Л.М. Бреховских, В.В. Гончаров - Введение в механику сплошных сред (1119112), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Уравнения акустнкн движущихся сред. Рассмотрим теперь случай, когда среда, в которой распространяется звук, сама имеет некоторое движение, например течения в океане, атмосферный ветер. Получим акустические уравнения в случае горизонтального, зависящего только от вертикальной координаты ветра: т,=(и,(г), О, О). Здесь мы уже не можем использовать линеаризованную систему уравнений гндродннамнки (10.3), полученную для покоящейся жидкости. Легко видеть, что в случае т,чь0 в линеаризованное уравнение Эйлера войдут два дополнительных члена (ч,7)э=и,(г)дт/дх н (т7)т,= =як/ч,~йг, а в уравнение неразрывности — один и,др/дх= = (и,/с«)др/дх (здесь ч= (и, о, в) — акустическая скорость частиц).
В результате вместо системы акустических уравнений (12.2) получим следующую: дт дч Ить Чр — +и,— +в — '= — —, дС Ых де рр (12.53) — + ие — + реса ут =О, др др дС дх являющуюся исходной для построения акустики движущихся сред.'В частности, может быть развито приближение геометрической акустики, учитывающее искривление (рефракцию) лучей из-за наличия среднего движения. Мы ограничимся анализом сравнительно простой задачи отражения плоской волны от однородного полупространства той же плотности и скорости звука, как и в среде, откуда падает волна, но движущегося с постоянной скоростью и, параллельно границе раздела в плоскости падения волны (рис. 12.4).
В первой, покоящейся, среде звуковое поле падающей и отраженной волн запишем в виде р, =' А [ЕХр(йище)+КЕХр(й„г)[ЕХр [С($Х вЂ” Са1)], йи = 1 / — — Д. [' В движущейся среде прошедшая звуковая волна удовлетворяет уравнению, следующему из (12.53) при с[и,/с[я=О: ( ) д дте +и ) р — с,'ЮЬ=О дС дх! Это уравнение также имеет решение в виде плоской уходящей от границы волны: Р, = АУР ехР [С (л„х + Иих — сазС)), (ва — ица .1', К На границе я=О должны выполняться условие равенства давлений в каждой нз сред (р,[.,=р,[,,) и кинематическое условие (10.4), где Ь(х, С) — вертикальное смещение точек границы.
В нашем случае, линеаризуя это условие, найдем дь дь дь в,1 — — =О=в,[ — — — и,—. дС ' дС дх Отсюда следует, что д~/дС = — Ссеь = в, [, и в, [, = — + дь + и, — = 11 — М вЂ” ~ в [, где к = в/с,; М = и,Сс,— число Маха. дь г $~ дк В результате с учетом выражения для в, через р, Ц=1, 2) из 264 первого уравнения (12.53) при я=О получаем: (1+ )у) ехр [!(5х — оз!) 1= !у ехр [!(Ф„х — [оз!) 1, 1 — М вЂ” ~[ — (1 — У) ехр [1($х — зо1)1 = азу Юз А„ ~' ехр [! (язз — озз!)1 (з[з — азззз[ Ро Для выполнения этих условий одновременно для всех х и 1 необходимо, чтобы озз=оз и л„=$. Следовательно, длина волнового вектора в движущейся среде Йз = гуйзз+ Аз', = =х(! — М$/й) (А=аз/с,) будет меньше, чем в падающей волне, если последняя бежит по течению (г,>0, как на рис.
12.4), или же, наоборот, больше при ~(0. Угол преломления О, выража-- ется через О, из соотношения й,в!п О,=й=й в!п О„в(п О,= (1 — М в!п 6,)-' в1п 6,. При больших углах падения в направлении течения ($>0) возникает явление полного внутреннего отражения, а именно при зйпО,>1 — Мв(пй„откуда в1пО,>(!+М)-'. Если ввести параметр а=! — М в!пО„то формулы для коэффициентов отражения и прозрачности запишем в виде: аз соз О, — )У аз — з!пз Од „2аз соз Оз е,.[ую — ив, ' [,у у~и 45.6. Волноводное распространение звука.
Классическим акустическим волноводом является переговорная труба,. соединяющая мостик с машинным отделением на старых судах. Однако мы будем интересоваться только геофизическими волноводами, когда распространение волн свободно во всех горизонтальных направлениях и ограничено в вертикальном направ-- лении. Простейшим примером такого волновода является однородный океан с плоским горизонтальным, абсолютно неподатливым дном. На его поверхности х=О, как всегда, имеем р=О н (у= — 1 согласно и. 45.1.
Следовательно, при х(0 выражение для поля записывается в виде: у=Аз А~ р[[[[* — [[], Й=у [~Р— ['. [[254[ На дне х= — Н должно выполняться условие гв[, в=О, т. е. сова,Н=О, И,Н= — и|2+пи, п=1, 2, (12.55) Отсюда получаем дисперсионное соотношение для нормальных.
волн (мод): 265 (12.56) с' =с[1 — —,, (и — — ) ] Здесь й=в/с; сэ'">='ыĄ— фазовая скорость моды. Выражение для давления в моде номера п имеет вид р, = А,ф,(г)ехр[1Я,х — в/)), (12.57) ~р,= зйп [ — (и — — ) г] Групповая скорость волны равна 1/ с~~~ = — „= с [1 — — (п — — ) ] Как видно из (12.56), при фиксированной частоте ы только для конечного числа мод горизонтальное волновое число й.
будет вещественным. Эти моды называются распространяющимися. Для мод высших номеров $„становится чисто мнимой величиной, а возмущение в волне экопоненциально убывает в направлении х. Наименьшая частота о„, при которой мода номера п является распространяющейся, называется критической частотой, равной согласно (12.56) в =п(п — 'Яс/Н. Волновод с абсолютно мягкой верхней границей и жесткой нижней является чрезвычайно идеализированной моделью океанского волновода.
Следующим, уже неплохим приближением к действительности является модель «жидкого дна», когда оно представляется в виде однородного жидкого полупространства плотностью р, и скорости звука с,. Если с,)с (с — скорость звука в слое), то существуют незатухающие моды, соответствующие таким возмущениям (12.54) в жидком слое, фазовая скорость которых меньше скорости звука в дне, т.
е. $)в/с,. Прн этом в полупространстве г( — Н распространяется неоднородная волна р,=Вехр ~ЯЦ вЂ” ы /с1 (з+Н) +1(йх — Ы) 1, (12.58) которая не переносит энергии в направлении от границы. Для определения параметров нормальных волн в этом случае приравняем отношение р/ш~, в, которое можно найти, пользуясь (12.54), входному импедансу жидкого полупространства г,=р,/в,~,= и, определяемому нз (12.58) (напомним, что 1ерш=др/дг): — — '"' (йй,н= 266 Отсюда, вводя величину а='п,Н=Н!/в'/с' — ~', получаем дисперсионное уравнение для определения й«(в): 1ао— й= —, Ра ~/ИН' — йН' — а' й,= ~ . (12.59) с, Это уравнение при достаточно высоких частотах будет иметь конечный набор корней п„(в), таких, что пп — и/2<о«(в) ( (пп (п=1, 2, ...).
Соответствующие им нормальные волны записываются в виде (12.57) с в„=з(п(а„г/Н), $.= =йт/1 — о„1/~РН' и с»'"',=с/у1 — о„®/я1Н'. Критической частотой п-й моды, определяемой условием о„=пп — и/2, будет согласно (12.59) !~ с ! в„= и (п — — / —, р = с/с,. 2/и У! — Р В реальных условиях океана волновод для акустических волн может создаваться не только в результате отражения от поверхности и дна, но также в результате рефракции звуковых волн в слоях с переменной скоростью звука с(г).
Типичный вертикальный профиль скорости звука з глубоком океане изображен на рис. 12.5, а. Скорость звука минимальна на «оси» подводного звукового волновода («звукового канала») г, и увеличивается кверху за счет роста температуры, а книзу за счет роста гидростатического давления. При этом энергия волн, фазовая скорость которых с«=в/$=с(г,) =с(г,), будет в основном локализована в слое жидкости г,(г(г,. Вне этого слоя волны будут неоднородными.
Лучи, соответствующие этим волнам, изображены на рис. 12.5, б. Параметры распространения нормальных волн можно найти, если искать решение волнового уравнения (12.3) с с=с(г) в виде р=А~р(г) ехр (1(йх — в!) 1. В результате для функции ~р(г) имеем обыкновенное дифференциальное уравнение — + вз ~ — — —,~ср =О, ЛЧР. Г (12.60) л»1 с~ (г) сф аналогичное уравнению (!0.59) для внутренних гравитационных волн. Добавив к нему граничное условие, например !Р(0) = =0 на свободной поверхности, и условие непрерывности р и !с на жидком дне, получим краевую задачу для определения собственных значений с«'"' и соответствующих им собственных функций ф„(г) .
Качественный анализ решений этой краевой задачи аналогичен проведенному выше для внутренних гравитационных волн. При этом оказывается, что для фиксированной, достаточ- 267 где р=р(г, !); г= гх*+у'+г'. Легко видеть, что функция гр удовлетворяет одномерному волновому уравнению, общее решенне которого имеет внд, аналогичный (!2.5) с заменой х на г. Это приводит к следующему общему решению для давления р(г, !): /(г — ы) + л(г+ы) (12.62) г г являющемуся суммой расходящейся (!) н сходящейся (я) волн.
Как н в случае обычных плоских волн, профиль давления в сфернческн-снмметричной волне остается неизменным, но его величина уменьшается по мере увеличения г. Подставив (12.62) в (12.4) с 1,= — оо н выполнив простые преобразования интеграла, получим, что скорость частиц направлена по г н равна с о,=о =~ — + — ~ р~И. р 1 Ро~ Рег Здесь знак минус соответствует сходящейся волне, плюс — расходящейся. Второй член в этой формуле, зависящий от предысторнн волны, убывает с ростом г значительно быстрее первого, так что на больших расстояниях, как н в плоской волне, ож жр/р,с.
В несжимаемой жидкости (с-+.оо) первый член выпадает, а второй остается н соответствует сфернческн-снмметрнчному решению уравнения Лапласа для потенциала скорости. Поэтому этот член называют неволновым, а первый — волновым членом. Расстояние, на котором неволновой член сущест- (12.63) 268 но высокой частоты ы имеется конечное число распространяю- щнхсЯ мод; длЯ котоРых сэпо(с,— скоРости звУка в дне.
Этн моды экспоненцнально затухают прн г)х,оо(э)) н г<г,'">(ы), где сэ<">=с(г,оо) =с(г,'"'). Моды, для которых с( — Н) ( (сф'"'(с„нмеют амплитуду одного порядка величины от дна до поверхности н подобны рассмотренным выше модам в однородном жидком слое на жидком полупространстве. На крнтнческих частотах гэ„фазовая скорость соответствующей моды равна скорости звука в дне. 5 46. Сферические волны 46.1. Сфервческн-свмметрнчное решение волнового уравнения.
Сфернческн-снмметрнчная волна, излучаемая пульсирующей сферой малого радиуса, называемой в акустике монополем, является другим (после плоской волны) простейшнм решением волнового уравнения (12.3). Получим это решение, записав (12.3) в сферических координатах: — — = — — ~г' — ) = — — (гр), ! дзр 1 д г др! 1 Р (12.61) с~ дн гэ дг ~ дг) г дг~ веи, называют неволновой зоной, а те расстояния, на которых им можно пренебречь,— волновой зоной. Если излученный импульс имеет конечную длительность, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
