Л.М. Бреховских, В.В. Гончаров - Введение в механику сплошных сред (1119112), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Отражение плоских волн на границе раздела сред. В предыдущем параграфе рассматривались звуковые волны в однородной безграничной среде. Простейшим примером неоднородной среды является случай, когда две жидкости, отличающиеся как плотностью, так и скоростью звука, разделены плоской границей. Рассмотрим задачу отражения плоской гармони'ческой волны от такой границы. Плотность и скорость звука в среде, из которой падает волна (г(0 на рнс. 12.1), обозначим через р, и с, соответственно. Эти параметры в другой среде (г)0) равны р, и с,.
Будем предполагать, что нормаль к фронту падающей волны лежит в плоскости чертежа (рис. 12.1). В этих предположениях падающую волну можно записать в виде р,'=А ехр [!($х+йнг — ег) ], г(0, (12.26) где А — амплитуда волны; к=(4, О, й„); я„=!а'/с,' — ~' — ее волновой вектор. Поскольку граница неподвижна в отсутствие звуковых волн, .го, как мы уже видели (см., например, $ 14), граничные условия могут выполняться при всех ! и х, только если частота в и проекция волнового вектора на границу будут одинаковыми для всех волн. Следовательно, выражение для отраженной волны, уходящей от границы в первой среде, будет иметь вид р, = тА ехр [!($х — й„г — ьэ!) ], г(0, (12.27) где т' — коэффициент отражения; к,'= Д, — я„) — волновой вектор, изображенный на рис.
12.1. ъс, па в .пз Г с.каз Ъ.гг.а асс. 125 "ас и ~ -и Рссс. 12.6 Пусть вторая среда — вакуум (свободная граница), тогда акустическое давление, создаваемое суммой падающей н отраженной волн на границе а=О, должно обращаться в нуль. Отсюда легко находим значение коэффициента отражения = — 1.
Прн этом для суммарной нормальной составляющем 266 (12 29) Отсюда с учетом выражений (12.26) — (12.28) и следуют уравнения для определения двух неизвестных коэффициентов У н Яг: 1+ У = !У, — (1 — !') = — !У. "д* а ° Рд Рз Обычно вводятся угол падения волны 8, и угол преломления О, (см. рис. !2.1), тогда условие равенства проекций волновых векторов на границу запишем в виде известного закона лреломления й, з!и О,=й, з!и О, (12.30) (12.31) или, если учесть, что л,=од/с„ Аз=од/с„ з!и О,/з!и О,=п, п=й4й,=од!сд. (12.31') Далее, вводя величину пд=р,/р„с учетом й„=й, соз О„й„= =й, соз О, из (12.30) получаем формулы Френеля: лд соз Вд — л соз Вз лд соз Вд — У лз — здпз 8 од сод Вд + л соз Вз яд сод 8 + Г лд — з1пз Вд (12.32) 2лд соз Вд 2ы сод вд лд соз Вд+ л сод вз и соз Вд+ У'лд — зшз 8 259 скорости на границе в соответствии с (12.1!) получаем значение 2А адд о„= — — ехр (! (5х — од!)1, Рдсд лд в 2 раза большее нормальной скорости в падающей волне.
Аналогично решается задача в случае границы с абсолютно твердым телом, на которой должна обращаться в нуль суммарная нормальная скорость В„=О. Прн этом для коэффициента отражения получаем У=1, т. е. на абсолютно твердой границе давление удваивается. В общем случае границы двух сред мы должны добавить преломленную (прошедшую) волну, распространяющуюся во второй среде и уходящую от границы: р,= !чА ехр(! ($х+ й„г — од!) ), (12.28) где Ф' — коэффициент прозрачности границы; 1д,= ($, О, йд,) (и,=до/с„я„=уйзд — $д) — волновой вектор, имеющий равную с !д, и !д,' проекцию на границу (см.
рис. 12.1). На последней, по обе ее стороны, должны быть равными звуковые давления и нормальные составляющие скорости частиц. С учетом (12.11) эти условия примут вид: (р; + р,) . = М,=. (12.33) и называются нормальными имледансами соответственно в первой и второй средах. Отметим, что для определения коэффициента отражения плоской волны от границы оказывается достаточно знать только так называемый входной имледанс границы Е , равный нормальному импедансу Яа на границе г=в. Так как нормальный импеданс не должен испытывать скачка при переходе через границу (поскольку непрерывны и, и р), то, очевидно, нормальный импеданс полного поля на границе со стороны первой среды должен быть равен Х„. Поскольку во второй среде в рассматриваемом нами случае нормальный импеданс всюду (в том числе н на границе) равен постоянной величине Е„ то 2„=2„ поэтому ра 1 !+У гаса !+У са йв оса ~ 1 — У сове, ! — У свх ! откуда получаем для У выражение (12.33).
В общем случае р,(г) и с,(г) могут быть произвольными функциями г. Выражение (12.33) для У остается в силе с заменой Я, на Я„. Последний должен быть получен отдельно. 45.2. Особые случаи. Полное прохождение и полное отражение. Рассмотрим некоторые наиболее интересные случаи. 1. Из формул (12.32) при 0;вл/2 имеем У-о — 1, )Р'-о-О. Отсюда следует, что ра=р,++р;=О и р,=в, т.
е. не может быть 9 Л. М, Бреховских, В. Б. Гончаров 257 При нормальном падении волны на границу (0,=0,=0) из по. следних формул следует: (12.32') се+ л раса + раса ' рвов + раса Таким образом, при нормальном падении коэффициенты отражения и прозрачности определяются только волновыми сопротивлениями (называемыми также имледансами) Яа=рас, и Ха=раса сред. Формулы (12.32') можно записать и в таком виде: 2, + 2, ' 2, + г, ' Как видно из (12.32), эти формулы остаются справедливыми и при наклонном падении волны на границу, если под импедансами Яа и 2, понимать величины г,=р,с,~с 0„2,:=р~„~В,.
( 12.34) Нетрудно проверить, что так определенные 2, н Яв равны отношению давления и нормальной к границе скорости частиц соответственно в падающей и прошедшей волнах г,=р,7о, г,=р,1о„ ( 12.35 плоской волны, распространяющейся вдоль границы раздела двух жидких сред. 2. Отраженная волна отсутствует. Как следует из (12.32), У=О при угле О„удовлетворяющем условию т сов О,= = !/и' — з!пзО,. Отсюда легко найдем угол полной прозрачности гранины: 6,'= агсз!и 1/(т' — н')/(т' — 1). (12.36) Конечно, не при любых т и л такой угол существует. Необходимо, чтобы величина под корнем была положительной и меньшей единицы. 3.
Скорость звука во второй среде больше, чем в первой (и(!). При этом если угол падения О, больше некоторого критического значения О„„где з!пй„з=н, то из (12.31) легко видеть, что не существует вещественного угла 8, для прошедшей волны. Однако для гармонических волн формулы (12.32) остаются справедливыми и в этом случае. При этом их удобнее представить в виде: т соз Оз — ! У з!пз Оз — оз > «з соз Оз+ > У Моз Оз — лз Я 9, Яг = озсозО, +! з> з1пз Оз — лз (12.37) Поскольку последняя не уносит энергию от границы, коэффициент отражения оказался равным единице (по модулю). В этом случае говорят о полном внутреннем отражении волн. Комплексность коэффициента отражения на закритических (8,)8„,) углах падения приводит к искажению формы отраженной негармонической плоской волны. В самом деле, разложим падающую на границу плоскую волну с произвольной зависимостью р от времени в интеграл Фурье по гармоническим волнам со всевозможными частотами.
В случае 8,(О„„когда У вещественно и не зависит от частоты (см. (12.32)), для отраженной волны получим тот же интеграл, умноженный на У. В случае же комплексных значений У не зависящая от частоты фаза коэффициента отражения эквивалентна изменению длины пробста отраженной гармонической волны в среде на величину <р/й, уже зависящую от частоты. В результате профиль отраженной волны, так же как и прошедшей, из-за комплексности искажается.
258 Отсюда, записав коэффициент отражения в виде У= = ~ У)ехр(!р) (у — фаза), имеем: ~ 1'~ = 1, зр = — 2 агс1я (12.38) 8, Прошедшая волна экспоненциально затухает при удалении от границы, т. е. является неоднородной: Р,=А 19' ехР ! — йз!з(пО,— л* Я+ !($х — оз!) ). (12.39) Приравняв поток энергии, притекающей к границе, к уходящему от нее, получим — (1 — ~У1з) = — ) )У 1', что вполне сосо« Вд сод Од р,с, рдсд гласуется с формулами (12.33), (12.34).
Как следует из (12.30), акустическое давление в прошедшей волне будет в 1+У раз больше, чем в падающей. Например, при нормальном падении плоской волны из воздуха (р,с,= =42 г/(смд с)) в воду (р,с,=1,5 10' г/(ем* с)) получаем из (!2,32) Уж1, т. е. амплитуда давления в воде будет в 2 раза превышать амплитуду давления в падающей волне. Если же волна падает из воды в воздух, то Уж — 1, )К=О, т. е. звуковое давление в прошедшей волне будет во много раз меньше звукового давления в падающей.
Таким образом, при переходе звуковой волны из одной среды в другую и обратно отсутствует симметрия по отношению к значению звукового давления. Такая же картина будет наблюдаться и по отношению к скорости частиц жидкости в волне. Рассмотрим, как будет обстоять дело по отношению к потокам энергии от границы и к ней. Вычислим отношение нормальных составляющих потоков энергии в падающей и прошедшей волнах, определяемых выражениями (12.39): д+ ссд Зд рдсд ссд адрдсд (12.40) Остановимся сначала на случае нормального падения волны на границу (0,=0,=0).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
