Л.М. Бреховских, В.В. Гончаров - Введение в механику сплошных сред (1119112), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Предположим также, что внешнее однородное магнитное поле Н, направлено перпендикулярно плоскостям пластинок. Примерно в такой постановке эта задача была впервые решена Гартманом, поэтому это течение часто называют гартмановским. 282 (13.13) (13.14) Направим ось х вдоль вектора скорости течения, ось у — в направлении внешнего магнитного поля Н„а ось г — перпендикулярно им. Так же и для обычного течения Пуазейля, в силу симметрии задачи скорость а может зависеть только от у (о= =о„=о(у)), от координаты г ничего не зависит.
В направлении движения жидкость «растягивает» силовые линии магнитного поля, поэтому отлична от нуля составляющая поля Н,. Кроме того, в жидкости возникает ток, плотность которого легко найти из закона Ома (13.5). Причем этот ток будет направлен вдоль оси г, так как вектор трх Н/с имеет отличную от нуля составляющую только в этом направлении.
Допустив также наличие постоянного электрического поля Е, вдоль оси г, для плотности тока будем иметь !=/,=аЕ =а(Е,+аН,/с). (13.12) Подставив это выражение в (13.2), получаем уравнение для скорости потока о(у): — — + Ч вЂ” — — (Е, + — ) Н, = О. ду доп с Г Нопт дх дуо с (, с Здесь Е„Н,— постоянные, также и др/дх=сопз(, что легко следует, например, если продифференцировать уравнение (13.2) по х и учесть, что у, Л н Н от х в нашем случае не зависят: 7(др/дх) =О, др/дх=сопз(.
В результате будем иметь линейное обыкновенное дифференциальное уравнение относительно скорости с(у) с постоянными коэффициентами: — — — о =( — + — Е,Н,) т1. доп пН т др (13. 13') дуо Чс (, дх с )! Решение этого уравнения, удовлетворяющее условию равенства нулю скорости а на пластинах у=1~с(, имеет вид где безравмерное число М = — "у~а!р) называется числом Нфй с Гартмана'. В результате получено полное решение поставленной задачи. При желании составляющую магнитного поля Н. можно найти из второго уравнения (13.6): ЙН» 4я 4яа — = — —,/~ = — (Ео + Нос!с). ду с с Выражение (13.14) показывает, что на течение Гартмана в отличие от обычного течения Пуазейля можно воздействовать не только изменением градиента давления др/дх, но и изменер щ Е,=Е,.Прф р 1 И "У У" " М 283 в (у) существенно зависит от значения числа 1 артм а на, котов, как легко видеть из уравнения (13.13), определяет соотно- ШЕНИЕ МЕжду МаГНИтНОй Е„аНо'а/С' И ВяЗКОй Р,-ЧО/О(о СИЛамн: М Г„/Р,.
Если вязкие силы значительно превышают магнитные (М к' 1), то из (13.14) находим о = — ~ — + — Е,Но) — (1 — у'Я'), /др а '1 до (13.14') (,дк с ~/ 2ч что соответствует при Е,=О, у — »у+о1 и 2/1=/о выражению (8.22) для течения Пуазейля (параболический профиль скорости). Если же превалируют магнитные силы (Мл»1), то получается совершенно иной результат: о = — ( — + — ЕоНо )— ', [1 — ехр(М; " )1 (13.14") Скорость практически постоянна почти по всей ширине со зна/др в '1 со чением во = — ~ — + — Е,Н ! — , и только в узких погра~дк с / в//о о яичных слоях вблизи пластин, толщина которых Ь-д/М, она резко меняется от значения о, до нуля.
5 48. Магнитогидродинамические волны 48.1. Волны Альвеиа. Входящая в уравнение движения проводящей жидкости (13.2) магнитная сила ЛХН/е приводит к новому типу волнового движения жидкости. Обратимся к следующему из (13.2) уравнению (13.7). Из него видно, что эффект магнитного поля сказывается в появлении «магнитного давления» Н'/8н и силы (НЧ) Н/4л, компоненты которой по осям запишем в виде дН; ! д ! дНо ' ! д — Н вЂ” ' = — — (Н,Н ) — — Н вЂ” = — — (Н;Н ).
4н дко 4н дко 4п дко 4н дк„ В последнем преобразовании было учтено, что дН»/дхо= = б!ч Н = О. В результате мы видим, что действие силы (НЧ)Н/4п эквивалентно системе напряжений ао»=Н/Но/4п. Заметим далее, что если в произвольной точке направЛь ось х,= =х вдоль Н, то в этой точке а„= в = Н /4п, а„=а =в„= ... ... =а„=О. Таким образом, следуя Фарадею, силу (НЧ)Н/4п можно рассматривать как натяжение Н'/4п, действующее вдоль магнитной силовой линии. В хорошо проводящей среде магнитные силовые линии, с одной стороны подверженные кажущемуся натяжению, а с другой, будучи вморожены в среду, обладающие инерцией последней, могут совершать колебания, как струна.
Распространение таких колебаний происходит в виде волн, называемых волнами Аловена. Уравнение для этих волн можно получить, линеаризируя исходную систему уравнений магнитной гидродинамики. При этом 284 будем считать жидкость невязкой (Ч=О), несжимаемой (Чч= — 0) и идеально проводящей (о-в.со). Невозмущенное внешнее магнитное поле предполагаем однородным (Н,=сопя(), а его возмущение, связанное с движением жидкости, будем обозначать через Н, так что полное поле равно Н,+ Н. В этом случае из уравнений (13.7), (13.10), пренебрегая квадратичными членами по Н н ч, получаем: р — = — Ч1'р+ — !+ — (Н,Ч)Н=О, 'д» Г Нвн ! 1д! ! 4л ) 4л — = го1(чХН») =(Н,Ч)ч.
дН (!3.15) д! Применяя к первому уравнению операцию Ч и учитывая, что б(ч Н=б)чч=О, находим А~р+ — ) Ограниченное во всем пространстве решение уравнения Лапласа может быть только постоянным, т. е. р+Н»Н/4л=сопз1. Учитывая это обстоятельство и направляя ось х вдоль невозмущенного магнитного поля Н„из (13.15) получаем два уравнения: дН 4лр д» д» ! дН (13.17) дк Ов д! ' дк Н, д! из которых следуют волновое уравнение У'Н ! д'Н дкв с дм в (13.16) (13.18) и аналогичное уравнение для ч.
Здесь с„= О»~~4лр (13.!9) — скорость альвековских волк. Выпишем решение уравнения (13.18) в виде плоской волны: Н = Р (х ~ св!). (13.20) Из уравнения б1» Н=О, поскольку д/ду=д/де=О, следует, что дР„/дх=О, Р„=сопя(. Для решения волнового типа надо положить Р.=О, т. е. возмущение Н в плоской альвеновской волне ортогонально направлению ее распространения. Аналогичное (13.20) выражение можно получить и для поля скоростей ч: ч = С (х ~ с,!), (!3.21) причем также о =О.
В силу уравнений (13.17) функции С и Р, а следовательно, и и Н в плоской волне связаны друг с другом соотношением ч = ~ с,!Н/О,. (13.22) Таким образом, мы видим, что фазовая скорость альвеновских волн зависит от направления их распространения (угла ф между волновым вектором к н направлением магнитного поля Н,), нх же групповая скорость всегда равна альвеновской н направлена по Н,. Из уравнения д(ч Н=О также имеем, что направления возмущения Н и волнового вектора к ортогональны.
В силу справедливости для гармонических волн соотношения (13.22) также н ч1 'к Следовательно, альвеновские волны являются поперечными как в электромагнитном (Н.1к), так и в гндродннамическом (ч (.к) смысле. 48.2. Магннтоакустнческне волны. Рассмотрим теперь волновые движения в сжимаемой, идеально проводящей н невязкой жидкости, находящейся в однородном магнитном поле О,. В этом случае плотность жидкости р в первом уравнении (13.15) следует положить равной ее невозмущенному значению р..
Получающееся уравнение вместе с линейными уравнениями неразрывности (1З.З) и состояния (13.4) дает систему: р, = г7 (!р+ ) + — (Н,У) Н, дч I НрН! ! дФ (, 4п ) 4п — + р, б!ч ч = О, р = с'р, др д! где с,=(др/др)" — адиабатическая скорость звука, которой мы приписали индекс з, чтобы не спутать со скоростью света с. Проднфференцнровав первое уравнение по 1, а также учтя второе н третье уравнения, получим дРч I . Нч дНт 1 дН вЂ” = ч ~с,'д(чч — — ' — )+ — (Нрч) †.
дм 4поо д! ) 4нрр д! 286 (13.27) Отметим, что уравнению (13.18) удовлетворяет также н волна более общего вида Н = Г (х -р. са! у, е) (13.23) для которой по-прежнему сохраняется соотношение (13.22). Этот факт говорит о своеобразной дисперсии альвеновских волн. Действительно„ найдем решение уравнения (13.18) в виде гармонической плоской волны Н = А ехр (1 (٠— в1)), (13.24) где А — постоянный вектор; 1с=(й„, й„, й,); 11=(х, у, г). Подставляя волну (13.24) в уравнение (13.18), получаем дисперсионное соотношение для альвеновскнх волн: вр = й„'с'„в =1й (с,.
(13.25) Отсюда для фазовой н групповой скоростей имеем: сф = ы4 = сайрМ = са соз ф, сгр = Рры = са (Нр/т44) з!Яп йч. (13.26) (13.30) доо„, д'о„ о — (со + со) — о доо ' дуо 287 Второе уравнение (13.15), если воспользоваться соотношением го1 (чХ Но) = (Но»)ч — Н, 6пт ч, запишем в виде д Н/81 = ( Н Р)» — Н 81» ч. (13.27') Два векторных уравнения (13.27) и (13.27') относительно ч и Н н образуют систему уравнений магнитоакустики. Рассмотрим плоскую волну, выбрав оси координат так, чтобы Н, совпадало с осью х, а направление распространения волны, определяемое вектором й, лежало в плоскости ху. В этом случае от координаты г ничего зависеть не будет.
Распишем уравнение (13.27') по компонентам: дН 1доо дИо до„дН, до Но ~ > — о = Но — о — Но — (1328) дг ду дФ д» й дх С учетом этих соотношений из (13.27) легко получить следующую систему уравнений для компонент скорости: (13.29) 'доо Са ю доо до о где с, — введенная выше (см. (13.19)) альвеновская скорость. Отметим, что компонента о„ перпендикулярная как невозмущенному магнитному полю Н., так и направлению распространения волны, не связана с другими составляющими поля скорости и распространяется независимо от них со скоростью с,. Нетрудно видеть, сравнивая третье уравнение (13.28) с (13.17), что это обычная альвеновская волна. Две другие составляюшие в.
и то в общем случае связаны друг с другом. Рассмотрим сначала некоторые простейшие случаи. 1. Волна распространяется вдоль оси х (д/ду=О). Система (13.29) при этом распадается на два независимых уравнения: д оо о д "о д "о о д "о (13.31) дОо дко дР дко Отсюда следует, что составляюшая ц„распространяется со скоростью звука с,. Это обычная звуковал волна, на которую магнитное поле не оказывает влияния.
Возмущение магнитного поля Н согласно (13.28) при этом равно нулю. Составляющая о„распространяется в виде альвеновской волны. 2. Волна распространяется вдоль оси у (д/дх=О). Из (13.29) следует: †" = О, (13.32) ди В этом случае может распространяться только продольное возмущение о„со скоростью ус,'+с,*, т. е. волна акустического типа.
Однако в этом случае в силу первого уравнения (13.28) имеется также возмущение магнитного поля (Н ФО). Если внешнее магнитное поле велико (с,*Л»с,'), то эта волна, называемая «магнитным звуком», будет распространяться с альвеновской скоростью с„ но характер движения частиц в ней существенно отличен от альвеновских волн, поскольку последние являются поперечными. Таким образом, в проводящей жидкости перпендикулярно внешнему магнитному полю может распространяться волна акустического типа, скорость которой определяется не только силами упругости жидкости, но и магнитным давлением. 48.3. Быстрые н медленные магнитоакустические волны. Рассмотрим теперь общий случай к= (й„, й„, О) и будем искать решение уравнений (13.29) в виде гармонической волны: я=А ехр[1(кг — Ы) ), (13.33) где А=(А, А„) — постоянный вектор; г=(х, у). Подстановка (13.33) в (13.29) приводит к однородной системе алгебраических уравнений относительно величин А, н А„: (⻠— с,'й») А — Сй,й«А« — — О, с,'й й«А — (оР— сй „'— с',й») Аг — — О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
