Л.М. Бреховских, В.В. Гончаров - Введение в механику сплошных сред (1119112), страница 57
Текст из файла (страница 57)
е. 2,=Ею, или в соответствии с выражением (12.79) г, — ге 12(Дюа) г,= Вю гз — г, 12 (д„д) Это уравнение справедливо в трех случаях: 1) Ус=2~ =Ез — нормальные импедансы всех трех сред равны; 2) йе,а=ли (я= 1, 2, ...) и Я,=Ез1 в случае нормального падения волны имеем р,с,=реса и с(=пЛ/2 — толщина слоя равна целому числу полуволн; 3) йс,И= (и+'/з)п (я=О, 1, ...), Ус=УХ~.Еа, т. е.
нормальный импеданс слоя должен быть равен среднему геометрическому из импедапсов полупростравств. В случае нормального падения расе= Гр,с,рсфср, я'= (2я+1)Л/4 (и= =О, 1, ...) — по толщине слоя укладывается нечетное число четвертей волн (ср. с задачей 2.6). 12.7. Определить коэффициент отражения плоской волны, падающей из жидкого полупространства с се и ре под углом Ое на упругое полупространство плотностью рь Скорости продольных и поперечных волн в упругом полупространстве равны с~ п с~ соответственно. Решение. В упругом полупространстве возбужааются только вертикально поляризованные уходящие от границы волны.
Проекции волновых век- 274 В однородном полупространстве (а)0) имеется только уходящая от границы волна рзяг ехр (1($л+йма — м/)1, Аз, =7ю'/ср' — яз. Позтому импеданс г,-г(О)=(р/щЛ е= р,/д„= ~,~ргю/с,' — 7.. торов на граничу для всех воли одинаковы, т. е. Аст=йэ з)п Оз=$=л,=хю д =го/с„2=а/сь к=а/с~ (рис.
12.6). Поэтому потенциалы ф и ф для упру. гого полупростраиства запишем в виде: ф= йг~ ехр(1(Ох+А,г — Ы) ], ф= йт~ ехр(ГДх+к,з — ыг) ], а<0, где й, Уюз/сР-с',-к,=Уют/с~т — $'. Воспользовавшись формулами (42), (3,22) н (З.б), получим выражения для нормальных скоростей частиц и компонент тензора напряжений на границе: ос]г о — — — нв(™Р, + (ййгг), о, ], = — р,с', (2йзСФ', + (2чз — х') ОГГ], овз ]т=з = ргсг.((2Р— «') "'1 — Ф'тйгг] . Здесь также опущен общий маожитель ехр[/(Сх — ю/)].
Так как жидкость не сопротивляется сдвигу, то о„], з=О, т. е. (Рг= = — 2/гД/(23э — х') Ф'ь По обе стороны от границы должны быть равны нормальные компоненты скорости. Давление в жидкости равно нормальному напряжению, взятому с обратным знаком, так как последнее в отличие г .из от давления определяет действие окружающей среды на данную частицу. В результате для входного импеданса упругого полупространства имеем р (2$з — кз)з+ 4$зй к (12.30) г„= —— е е Коэффициент отражения вычисляем по (12.33): У = (2 — Е~)/(2 +Е 1, Е = — реы/й, й = У ыт/с~ — $з. (12.31) 12.3. Вдоль границы жидкого и упругого полупространств может распространяться поверхностная волна Стонели, аналогичная релеевской волне на границе упругого полупростраиства с вакуумом. На основе результатов предыдущей задачи получить уравнение, определяющее скорость распространенна этой волны.
Решение. Искомая волна должна быть неоднородной и убывающей экспонеициально как в упругом полупространстве, так и в жидкости. Следовательно, й,= — Щт — ю~/сР= — /юу5 — 5ь и,=-чуйт — ыт/сР= — 1юу8 — 8ь До~= — /Дг — ыз/соэ= — (юУ5 — 8о, где 8~=1/с~т; 5~=!/с~э' 5с=!/со', 5 1/с~~; са — скорость волны Стонели. Мы видим, что с,<сь с,<сг<сь В жидкости с удалением от поверхности будет убывать амплитуда отраженной волны ехр(1(зх — йс з)]=ехр(/вх — ыу5 — 8сг), в то время как амплитуда падающей волны будет нарастать в этом случае.
Поэтому мы должны потребовать для поверхностной волны У-со нлн в соответствии с (12.81) Я~= — Яс. ВыраЖая Ет* и Яс через введенные нами величины 5, 5ь 5~ и 5ь получаем урав- 1Оэ пенне для определения и, т. е. скорости волны Стонели: У, (8) = ) (5) — — ' 5' = О, р» з У8 С! рт У5 8э /Н (5) = 45 )! 5 — 8,)/5 — 5,— (28 — 8,)з, Уравнение )в(5)-0 уже встречалось нам в теории релеевских воли и определяет скорость волны Релея. Уравнение )»(5) =0 всегда имеет корень 5>шах(5», 5Д. Действительно, при 5-»оо функция (,(5)- 25(5~ — 5~))0. С другой стороны, )а(8») — со, если 8»>5ь и 7,(5~) = — 8Р— (р»!р~)5~з(8~— — 5ю) 4(8г-8») 4 <О, если 8»<8ь Следовательно, на концах 'интервала (шах(5», 8в), со) функция 7»(5) кмеет разнме знаки, поэтому в некоторой точке 5>шах(8е, 8~) ),(8)=0.
В частности, при 5~<5»<5 (с,<се<с!) нетрудно получнты + р» В этом случае скорость волны Стонели немного ниже скорости звука в жидкости, что соответствует слабому ее затуханию в жидкости при удаленнн от границы. Отметим также, что в уравнение !»(5) =0 не входит частота волны, т. е. волны Стонелир так же как и волна Релея, распространяются беэ дисперсии. (2.9. Рассмотреть звуковые волны с учетом силы тяжести, предполагая, что скорость звука и энтропия постоянны во всей жядкости. Решение. Уравнение состояния р=р(р) в силу постоянства равновесной энтропии справедливо н для равновесных значений: р»=рэ(р).
Интегрируя уравнение гндростатнки — йре=бр»/йг= (Нр»lдре)»бр»Фа=зебре/оа с учетом, что се=сонэ(, получаем рз(а) =рз(0) ехр ( — йх/са). Отсюда также следует, что частота Вяйсяля !»з(а)= — й(р»-'Ыр»/Нз+й/с»)=0. Прн этом система линеаризованных уравнений гидродинамики (!0.3) переходит в следующую систему акустических уравнений: дч /р! ! др — + 7 ~ — ~ = О, — — — ям+ с' 7 ч = О. а( ~ р, ~ ' р, ОГ Отсюда, например, для величины У=р/р» следует 0 5 и аб' ЬУ» — — — — — — = О. с аг О* Если искать решение последнего уравнения в виде У,=А ехр [((пг — м1)), м=(н„м», н,), то легко получить связь между и и е: ма=нас»+~Ох,.
С другой стороны, если ввести еще вектор Й= (й», й», й,), так что и»=й», к»=й», х»=й»+йх, то, разделив в соотношении между и и ю вещественную и мнимую части, находим и= — д/2ст н мт=(й»+аз)ст. Таким образом, имеем звуковую волну р = Ар (0) ехр( — йз/2сз) ехр(!(йг — ыс)), распространяющуюся в направлении вектора й. Днсперсноппое соотпошепне для этой волны нмеет внд ю=суйк+но/4со, се=а/й=су1+до/4йосо, т. е. появляется дисперсия длянных звуковых волн, если й(ймоо я/2оа. Частота ы м=й/2с является мнннмальной частотой звуковых волн в поле снам тяжести. Для воды ю,о,щ3 1О-ос ', длина волн, для которых дясперсня существенна, Х~ймоо — — 2п/йвпо=4псо/ляо 3000 км. !2.10.
Получнть днсперсяонное соотношение для гравитационно-шгустнческнх волн в нзотермнческой атмосфере. Р е ш е н н е. Считая газ атмосферы идеальным, запншем равновесное уравнение состояния в анде ро(г) =ро(0)ро(г)/ро(0). Волновые процессы в атмосфере протекают прн постоянной энтроппн рр-т=сопз(, где у=со/с,=!,4. Следовательно, скорость звука со= (др/др) ° —— уро/ро — — сопа1 н ро(г) = с'ро(г)/у. Проинтегрировав теперь уравнение гндростатикн о/ро/дг= = (с'/у)Иро/да= †я(г), получим ро(г) ро(0) ехр ( — уяг/со) и /уо= = — я(ро-Яро/да+8/со) =(у — 1)яз/со.
В результате лянейпая система уравненнй гндродннампкн (10.3) примет внд: д» Чр р др Иро — + — + я — Чг = О, — + — и+ ро Чт = О, д! ро ро д! Иг др 1 др /Уо — — — — +р — ю д! со [д! я Вводя величину до=р/ро, для гармоническях процессов частоты ю имеем> /й/о /уо — иот-(-Чдо — ( — до — ! — ю) Чг= О, К м !то — — до — — ю + Ч т = О. со со Поскольку коэффициенты этой снстемы постоянны, ищем решение,У н т в ваде, пропорциональном ехр (/ьг) =(й, м,), что нрнводнт к следуаизей связи между и н ю: зо — мз/со — Ьо/т'о/ор + хо + ! (л/з + яо/со) н,/я = О. Отсюда следует, что н,=го+!а н а — (л!о+ яо/со) /2я = (1/2) ро- Яро/Нг = — уя/2со, Р +й,'— ю'/с' — Р/У'/ '+ '=О.
Разрешая последнее уравнение относительно ю', получаем две ветви дясперснонных соотношений: м о [ (йо.ього) со/2) (1ш [1 — 4азиос-'(во+аз)-оз!по 0)у), где Ао=йо-(-/ооо; 8 — угол волнового вектора й ($, й,) с вертикалью. Макснмум второго слагаемого под корнем, который достигается при йо.=аз, равен й/о з!пз О/сомо(4(у — !)/уз но 0 8. Поэтому путем разложения в ряд получвм мо йо + а~ Г 2йой/о з!по 8 1 ,Р~1+! ~ 2 1 сз(йо+ ио) ! Первая ветвь юь'т (до+аз)с'(1 — йо/уз з!под/[со(до+аз)з)), рассчитанная с ошнбкой не более Ото, соответствует акустическим волнам, распространяю- щимся при де~аз беэ дисперсии. Дисперсия, а также слабая (порядка 10е6) зависимость от № и аннзотропня звуковых волн имеют место при йе(ае.
Минимальная частота распространяющихся звуковых волн юееы=-ас=уу/2с. Вторая ветвь мч №йе зщ' В/(й'+ае) соответствует внутренним волнам. 1281. Найти звуковое поле от точечного гармонического источника объемной скорости Уе в полупространстве, ограниченном плоской абсолютно жесткой или свободной границей. Р е ш е ы и е. Пусть уравнение границы г= О, а источник находится в точке с координатамн (О, О, ге/2). Нужно найти решение уравнения Гельмгольца (128), имеющее вид (!2.67) л окрестности источника (ге=хе+уз+(г — де/2)е), с равной нулю компонентой скорости и, при г=О в случае абсолютно жесткой границы или р~1*-е=Π— в случае свободной границы. Нетрудно видеть, что этим условиям удовлетворяет суммарное поле от данного источника и дополнительного, помещенного в снмметрнчную относительно границы точку (О, О, — ге/2) с объемной скоростью ~уе, где знак плюс — для абсолютно жесткой границы, знак минус — для свободной.
Этот метод решения носит название метода мнимых источников. В результате звуковое поле в полупространстве г)0 имеет вид (12.74) (свободная граница), где ге — — — геЧг. Отсюда, в частности, следует, что монополь вблизи свободной границы (йце(!) излучает как диполь, ориентированный в вертикальном направлении. 12.12. Сравнить звуковые энергии, ызлучаемые монопольным источником в свободном пространстве н на расстоянии ге/2~2-' от свободной границы. Решение. Энергия, излучаемая монополем объемной скорости Уе в свободном пространстве, определяется формулой (12.72) / =ресйе(уе(е/Вл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
