Л.М. Бреховских, В.В. Гончаров - Введение в механику сплошных сред (1119112), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Пусть при 1=0 характерный размер возмущения 1, а его амплитуда А. Оценивая по порядку величины дисперсиониый и нелинейный члены, имеем 9д'и/д$' рА/1', иди/дй А'/1, при этом отношение второго к первому будет а А)*ф Предположим, что а»1 прн 1=0, это соответствует плавному длинному импульсу протяженностью 1. Тогда дисперсионный член будет относительно мал, и основную роль будет играть нелинейность, приводящая к укручению волны, т. е.
к уменьшению 1. При этом параметр д падает, следовательно, усиливается влияние дисперсионного члена. Но это приводит к расплыванию волны, т, е. вновь к росту 1 и вместе с ним параметра д. Эта качественная картина указывает на возможность существования стационарного неизменяющего своей формы решения уравнения (14.11') с постоянным д-1.
297 к треугольному (ударная волна), причем со временем максимальное возмущение в ней уменьшается, а ее пространственная протяженность увеличивается. Закон изменения этих величин может быть найден на основе закона сохранения полного импуль- ОФ са волны У = ) ий$=сопз1, следующего из (14.9). В простейшем случае треугольного начального импульса этот расчет проведен в задаче 14.3.
Последовательные изменения формы импульса (и>0) изображены на рис. 14.2, где 1,<1,<1,<1,. Аналогичные построения можно провести и для возмущений с и<0, а также для знакопеременных и. В частности, любое периодическое начальное возмущение, например гармоническая волна, с течением времени приобретает пилообразную форму. 49.4. Диспергирующие среды. Солитон. Даже слабая дисперсия, имеющаяся, например, в случае волн на мелкой воде и длинных внутренних волн, препятствует образованию фронта ударной волны.
Здесь слабая нелинейность, способствующая укручению волны, и слабая дисперсия, вызывающая ее размытие, могут как бы компенсировать друг друга. При этом'возникает так называемая стационарная нелинейная волна, распространяющаяся без изменения формы с постоянной скоростью. Рассмотрим этот процесс на примере уравнения КдВ (см. п. 49.2): ди ди дзи ди — +с,— +9 — = — и —. дг дк дФ дх Ищем это решение в виде и=(Ц вЂ” с!), где с — некоторая новая постоянная — скорость распространения стационарной волны.
Подстановка и в (14.11') приводит к обыкновенному дифференциальному уравнению для функции /(и) (т1=4 — с!): — с/'+ р("'+/('= ( — с/+ Я" +('(2) '=О, которое один раз легко интегрируется: р(" — с(+('(2 = 0. (14.12) Здесь постоянная интегрирования положена равной нулю, так как заменой (=('+/„с=с+/, уравнение (!4.!2) приводится к виду с~ + ~~/2 = (а (с + (о/2), правая часть которого может быть обращена в нуль соответственным выбором (,. Поэтому следует помнить, что к любому решению уравнения (14.12) можно добавить произвольную постоянную, одновременно добавив ее и к с, т. е. переходя в движущуюся систем) координат.
Обратим внимание, что (14.12) аналогично уравнению движения тела массой р в потенциальном поле У(/): 6("= — д(((д(, ((=('/6 — сГ/2. (14.13) Ограниченное решение ((г!) существует, если уровень полной энергии тела Е= (р/2) ((')'+ У находится в потенциальной яме. На рис. 14.3, а приведена зависимость (((() при р>0 и с>0. При этом ограниченное решение существует при Е =О. Сделаем подстановку р=(', /н=др(дт1=рдр(д(. Тогда (14.13] запишем так: д/д((рр'/2+ У) =О.
Отсюда находим р= ц~д„= у(2/р) (Š— (/), (14.14) где Е=сопз( — полная энергия. С помощью (14.13) и (14.14) можно каждому значению у сопоставить соответствующее значение р. Получающиеся на плоскости ((, р) кривые при разных фиксированных значениях Е называются фазоеыми траекториями уравнения (14.14). Эти траектории изображены на рис. 14.3, б. Особо интересен случай Е= =О, когда уравнение Е=У(() имеет двукратный корень (,л — — 0 и однократный (,=А= — Зс. При этом соответствующая фазовая траектория будет сепаратрисой, отделяющей периодические движения от непериодических. В этом случае, как легко проверить подстановкой, решением (!4.14) будет так называемая уединенная волна, или солитон: ((г!) =А/сй'((г!+т1,)/Л), А=~4!)/с=~Т2~/А.
(14.15) Скорость солитона однозначно связана с его амплитудой с=А/3, параметр Л определяет протяженность солитона. В исходной системе координат скорость солитона о=с,+с всегда больше фа- 298 зоной скорости гармонических волн с =с,— Рй'. Профиль уединенной волны изображен на рис. 14.4, а. В случае Е<0 решение /(т1) заключено в пределах /,</</„ где /, и /, — второй и третий по величине корни уравнения Е= =(/(/). Поскольку к решению можно добавить произвольную постоянную (см. (14.12')), то корень /, может быть отрицательным. Замкнутые фазовые траектории соответствуют периодическим решениям, называемым кноидальными волнами.
Характерный вид этой волны представлен иа рис. 14.4, б. При Е-+О фазовая траектория приближается к сепаратрисе, изображающая точка при движении по этой траектории большее время находится в окрестности /,. При этом решение приближается к периодической последовательности солитонов. Если Еж(/„„=(/(2с)= — 2с'/3, то, разлагая правую часть (14.13) в ряд по степеням (/ — 2с), получим уравнение (1/н+ +с(/ — 2с) =О, решением которого является гармоническая волна, сдвинутая от невозмущенного состояния на величину 2ьч 1=2с+и,з)пйт1, й=Гс/р, и,— произвольная амплитуда. В системе координат, движущейся со скоростью 2с, получаем обычное линейное решение уравнения КдВ. Учитывая, что в этой системе ц=$ — с/+2с1=х — (с,— с) 1, а также с=рй', имеем для этого решения: и=и, э(п(йх — ы/), го=й(с,— с) =йс,— рй'.
Путем точного решения нестационарной задачи (уравнения (14Л1) ) показывается не только наличие солитонного решения, но и его устойчивость. Более того, оказывается, что если для начального импульса (отрицательного при р<0 иля положительного при б>0) параметр д>12 (для солитона о=АЛ'/3=12), то с течением времени он распадается на последовательность соли- тонов, расположенных в порядке возрастания амплитуд. Первым всегда бежит солитон с наибольшей амплитудой, т. е.
с наибольшей скоростью распространения. Укажем еще на одну интересную особенность многосолитонных решений уравнения КдВ. Допустим, что имеются два солитона. При этом если амплитуда идущего впереди солитона меньше, то в некоторый момент времени его догонит второй солитон. Какое-то время они будут распространяться вместе в виде возмущения, не являющегося простой их суммой. Однако затем это возмущение вновь распадется на два солитона той же формы, но впереди уже будет тот, амплитуда которого больше. Таким образом, солитоны ведут себя так же, как невзаимодействующие линейные волны.
Нелинейность проявится только в сдвиге солитоиов относительно того положения, в котором они находились бы, если их распространение было бы полностью независимым. $50. Резонансные взаимодействия волн 50.1. Условия синхронизма. В предыдущем параграфе на примере среды без дисперсии было указано на важную роль резонанса в процессах взаимодействия волн. При этом во втором приближении метода возмущений возникают линейно растущие со временем вековые члены. Заметим, что рассматриваемый там процесс можно интерпретировать как взаимодействие трех волн, так как основное условие резонанса в (2й) =2в(й) могло бы быть записано в таком виде: И,=И, +й„ в,=в,+вь где Иг=й,=й, Й,= =2й, в~ — — в(И,) (1=1,2,3). Аналогичные трехволновые резонансные процессы могут возникнуть в общем случае неодномерных волн в среде с квадратичной нелинейностью.
В самом деле, рассмотрим некоторое нелинейное уравнение в частных производных: 1.,в=еЕ,(ге') + (14.16) Здесь Е,— линейный оператор, допускающий решения 7.,гас=О в виде плоских гармонических волн: ге,=аехр(1((гг — в1))+к.с., в=в((г), (14.17) а 1,,(в') — символическая запись членов второго порядка по в, е — малый параметр нелинейности. Решение (14.16) ищем в виде в=егс,+е'в,+... Пусть, далее, при г'=0 заданы такие начальные условия, что решение линейного приближения имеет вид суммы двух волн (14.17) с аь 1с, и в;=в(й,) (/=1, 2). Для функции ге, второго приближения получим неоднородное линейное уравнение 7.,в,=7.,(в,'), правая часть которого будет содержать слагаемые, пропорциональные ехр(1(к,г — в,г)1.
При этом пары к„в, принимают следующие возможные значения: +(1с„4-Й„), -ь (в ~в.) с гл, а=1, 2. Если окажется, что хотя бы для одной из этих пар к„в, соответствующий член в правой части уравнения для гс„например -ехр(([к,+(г,)г — (в,+в,)1Ц, удовлетворяет однородному линейному уравнению, т. е. является гармонической волной (14.17), то будет иметь место резонанс и в решении в, возникает вековой член. Легко видеть, что необходимым условием этого будут так называемые услоейя синхронизма: "з = (гг+ "е ве = в(йе) = в.+ ве —— в(й~)+ в(й,).
(14.18) Заметим, что в таком же виде можно записать условие резонанса и для других комбинаций й, и йь в, и в„если, считая частоты всех волн положительными, как это обычно и делается, соответствующим образом перенумеровать волны из заданной тройки.
Например, если волна М,=й,— к, и в,=в,— в, удовлетворяют линейному уравнению, то заменой индексов 1~е3 вновь получаем (14.18) . В задаче14.5показано,что для изотропных (в дисперсионное соотношение входит только й= ~й~) волн, дисперсионная кривая в=в(й) для которых монотонно возрастает (в'>О) н выпукла 300 В результате, приравнивая члены первого порядка по е, имеющие к тому же одинаковую зависимость от г, получаем следующую систему так называемых укороченных уравнений: а, = У,а,а„а, =-',У,а,ам аь = У,а,а,. (14.20) Здесь точкой обозначено дифференцирование по медленному времени, а знаком ч — комплексное сопряжение, волна номера 3 предполагается наивысшей частоты. Величины У, (/=1, 2, 3), характеризующие взаимодействие волн, называются коэффициентами (или потенциалами) взаимодействия.
Если нормировать амплитуды волн таким образом, чтобы энергия /-й волны была пропорциональна 1а;~' с не зависящим от номера 1 коэффициентом, то все У; будут чисто'мнимыми и равными: У,=(ге~У (/= =1, 2, 3). При этом (14.20) перейдет в систему уравнений: а, = иь,Уа,аз, а, = йь,Уа,ам аь = йь,Уа,а,. (14.20') Заметим (см. задачу 14.6), что в этом случае тройка волн удовлетворяет закону сохранения энергии в виде Е= ~ а,1'+ 1а,1'+ ~ а,1*=сопя(. (14.21) В задаче 14.6 получены также еще три закона сохранения для системы (14.20'), любые два из которых являются следствием третьего и (14.21): ) а, ~*/а,— ~1 а,'17ы,=Ни, ) а, ~ '/ы, + ~1а, ~1'!гв,=Н„, (14.22) ~аЖьь+ ~аз~'!гьз=Н„, где Н„, Ньь Н,. — постоянные.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
