Л.М. Бреховских, В.В. Гончаров - Введение в механику сплошных сред (1119112), страница 58
Текст из файла (страница 58)
В случае же работы этого монополя вблизи свободной границы следует рассчитать поток энергии от днпольного источника, данление для которого определяется выражением (12.76), где ге — — г, в соответствии с результатами задачи 12.!1. При расчете потока звуковой энергии 1=рч можно положить йг~1. В этом случае при вычислении скорости ч=Чр/(торе достаточыо дифференцировать только экспоненту: о,=(гейе/4лг) Уе соз В ехр(!йг). В результате получаем ыре созе (Йг — м/) / е ~ У (е ге де созе 6 г — Рбеге е ге Усредняя это выражение по времени и ынтегрируя по поверхности полусферы радиусом г, для суммарного потока энергии находим л!е / = 2л — е ( У (егейе созеВз!пВбВ = ! Уе(е(гей) йе.
— ле е е 1 48л е уаким образом, наличие свободной поверхности вблнэн от нзлучателя резко снижает величину излучаемой эиергин: /,//„= (,й) е/6< 1. 278 Глава 13 МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА (13.1) где с — скорость света в вакууме. Здесь и ниже используется абсолютная, или гауссова, система единиц СГС, которая нам представляется наиболее удобной в физике.
С учетом силы (13.1) уравнение Навье — Стокса (8.8), в котором можно положить а=т1, а также Ь= — 2~1(3 (см. задачу 8.1), запишем в виде р — "+ р(чЧ)ч= — — Чр+т)йч+ — '1 Ч(Чч)+ — ЛхН. (132) дг 3 с 279 При движении проводящей жидкости или газа в магнитном поле возникают дополнительные силы, действующие на частицы жидкости со стороны этого поля.
В свою очередь, электрические токи, возникающие в движущейся жидкости, изменяют внешнее магнитное поле. Взаимодействие между полем скоростей в жидкости и магнитным полем приводит к ряду специфических особенностей движения жидкости и в значительной степени усложняет его описание. Раздел науки, изучающей это движение в приближении сплошной проводящей среды, называется магнитной гидродинамикой. В природе примерами проводящей жидкости в магнитном поле могут служить жидкое ядро Земли, ионизированные газы (плазма) в ионосфере, на Солнце и других звездах, в межзвездном пространстве и т.
д. В последнее время интенсивное развитие магнитной гидродинамики и примыкающей к ней физики плазмы связано также с постановкой практических технических задач, таких, как создание магнитогидродинамических генераторов, осуществление управляемого термоядерного синтеза и т. п. Отметим, однако, что в ряде важных случаев описание поведения плазмы в магнитном поле выходит за рамки рассматриваемого ниже приближения магнитной тидродинамики. 2 47. Приближение магнитной гидродинамики 47.1.
Основные уравнения. Основными уравнениями магнитной гидродинамики являются известные уравнения гидродинамики и электродинамики, в которых должна быть учтена связь между движением частиц и магнитным полем. Эту связь можно описать, если в гидродинамические уравнения движения ввести силу, с которой магнитное поле напряженностью Н действует на проводник с плотностью тока Л. Как известно нз общего курса физики, эта сила, отнесенная к единице объема, равна 1= 1 ЗХН, с Гндродннамнческое уравнение неразрывности (6.9) не изменяется: — = — +чЧР = — РЧч. "Р дР и дг (13.3) Уравнение состояния жидкости, пренебрегая возможным изменением энтропии, запишем так: р=р(р).
(13.4) В случае несжимаемой жидкости (р=сопз1) вместо (13.3)— (13.4) будем использовать одно уравнение: гНчч=О. Для плотности тока 3 имеем закон Ома: Л = оЕ, = о~Е+ — чкН), 1 с (13.6) где о — коэффициент электропроводности (проводимость); Е— напряженность электрического поля; Е, — аналогичная величина в сопутствующей системе координат, движущейся вместе с жидкостью. В магнитной гидродинамике обычно рассматриваются немагннтные среды (магнитная проницаемость р=1) и достаточно медленные процессы, так что можно пренебречь током смещения.
Тогда в соответствии с уравнениями Максвелла для полей Е н Н имеем: го(Е= — — —, го1Н= — Л, гйчН=О. ~ дН 4к (13.6) с дГ е Предположим, что градиент магнитного поля направлен перпенднкулярно направлению самого поля. Тогда (НЧ)Н=О, н (13.7) для перпендикулярной к Н компоненты чк переходит в уравнение г и*~ р — = — ч,'р+ — '+р, й 1 зк) где Гх — перпендикулярная к Н компонента вязких сил.
Из этого уравнения следует, что движение проводящей жидкости в направлении, нормальном к магнитному полю, происходит 280 Уравнений (13.2) — (13.6) достаточно для определения неизвестных векторных и скалярных величин Р, р, ч, Л, Е, Н. 47.2. Магнитное давление. Вмороженное поле. Выразим нз второго уравнения (13.6) Л через Н, подставим в (13.2) н преобразуем возникающий в правой части член го1 НХН, используя известную формулу векторного анализа: го1 НХН=(НЧ)Н вЂ” ЧН'/2.
В результате (!3.2) запишем так: р — = — Ч (р + Найк) + (Н Ч) Н(4я + т(Л ч + г1Ч (Ч ч)13. (13 7) ~й таким образом, как если бы в жидкости наряду с давлением р действовало еще и магнитное давление Н'/8п. Следовательно, иа проводящую жидкость можно оказывать воздействие силаин магнитного давления: толкать магнитным поршнем, ограни пинать магнитной стенкой и т. п. Исключим из уравнений (13,5), (13.6) переменные Е и Л. Предполагая о=сопз1, имеем — = го1 (ч х Н) — — го1 го1 Н. а~ 4но Это уравнение можно переписать и в несколько ином виде, если воспользоваться формулой векторного анализа го1го1= =Чйч — Ь и учесть, что б(ч Н=О. При этом получаем — = го1(чхН)+ — АН.
(13.8) д1 4но Последнее уравнение позволяет найти магнитное поле Н, если известно поле скоростей частиц жидкости ч. В частности, для покоящейся среды (ч=О) имеем уравнение диффузии для поля Н: — =Р ЬН, (13.9) дг где параметр Р„=сЧ4ло играет роль коэффициента диффузии. Отсюда следует, что магнитное поле просачивается сквозь вещество от точки к точке.
Глубину просачивания за некоторое время 1 можно оценить как и уР„1=сУг)4по. В случае периодического процесса частотой а время 1-1/в и л„-с114ноге. Именно поэтому переменный ток течет в проводнике лишь в тонком поверхностном слое толщиной порядка й„(скин-эффект). Чем больше проводимость о и выше частота а, тем сильнее эффект, т. е. слабее диффузия поля.
Рассмотрим теперь предельный случай идеальной проводимости жидкости (о-+.оо). При этом (13.8) перейдет в уравнение дН(д1 = го1(чХН) (13. 10) тождественное уравнению для вихря скорости в идеальной несжимаемой жидкости, которое можно, например, получить из результатов задачи 8.2, положив там т)=0, р=р(р) и чч= =О. По аналогии с линиями вихря отсюда следует, что магнитные силовые линии жестко связаны со средой, т. е. движутся вместе с жидкостью. Обычно говорят, что в этом случае магнитное поле «еморожено» в вещество (емороженное иоле).
Этот результат также легко следует из общих физических представлений. Действительно, если бы идеально проводящая жидкость при своем движении пересекала бы силовые линии магнитного поля, то возбуждаемая в ней электродвижущая сила приводила бы к бесконечному току, что невозможно.
В случае идеально проводящей жидкости, как это следует вз уравнения (13.5), должно обратиться в нуль и электрическое 281 поле Е.=Е+чХН(с=О в сопутствующей системе координат, откуда Е= — кХН(с= — ч~ХН/с. Последнее условие накладывает определенные требования на скорости движения идеально проводящей жидкости поперек магнитного поля, в то время как составляющая скорости ч,~ вдоль поля Н может быть любой. Если теперь умножить последнее уравнение векторно на Н и раскрыть двойное векторное произведение по известным формулам, то с учетом члН=О получаем: чл = сЕХК/Н' = сЕь ХН/Нь, (13.11) о~~ = ( чх ~ = сЕ ь/Н, где Е~ — проекция вектора напряженности электрического поля на плоскость, перпендикулярную Н. Таким образом, в скрещенных магнитном и электрическом полях идеально проводящая жидкость должна двигаться поперек силовых линий магнитного поля со скоростью, определяемой выражением (13.11).
Это движение называется электрическим дрейфом, а скорость чл — дрейфовой скоростью. Последняя всегда перпендикулярна плоскости, в которой лежат векторы Е и Н, а ее величина пропорциональна отношению перпендикулярной к Н составляющей вектора Е и величины магнитного поля Н. Мы рассмотрели два предельных случая, когда основную роль в правой части (13.8) играет первый (конвективный) или второй (днффузионный) член.
В общем случае относительная роль того и другого члена определяется величиной, аналогичной числу Рейнольдса. Под последним понимают отношение величины оР (Р†характерн масштаб) к коэффициенту диффузии. В вязкой жидкости роль коэффициента диффузии выполняет кинематическая вязкость ч, и обычное число Рейнольдса оР/т определяет степень преобладания конвекции над днффузней вихря.
В магнитной гидродинамике коэффициентом диффузии является Р„(эту величину иногда называют магнитной вязкостью), а отношение 1(е„=оР/Р = =4пооР/с' называют магнитным числом Рейнольдса. При Ке„~! доминирующей'является конвекция и во всей области (за исключением пограничных слоев) справедливо приближение идеальной проводимости (подробнее о безразмерных параметрах подобия см. задачу !3.1). 47.3. Течение Нуазейля (Гартмана). Рассмотрим стационарное ламинарное течение Пуазейля проводящей жидкости между двумя покоящимися плоскопараллельнымн пластинами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
