Л.М. Бреховских, В.В. Гончаров - Введение в механику сплошных сред (1119112), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Ф=О на линии МУ. Отсюда, предполагая, что стенка проходит через начало координат (л О, у=б), имеем йхг О на Мй/ н !'= — 1, следовательно, ф = 2!а з!п й„г ехр [! (й г е/)[ Обозначим ~АЕЕ=О (см. рнс. 11.9), тогда й = — з!пб, О~О~и 2е (случай — псб(О соответствует замене 2~чейз). Таким образом, при заданной частоте волн е получаем конечное число собственных углов б„, таких, что ОЕ з!и б„=2пп —, л(— в~ ' Распростраищощнхся 'мод не будет при е~дЬ/2п. Частота, иа которой возникает распространяющаяся мода номера л (л-я критическая частота), равна е =[)Е/2пп.
11.10. Определить траектории движения частиц жидкости в волновом поле ф образованном двумя баротропнымн волнамн Россби, равных частот и амплитуд, распространяющихся под угламн сЬа к оси л. Р еще и не. Волновое поле двух волн Россби запишем в виде ф = пехр [!(й х — е!)) [ехр(!й„у) +ехр( — !й„у)[, а = А ехр(!О). Найдем компоненты смещения частиц жидкости !В, з)) вдоль координатных осей (в вещественной записи): и 1 дф 2А $= — = — — = — й зшй„уюпе, — ио — !е ду е и 1 дф 2А — — — — = — й соей усозе, — /е !е дк е л о где Ф=й„х — ет+О. Выражение для траекторий получатся при исключении нз этих формул зависимости от времеви.
С учетом также выражений й=(5/е) сова, л = — усова, до=аз!пзз будем иметь Р/,*+ Ч*/и,' = 1 — уравнение эллипса с полуосямн а =2 — созоа ~ сов ~ — з!п2со) ~. 9.4 ! ([)у ео ~ ~2е а = 2 — созсз ~з!псоз!п~ — з!пйсз) ~, ВА 1.,/Вы "Ье 11.11. Для двух баротропных волн Россби предыдущей задачи найти УРавнения для линий тока ф=сопз!. 245 11.9. Рассмотреть баротропные волны Россби между двумя параллельными абсолютно жесткими стенками Г, и Гь Р е ш е н и е. Пусть Š— расстояние между стенками, одна из которых, например Гь проходит через начало координат.
Функция тока ф, обращающаяся в нуль на Гь определяется последним выражением предыдущей задачи. Другая стенка (Гз), на которой )гьг=йл/., также является линией тока. Следовательно, р!г О илн 5!пй ь=о, (й ) =пп//, л — ! 2 3 следующей формуле для ( н в=У(а бйаНа Й~Н + ~~~~~' соа <ра соз а " .й. 1~+(""(~~~).~/.1 Условнем прнменнмостн етого првблнження будет б((а — — !1+ (пя(йН)а(а) 'б((а((С что заведомо выполняется, если б((а~1 нлн йяа1яара>1 Глава 12 ЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ 247 В гл.
10 и 11 мы познакомились с волнами, которые существуют и в несжимаемой жидкости. Для волн этого типа сжимаемость среды проявляется лишь в виде некоторых поправок (например, в дисперсионных уравнениях), которыми мы пренебрегали. В этой главе мы обратимся к звуковым или акустическим волнам, для которых эффект сжимаемости среды является определяющим фактором. По своей природе звуковые волны родственны продольным упругим волнам в твердых телах (см. гл. 2 и 4) и обусловлены силами упругости, возникающими при деформациях элемента объема жидкости.
В океане акустические волны играют огромную роль, такую же, как, скажем, электромагнитные волны в атмосфере. Последиие быстро затухают в морской воде, в то время как звуковые волны могут распространяться на тысячи километров. Поэтому они широко используются для исследования океана„а также как средство .связи и передачи информации. В атмосфере звуковые волны очень низких частот (инфразвук) тоже могут распространяться на тысячи километров.
В этой главе мы получим линейные акустические уравнения, из которых следует волновое уравнение, описывающее распространение звука в жидкости. Рассмотрим простейшие решения этого уравнения в однородных и неоднородных средах. Изучим распространение звука в волноводе, типичным для которого является подводный звуковой канал в океане. Будут также затронуты вопросы излучения и распространения звука от сосредоточенного в ограниченной области пространства источника, 5 44.
Плоские волны в покоящейся жидкости 44.1. Система линейных акустических уравнений. В линейной постановке звуковые волны должны описываться линейной системой уравнений гидродинамики (10.3), где нужно положить Я=О, д(*=0, ел=О: дч Чр др 'др 1 др — + — =О, — +рсчч=о, дс Рс дг дс сс д1 Здесь последнее уравнение является уравнением состояния, а величина с*= (др/др), (з — энтропия) — квадрат адиабагиче- ской скорости звука или просто скорости звука. Исключая из (12.1) плотность р, легко получить два урав- нения линейной акустики: — + — =О, — — +Чч =О, дч Чр ! др ( 12.2) д! Рс рссс дс (12.1) где скорость звука может быть функцией координат с=с(г). Если какое-то решение р(г, 1) этого уравнения известно, то скорость ч(г, 1) в любой момент времени ! находится интегрированием первого уравнения (!2.2): ч(г, 11 =ч(г, (с) — — Ч ~ р(г, т) йт.
1 Ре и 44.2. Плоские волны. Волновое уравнение (12.3) для давления в случае с=сопз1 имеет решение в виде плоских волн, подробно рассмотренных в $14 при анализе продольных упругих волн. Если совместить ось х с направлением распространения волны, то соответствующее решение уравнения (12.3). запишем в виде р(х, 1) =/(х — с1)+а(х+сг), (12.5) (12.4) где / и у — произвольные функции. При этом /(х — сг) представляет собой волну, распространяющуюся в положительном, а у (х+ с/) — в отрицательном направлениях. В плоской волне имеется простое соотношение, связывающее скорость частиц среды с давлением.
В самом деле, взяв, 246 которые сводятся к одному уравнению, например относительно акустического давления р: — — — др+ — чр,чр=о. 1 дср 1 (12.2') сс дгс Р~ Последний член в левой части этого уравнения мал, например, по сравнению со вторым, если плотность среды р, постоянна нлн если пространственный масштаб ее изменения /. велик по сравнению с длиной звуковой волны Л. Действительно, третий член по порядку величины равен /ср/Ь=2пр/Л/., в то время как второй й'р= (2п/Л)*р.
При Ь~Л третьим членом можно пре- небречь по сравнению со вторым. Тогда мы получаем волновое уравнение, которое и будет основой для дальнейшего: др- — — =о, 1 дср (12,3) с' д1с Действуя на интеграл с переменными пределами оператором Ч, для единственной отличной от нуля компоненты скорости о„ получаем о„(х, 1) = — 1(х — сс). 1 Р«г (12.61 Аналогично находим для обратной волны вл(х, 1) — — — д(х+ с1). Р«е (12.7) Величина р,с, равная отношению акустического давления р к скорости частиц жидкости в плоской волне, называется волновым сопротивлением средьс, обратная величина 1/Р,с — волковой проводимостью среды.
В акустике часто используют монохроматическне источники звука, работающие на некоторой частоте сь. Излучаемые таким источником волны будут гармоническими, так что акустическое давление представляется в виде р=ср(г) ехр( — (с«с). При этом волновое уравнение (12.3) переходит в так называемое уравнение Гельмгольца: Дс]+Иср=0, й'= '!с'. (12.8) Простейшим решением этого уравнения является плоская волна ср=А ехр (йг), причем для волнового вектора ]с= =(й„, й„, й,) имеем К+ й„*+ й] = «Р!~~. Для звукового давления в результате получаем р = А ехр 11(]сг — свг) ].
(! 2.10) В гармонических волнах скорость частиц выражается через давление согласно первому уравнению (12.2): и = сРР1(тврс (12.11) (12.9) В плоской волне, учитывая (12.10), для колебательной скорости жидких частиц имеем т = — — ехр]1(Ы вЂ” с«1)]. А 1с Рьс й Таким образом, скорость т совпадает по направлению с вектором ]с (12. 12) например, первый член в (12.5) и подставив его в (12.4), находим с л-сс ч(г, 1)= (г, 1«) — 1 ч ]Г'( — )с(т=т(г, 1„)+ 1 ч ~(сй)дй. Рь С Р«с с. л-сс, Две гармонические плоские волны равных частот и амплптуд, но противоположно направленных ([с'= — (г) образуют стоячую волну: р = 2А сов [гг ехр ( — йМ), т = — — з[п [гг ехр( — йю1).
(12.13) 2!А ь р«с ь В последней узловые плоскости для давления (р=О) определяются уравнениями [гг= (и/2) +пл и отстоят друг от друга на половину длины волны. Скорость частиц жидкости на этих плоскостях максимальна. Напротив, плоскости максимума давления [гг=пп соответствуют узловым плоскостям для скорости. 44.3. Излучение плоских волн. Неоднородные волны. Плоские звуковые волны можно получить, создавая на некоторой плоскости распределение давления илн нормальной скорости. В простейшем случае нормальная скорость одинакова по всей плоскости, как, например, при изучении звука колеблющимся поршнем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
