Л.М. Бреховских, В.В. Гончаров - Введение в механику сплошных сред (1119112), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Воспользовавшись также выражением (12.32'), для отношения нормальных составляющих потоков энергии (в данном случае и полных потоков) имеем формулу тд рдсдрдс* т+ (рдсд + рдсд)д д которая уже будет симметричной по отношению к замене р,«- -«-р„с;«-с, и обратно. Следовательно, при нормальном падении во вторую среду перейдет вполне определенная часть энергии 9с 45.3. Энергетические соображения.
Вопросы взаимности. При отражении и прохождении волн должен выполняться закон сохранения энергии, который формулируется так; энергия, поступающая и границе раздела в падающей волне, равна энергии, уносимой от границьд отраженной и прошедшей волнами. Рассмотрим нормальные к границе составляющие среднего по периоду вектора плотности потока энергии (12.25) в падающей, отраженной и прошедшей волнах: 1АР 1А 1« 1м = — соз 8д«1«д = — — 1У1'сов 8„ 2рдсд 2рдсд 1«д= — *~йгР 0,. 1А 1« 2рдсд падающей волны независимо от того, нз какой среды падает волна. Аналогично н в общем случае наклонного падения волны для нормальных составляющих потоков энергии получаем с учетом (12.32) симметричную по отношению к замене р,~р„ с,чесь О, О, формулу ! м Р1сьойсд оо5 З~ со5 Оь — 4 ! ОЧс1 соз Оь + Сясь соо Ойь Заметим, что здесь мы исключаем случай полного внутреннего отражения, когда во второй среде поток энергии параллелен границе раздела и /„=О.
Укажем также на взаимность углов, при которых коэффициент отражения обращается в нуль. Прн падебии волны из первой среды это угол О,', определяемый нз (!2.38). Прн замене 8,'-~-8,', !и-+.1/т, и-~1/и нз этой же формулы мы получим угол полного прохождения при падении волны из среды 2: з!пО,'= =Г'(гп* — и')/(т' — 1)/п=(з!пО;)/и. Мы видим, что эти углы связаны между собой законом преломления с,з(п8,'=с,з!пО,', т. е. также симметричной по отношению к замене с, с„8,'ч~ чь8,' формулой. 45.4.
Плавно неоднородная среда. Приближение геометрической акустнкв. Волновое уравнение (12.3) для давления остается справедливым и в случае непрерывной зависимости скорости звука от координат. Введя зависящий от координат показатель преломления р(г)=с,/с(г) (с, — скорость звука в некоторой фиксированной точке), для гармонических волн снова получим уравнение Гельмгольца, которое аналогично (12.8): Лф+Й 'р'(г)ф=0, й *=ы'/с,*. (12А! ) Мы видели, что в случае постоянной скорости звука уравнение Гельмгольца имеет решение в виде плоской волны постоянной амплитуды. В общем случае переменного !л(г) на высоких частотах (й;~оо) запишем решение уравнения (12.41) в виде ф(г)=А(г)ехр [И,/(г)).
(12.42) Здесь амплнтуда А(г) — медленно меняющаяся функция координат, которую можно считать постоянной в малой окрестности точки г (но большой по сравнению с Х,=2п/Й,). Фаза /(г) — также медленно меняющаяся функция, которую в той же малой окрестности можно представить в виде линейной функции координат, разложив /(г+бг) в ряд. Таким образом, выражение (12.42) можно рассматривать как локально-плоскую волну. Подставив выражение (12.42) в уравнение (12.41) н приравнивая по отдельности нулю вещественную и мнимую 266 части, получаем систему уравнений: ЬА — Й,*А[(Ч/)' — р') =О, (! 2.43) 2ЧАЧ/+АЬ/=О.
На высоких частотах (й,-~-со) в первом уравнении (!2.43) можно пренебречь членом ЛА, в результате будем иметь так называемое уравнение эйконала (Ч/) '= !!'(г). (12.44) Кривые, касательные к которым в каждой точке нормальны к поверхностям постоянной фазы волны /(г) =сапа!, направлены по вектору Ч/ и называются лучами.
Пусть г=г(э) — уравнение луча, где э — длина дуги вдоль него. Единичный вектор нормали к фронту волны п=Ч//[Ч/[=Ч//р должен быть равен производной аг/аэ или рйг/дэ=Ч/. Продифференцируем это уравнение по э и воспользуемся векторным тождеством (6.31) еч/ ! — = (п Ч) Ч/ = — (Ч /Ч) Ч/ = — Ч вЂ” — — Ч/ х го1 (Ч/). ! !Ч/)а 1 аэ Р 2 и Здесь мы также учли формулу (6.31). В результате с учетом уравнения эйконала (12.44) и го!(Ч/)=О получаем 'дифференциальное уравнение луча ) ="" а'т Игт (12.45) е*~ е) Найдя луч и интегрируя вдоль него уравнение эйконала, найдем акустическую длину пути /= ~рй' Здесь предполагается, что при э=О /=/,=О. Для определения амплитуды волны А(г) обратимся ко второму уравнению (12.43). Его первый член с учетом Ч/=!!и будет 2ЧА!!п=2!!дА/дэ.
Чтобы преобразовать второй член уравнения, рассмотрим трубку лучей, выходящих из какого-либо малого участка (площади й5,) начального фронта /,=О (рнс. 12.2). Проинтегрируем функпию Л/=Ч(Ч/) по объему, заключенному между стенками этой трубки и двумя близкими фронтами, расстояние между которыми равно аэ, и применим теорему Гаусса — Остроградского: Л/йУ=Л/йЯ,аэ = ) Ч/пйЗ=р,ИЯ, — р,йЯ,. лэ~+лэа Отсюда в пределе при йэ — ~-0 и ао';+О, введя величину х= =1!т аБ/дБ, (расширение лучевой трубки), получаем хб/= Ьэт.в =д/дэ(рх). В результате амплитуда волны А (г) удовлетворя- 261 ет обыкновенному дифференциальному уравнению ЕА Л Ы 2нр — + А — (рх) = 0 нли — (Азрх) = О. лг Иг лз (12А7) Следовательно, вдоль луча справедливо равенство А*рх=сопз1.
На исходной поверхности /,=О имеем А=Ам р=р~, н=н,= 1, поэтому окончательно выражение (12.42) примет вид Ф=А,Ур,/рк ехр ((я,/) =А,)/с(г)/сок ехр(й,/). (12А8) Таким образом, мы получили локально-плоскую волну, которую можно считать плоской в достаточно малой области. Амплитуда этой волны медленно меняется в пространстве. Прн расчете скорости частиц жидкости по (12.11) достаточно дифференцировать только экспоненту, содержащую большой параметр й„что приводит к выражению т = — и. р,с (г) (12.49) 262 Вектор скорости направлен по лучу.
Вектор среднего за период волны потока энергии также направлен по лучу н равен в соответствии с (12.22) 1= (р('п/(2р.с). Средний поток энергии через любое сечение данной лучевой трубки с(5, равный А аьо ь /а8 = — ао = — 'А'рн, 2рес 2рьсь сохраняется в силу уравнения для амплитуды (12.47). Следовательно, последнее является просто законом сохранения потока энергии.
Развитая теория, называемая приближением геометрической акустики, значительно упрощается, если скорость звука зависит только от одной координаты, например х — слоисто-неоднородная среда. Прн с=с(х) в (12.45) имеем 7)х чх н лучи будут плоскими, например х=г(х) в плоскости у=О. Введем касательный к лучу вектор п=дг/аз н умножнм уравнение луча (12.45) скалярно на орт е„оси х. Поскольку е Чр=О, находим 1ьпе,=сопз1 на данном луче.
Если теперь ввести угол скольжения луча Х так, что пе„=созХ (рнс. 12.3), получаем известный закон Снеллиуса Р (я) соз Х (х) (засов Хо (12.50) где р,— = р(х,); Х,= — Х(х,); г,— произвольная фиксированная координата. Теперь очевидно, что Лг 1 ~ ф'( — ь05' Х ~ 6~' (~~ — ио ььь' ХΠ— = 1КХ Лх сьь Х иь С05 Хь нли после ннтегрировання и« х = ~ »«сох Х )/ »~ («) — »~~ со«~ т« Аналогично для эйконала /(х, г) нз (12.46) следует / = 1»йз = ~ — = ~ —" =(х — х )РэсозХ«'+ ,со« Х»о с05 Х« о «. «е г»' — », 'х« + 1 ' ' Нх= — (х — х,)рэсозХ,~ »«С05 х« ~ ~ ~ р,я — »,' соз Х« ~(з.
Необходимым условием применимости приближения геометрической акустики с учетом отбрасывания члена ЛА в первом уравнении (12.43) будет требование ЛА/А «й,'. (12.52) (12.51) 263 Другими словами, изменение амплитуды волны на ее длине должно быть малб. Этот критерий, конечно, не очень удобен, так как амплитуда волны заранее неизвестна. Если обратиться к выражению (12.48), то легко видеть, что необходимым условием будет малое изменение параметров среды на длине волны.
Однако амплитуда наряду с» определяется н параметром расширения лучевой трубки к, поэтому в условие применимости приближения должны входить также и геометрические свойства лучей. Приближение геометрической акустики без какнх-либо затруднений переносится н на уравнение (12.2'), где учтена зависимость плотности среды р,(г) от координат. При этом изменится только выражение для амплитуды волны в (12.48): А=Афр,с/(р„,с,н), где р„=сонэ(. 45.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
