ф разделяющей различные ветви дисперсионных кривмх. А именно при Р,'<ма <шах (~~'(а,') = 1 2 (Нм~*=шахУ(з)) нормальные моды, локализованные в слоях с большимм значениями Н(г), соответствуют внутренним волнам.
В случае, когда 3п!и (я (2Ць= 1 2 (Нмш=ш!пМ(л)), собственные моды соответствуют инерционным волнам, сосредоточенным в слоях с малыми частотами Вяйсяля. Для длинных волн (а-ьО) ИЗ ураВНЕНИя дпя ф ИМЕЕМ (ЕЗ вЂ” Р,т)З/Лт-МС'=СОПЗ1 (В СЛуЧаЕ Р! =2 Йй/лчь0). Позтому при й-ьО для ф(з) получаем ф" + (Рзрз) /ссз) ф = О, ф = Ь мп (Р Р)з/сс), Р Р) /и = лп/Н и для дисперсионных зависимостей имеем ыз=Р~ +(Р,Р /пп)йН, ш=Р,-ь Р)(2пп) йН вЂ” результат, аналогичный случаю однородной жидкости (задача 1!.3).
11.8. Получить выражение для групповой скорости нормальных мод краевой задачи (11.!6) через интеграл от собственной функции. Ук а з а н не. Поступая аналогично решению задачи (10.19), находим с, = — = — ~ ( — ) дг ~ ~( — ) +Ь»Ф«~дг. -н -н 11.7. Показать, что колебательный процесс нида и= Ь ехр ( — /Р1), о= — 1Ь ехр( — 1Р1), в=О, Р=2й. (инерционное колебание) удовлетворяет системе уравнений вращающейся стратифицированной жидкости 410.11) без «градационного> приближенна. У Р е ш е н н е.
Очевидно, что ЧЕМУ=О. Далее, нз уравнения Я' 1У«, и У состояния д(р/рэ)/д1 (Ыг/у)в заключаем, что р=О. Пода~ - "г ставляя теперь и, о и в в уравнение Эйлера, для давления получаем: ! ~Е л др др ! др л — = — = О, — — + 2 (йго — й„и) = О. 1 дх ду ' р дг Ю Отсюда следует, что р = р(г, 1) = — 2Ь ()й + й„) ехр,' — 1Рг) ) р, 4) Щ. « гэ«. 1ьэ 244 Если принять Ь=! м/с, й=2и/24 ч-' н Н=10' м, то Рв»г =Р( — Н) 10 э атм — весьма малая величина. Поэтому можно положить р О, н инерционные колебания будут такими же, как прн расчете в «традиционном приближении». 11.8.
Найти отраженную волну при падении баротропной волны Россбн на абсолютно жесткую вертикальную стенку. Р е ш е н и е. Пусть падающая и отраженные волны имеют внд: ф=аехр [1(йвг+Ьву — в/)1, ф,=а Уехр [1(Ь>„х+Ьгэу — в1)). В плоскости (Ь„Ь„) проведем волновой вектор падающей волны (рнс. 11.9) (й,=(зь> Ь,»)), конец которого (точка А) лежит на окружности радиусом ,(1/2в с центром в точке Е с координатами ( — ()/2ы, 0). Пусть линия МЕХ, составляющая угол у с осью к, параллельна стенке. При отражении сохраняются частота волны ы и проекции волнового вектора на границу. Следова.тельно, конец волнового вектора отраженной волны (Ыз=(йгм йгэ)) также .лежит на той же окружности (точка В). В силу равенства проекций волно.вых векторов й, н й» на границу точка В является пересечением окружности с прямой АВ, перпендикулярной стенке.
Очевидно, что в общем случае для 'волновых векторов угол падения не равен углу отражения. Одяако последнее справедливо для групповых скоростей волн. В самом деле, векторы группо.вой скорости сг (/= 1, 2) направлены от концов волновых векторов к центру окружности и в силу ЕР) АВ составляют равные углы (~АЕР и л'.РЕВ) со стенкой. Если авеста векторы й«=ОР н й» =РА, то для й~ я йг будем нметш Ыг=йз+1с„, Ьэ— - йэ — 2~1. Поэтому полное волновое поле ф=ф~+фг можно записать и так: ф = а(ехр()й г)+Уекр( — 1й„ьг)) ехр[1(йэг — ы/)). Коэффициент отраженяя У найдем, потребовав. чтобы стенка бмча линией тока, т, е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
