Л.М. Бреховских, В.В. Гончаров - Введение в механику сплошных сред (1119112), страница 61
Текст из файла (страница 61)
В случае поверхностных волн на глубокой воде удобнее вместо амплитуды скорости о, ввести амплитуду вертикального смещения свободной поверхности а=о,/в. При этом для параметра нелинейности имеем е=о./се=па, и требование е«1 совпадает' с требованием малости наклонов поверхности, или, что то же самое, малости амплитуды волны а по сравнению с ее длиной Х=2п/й. Для волн на мелкой воде, где /гН«1, Н вЂ” глубина жидкого слоя, параметр нелинейности будет иным. Это связано с тем, что для оценки е надо взять горизонтальную скорость частиц о„ поскольку она в 1/нН раз больше вертикальной о„: о„= =о,/нН=ва/йН=с а/Н.
Поэтому здесь а=о,/с =а/Н, т. е. амплитуда волны должна быть много меньше толщины слоя. Естественно, что при этом по-прежнему па='нН1а/Н) =еИН« «1. Аналогичные условия могут быть получены н для волн других типов, например для внутренних волн э=о,/се=на«1, где а — максимальное вертикальное смещение частицы. В случае термоклина конечной толщины И появляется также параметр е= = а/д« 1. Условие малости параметра нелинейности е является необходимым, но, вообще говоря, не достаточным для справедливости линейного приближения. Нелинейные эффекты могут накапливаться во времени или пространстве по мере распространения волн даже при малых нелинейных членах. В какой мере эффект нелинейности будет сказываться, сильно зависит от скорости диссипации энергии, а также от дисперсии волн.
Последняя приводит к расплыванию волнового пакета и к изменению соотношения фаз между отдельными гармоническими составляющими, что сокращает временной или пространственный интервал эффективного взаимодействия волн. 49.2. Модельное уравнение. Генерация второй гармоники. Поскольку нелинейные эффекты аналогичны для волн любой природы, рассмотрим простое уравнение, описывающее одномерные 292 волны: ди ди — +Ьи= — еи— дг дх (14.1) Здесь член иди/дх аналогичен (ч7)ч; г« 1 — параметр нелинейности; Б — линейный оператор, соответствующий определенной дисперсии линейных волн. Например, в случае /.=с,д/дх волновым решением уравнения (14.1) с г=О будет бездисперсионная волна акустического типа и=и, ехр(/(йх †/)], е=гэ(й) =с й.
(14.2) Важную роль в нелинейной теории волн играет уравнение (14.1) с С = с — + (1 —, называемое уравнением Кортевед Р 'дх д га — де Вриза (КдВ) н впервые полученное при исследовании волн на мелкой воде. Дисперсионное соотношение для линейных волн в этом случае будет в = с,й — рй'. (14.3) В задаче 14.1 показано, что этот закон дисперсии с точностью до (йО)' включительно совпадает с дисперсией волны на мелкой воде.
д Р Оператор С = С, — — а — соответствует уравнению Бюрдх дк~ герса, описывающему затухающую волну в среде с диссипацией энергии: и(х, С) =и,ехр[ — айЧ+/й(х — с,!) ]. Из (14.Ц легко получить, что в общем случае произвольного оператора Б закон дисперсии линейных волн определяется функцией в=ге(й) =га' — Ы"= — !ехр( — (йх)/. ехр(!йх). (!4.4) При этом вещественная часть этого соотношения описывает дисперсию волн, а мнимая равна коэффициенту затухания: и(х, !) =и, ехр! — ьэ"!+!(йх — в'Г) ).
Рассмотрим теперь нелинейный волновой процесс, описываемый полным уравнением (14.!), предполагая, что закон дисперсии линейных волн известен. В дальнейшем для удобства будем его записывать в виде в(й) — = в„. Пусть при /=О задано возмущение и(х, 0) = за ехр(рйх) +к. с., где символом к. с. здесь и ниже обозначается слагаемое, комплексно-сопряженное первому. Оно введено для учета вещественности и, что является важным в нелинейных задачах. Ищем решение уравнения (14.1) в виде разложения по малому параметру г: и=еи,+а'и,+г'и,+ При подстановке этого выражения в (14.!) и приравннвании членов, содержащих первую степень г, получаем линейное уравнение ди,/д/+ Ьи, = О. (14.5) 293 Решением последнего в предположении, что при 1=0 и, (х, О) = =а ехр((йх) + к.
с., будет функция и,(х, 1) =аехр[1(нх — в,/) )+к, с. Приравнивая теперь члены с е', получаем для и, неоднородное линейное уравнение — '+ Да = — иг — ' = — 1/га'ехр [21(йх — в»1)) + к. с. (14.6) дг дх с начальным условием и,(х, 0)=0. Если правая часть этого уравнения не является решением однородного уравнения, или, что то же, 2в,~в„=в(2й), то решение и, (х, 1) имеет вид !йа~ и,(х, 1) = [ехр [21(йх-в»1)) — ехр [1 (2йх — в,»1)))+к.с.
2⻠— в» (14.7) Последнее можно также записать в форме волны с удвоенным волновым числом и модулированной по времени амплитудой: и, = — 2/йа' ехр [1 [2йх — 1!] + к. с. (14.7') «!и )дв//2) Г. / вы+ 2в» ) Если расстройка Лв=2в„— в„велика, то для всех моментов времени амплитуда второй гармоники будет оставаться малой величиной. Промежуток времени т.=я/Лв=н/(2в,— в„), в течение которого амплитуда второй гармоники возрастает от нуля до своего максимального значения, называется характерным временем взаимодействия, Чем больше расстройка Лв, т. е. чем сильнее дисперсия, тем меньше время взаимодействия т,. В случае Лв=0, как, например, для бездисперсионных волн в,=с,й, из (!4.7') предельным переходом легко получить решение, содержащее вековой член; и,(х, 1) = — /йаЧехр[1(2йх — в„1) )+к.с.
(14.8) Этот случай соответствует резонансному возбуждению второй гармоники, когда «внешняя сила» в (!4.6) является решением однородного уравнения. При этом условие 2в„=в„является частным случаем так называемых общих условий синхронизма (см. 2 50). Вторая гармоника волны растет линейно со временем, так что при любом как угодно малом з линейное приближение при больших временах становится неверным. Характерное время т«, на котором это произойдет, можно оценить, приравняв друг другу члены еи, и е'и;. еа=е*йа*т„ т,= 1/айа.
В частности, для акустических волн за=и, — амплитуда скорости частиц, и для получаем т.=1/ни, Т/М, где Т=2п/в — период волны; М= =и,/с,— число Маха. Заметим, что в случае бездисперсионных волн по мере роста второй гармоники усиливается ее взаимодействие с первой, сопровождающееся возбуждением третьей гармоники, затем чет- вертой и т. д. В результате с течением времени в спектре волн возникают все более высокие частоты, соответствующие все более резким изменениям фронта волны. 49.3. Решение Римана. Ударные волны. Точное решение нелинейных акустических уравнений в одномерном случае было получено еще в прошлом веке Рнманом.
Найдем аналогичное решение нашего модельного уравнения в среде без дисперсии н дисснпацин. В этом случае, опуская также параметр е, имеем (см. (14.1) прн 1=с,д/дх) ди ди ди — +с,— = — и —. д! дх дх (14.9) Пусть при 1=0 и(х, О) =/(х). Покажем, что функция и(х, )) =Цх — (с,+и)г], (14.10) задающая и(х, 1) в неявной форме, является решением уравне- ния (14.9). Действительно, ди ! ди т — = — ~се+ и+ — !)/', д! д! ) На рнс.
14.! штриховой линией изображена форма волны =д(и) в начальный момент времени, где п(и) — функция, обратная и=/($). В произвольный момент времени г>0 из (14.10') имеем ф=д(и) +и!. Следовательно, для построения решения и($, !) нужно сложить заданный профиль п(и) с линейной функцией и/, наклон которой увеличивается с ростом й На рис. 14.1 сплошными линиями показан профиль волны в два последовательных момента времени г, и 1,>/,.
Точки К, н $„в которых возмущение равно нулю, во все моменты времени остаются на месте. Из рис. 14.1 видно, что верхняя половина кривой $(и) с увеличением ! становится все круче н круче. Наконец, прн некотором 1=1 один из ее участков станет перпендикулярным оси $, 295 откуда имеем выражение для ди/дг= — (с,+ и)/'/(! +/'!) и «!и/дх=/'/(1+/'!), подстановка которых в уравнение (14.9) обращает его в тождество. Решение (14.10) уравнения (14.9) имеет простой физический смысл, а именно: возмущение в среде, соответствующее определенному фиксированному значению и, движется с постоянной скоростью с,+и.
При этом более мощные возмущения перемещаются с большей скоростью, «догоняя» более слабые. Это приведет к изменению формы волны, например к укрученню переднего фронта возмущения с и>0. Изменение профиля волны удобно анализировать графически. Предварительно перейдем в систему координат, движущуюся со скоростью с„введя новую переменную $=х — с,й В этой системе координат решение (14.10) примет вид и(й, !) =/Я вЂ” и!). (! 4.10') Рсс.! 4Л Р сома Рсс. $4.4 после чего образуется разрыв. Поскольку ~фйи= (йд(ди) +г, то время г„найдем из соотношения Р =ппп( — 4(у/Ни). При 1) >(„возникает «перехлест» — неоднозначность функции иЯ, 1), что, за исключением некоторых случаев, например морского прибоя, не имеет физического смысла.
Для акустических волн вместо перехлеста возникает тонкий ударный фронт (разрыв), где происходит интенсивная диссипация энергии волны. При этом оказывается, что с течением времени профиль волны стремится 296 (14.11) Переходя к системе координат $=х — с,1, движущейся со скоростью с„перепишем это уравнение в виде да д~и ди — = — ~1 —, — и —. дС дР дй ' (14. 11') Здесь первый член в правой части описывает дисперсию волн, второй — нелинейные процессы. Проследим качественно, как изменяется роль этих членов по мере распространения волн.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
