Л.М. Бреховских, В.В. Гончаров - Введение в механику сплошных сред (1119112), страница 65
Текст из файла (страница 65)
В результате получим АФм=йв (П. 7) — искомые шесть соотношений (а не девять в силу симметричности левой части (П.?) по перестановке индексов 1 и 1: а„а„= =а„а„). Соотношения (П.7) можно записать также в другой форме, если рассматривать систему х как старую, а х, как новую и учесть, что таблица чисел ам задает обратное преобразование (х,=сов(хь х~')х,'=авх„'). Образуя хх, и рассуждая аналогнч. (П. 7') иым образом, найдем 312 Свойства тензоров что и требовалось доказать.
В теории векторов доказывается теорема Гаусса, заключающаяся в справедливости соотношения ~ — <11< = ~ А«ам(5, (П.8) где У вЂ” объем некоторой замкнутой области; 5 — ее поверхность; и — вектор внешней нормали. Покажем теперь, что для тензора второго ранга й;„также имеет место Теорема 4 — <(У =- ~а««м<15. аам дхь Я (П.8') 313 Теорема 1. Если А,— вектор и я«< — тензор второго ранга. то величины В<=я,„А„также образуют вектор.
Доказательство. Запишем это равенство в новой системе координат В,'=д',„А,' и применим формулы преобразования для величин 3«' и А„'. ц'<„=а„а, я<„, А„'=амА,. Тогда В;= =а„а,„а„,а,„А„но а„„а„=б„„б„,А,=А„. Поэтому В,'= < а«д<„А„=а«В„т. е. величины В< преобразуются как вектор. Теорема1' (обратная). Если д<, преобразует по формуле В<=й<вА„произвольный вектор А, в вектор В„то дв — тензор второго ранга. Д о к а з а т е л ь с т в о. В новой системе координат имеем В<'-.д'<А.'. Подставив сюда справедливые для векторов соотношения В<'=а«В< и А,'=а,„А„, получаем а«В<=3'<„а„„А„.
Умно жая обе части последнего равенства на а„с последующим суммированием по < и учтя, что а<,а„=б„, 6,В,=В„находим В,= =я'„а,„а„А„. Сравнивая это равенство с исходным В<=3<„Ам заключаем, что 6<,„=а,„а„д'„. Еще раз умножим обе части нз а„,а, с суммированием по з и <и и учтем, что а„„а,„=б„„а<,а„= =6<., 6„,6<.й"«=д'„,. В результате получим преобразование для <" тензора: я „„=а„,аа 3.. Совершенно аналогично доказываются еще две теоремы. Теорема 2. Если А< и „— произвольные векторы н й<„— тензор второго ранга, то величина М=а«А<„— скаляр. Теорема 2' (обратная). Если величина М=д„А<„— скаляр, А< и „— произвольные векторы, то д„— тензор второго ранга. Теорема 3. Сумма диагональных элементов тензора второго ранга — скаляр, т.
е. не изменяется при поворотах системы координат. Д о к а з а т е л ь с т в о. Воспользовавшись преобразованием (П. 3), запишем 3«=а«ар я< =6< й<< =3 Доказательство. Применим соотношение (П. 8) к вектору Аз=Из»В|, где В,— произвольный постоянный вектор.
При этом (П. 8) можно записать в виде г' г дез» в, |" — з — ! з,~зз) - з. ,) дк» т 3 Откуда в силу произвольности вектора В| и следует утверждение теоремы. О и р ел е л е н и е. Тензор второго ранга да называетгя симметричным (антисимметричным), если аз»|=аз„(йззз= — 8|з). Очевидно, что у симметричного тензора имеется лишь шесть независимых компонент: дзз, Л~, йзз, язв=уз|, дзз,=аз|, язв=язв, а у антИСИММЕТрИЧНОГΠ— ТОЛЬКО ТрИ: Лзз= — й|з|, йззз= — Дз!, Лзз= д„, В„=В„=В„=О. Теорема 5. Симметричность (антнсимметричность) тензора сохраняется при поворотах системы координат.
Доказательство. К» амаз Из = ~ ама»вКззз = ~ Л~» Знак минус здесь относится к случаю антисимметричного тензора. Определение. Величины, составленные из компонент тензора и неизменяющиеся при переходе к новой системе координат, называются инвариантами тензора. Теорема 3 дает один инвариант тензора второго ранга аз|= =сопз1. Для того чтобы найти другие инварианты, рассмотрим вопрос о главных осях и главных значениях симметричного тензора. Пусть дан »з|з — симметричный тензор второго ранга и два вектора А=В=г (А,=В,=х,). Тогда по теореме 2 имеем скаляр М=хзззхзхз. Будем теперь изменять х, и х, таким образом, чтобы М=1. Тогда равенство йзззхзхв= йззхзз+ дззхзз+Лззхзз+ 2вззхзхз+ 2аззх,х, + 2дззхзхз = 1 будет уравнением поверхности второго порядка, называемой тенворной поверхностью.
В частном случае, когда все д„)0, получаем уравнение эллипсоида. Известно, что поворотом осей координат уравнение поверхности второго порядка, не содержащее первых степеней х„можно привести к каноническому виду Л,х,'+ Л,х,'+ Л,х," = 1. (П.9) Но поскольку прн этом преобразовании компоненты тензора также преобразуются в»з'„и в'ззхз'хз'=1, то в новой системе координат л'„=Л„д'з»=Л„и'зз=Л„а д'з»=0 при (~й. Другими аловами, тензор приобретает диагональный вид.
При этом направления осей вовой системы координат называются главными ыанРавленилми тензОРа вз„а величины Л,— главными значениями 314 имеет нетривиальное решение, т. е. те значения Х„при которых обращается в нуль определитель системы (П. 10): ! ки х ыи Лм Ьм Ым — ь уев = о. (пл О Уравнение (ПЛ1) является уравнением третьей степени относительно Х, три его корня )ч и будут искомыми главными значениями тензора. Соответствующая каждому из найденных )~ тройка чисел, являющаяся решением уравнения (П.10) А,'ч (1= =1, 2, 3), определяет компоненты вектора А'*', коллннеарного одному из главных направлений. Нетрудно показать, что главные направления А,'" и А„'", соответствующие двум различным главным значениям Х,чьХ„ортогональны. В самом деле, поскольку А„"" — решение уравнения (П.
10), то йчА„'" =Х,А,"> и ямА,'*>=Х,АР>. Умножая первое равенство на А и', второе — на А<'и (естественно, с суммированием по 1) и вычитая почленно, получим с учетом симметрии тензора д„ (Х,— Х,) А,' "А,'" = О, что переходит (Х, — Х,чьО) в условие ортогональности векторов А'о и А'": А,">А,и'=А"'Ао'=О. Если же какая-то пара (илн все три) главных значений совпадает, то в силу произвола в решении уравнения (П.10) векторы А'ч можно выбрать взаимно ортогональными. Теперь не составляет труда найти еще ряд инвариантов теизора второго ранга, воспользовавшись тем, что решения уравнения (П, 11), являющиеся главными значениями тензора, недолжны зависеть от выбора системы координат.
Следовательно, не должны зависеть от системы координат и коэффициенты уравнения (П. 11), определяемые компонентами тензора и,„. Раскры- 315 Пусть теперь вектор А коллинеарен какому-либо главному направлению, например первому, тогда в системе координат, оси которой совпадают с главными направлениями тензора,очевидно, имеем В,'=Х,А,' (В'=).,А'), т. е. преобразование д',,А,' просто удлиняет вектор А в Х, раз.
Это свойство не должно зависеть от выбора системы координат, следовательно, для вектора А„, совпадающего по направлению с главным, в произвольной системе координат справедливо равенство В,=Х,А, (В=Х,А). Тем самым мы получили способ нахождения главных значений и главных направлений тензора второго ранга. Для этого нужно найти такие значения Х, при которых однородная система уравнений дцАц=хА~ или (йь — бвх)Ад=О (П.10) (П.12) и являются искомыми инвариантами тензора й„. Инвариант- ность 1, мы уже доказывали (теорема 3).
Вместо инварианта 1; обычно используют легко запоминаемую комбинацию инварнантов !, и 1; вида 1,=1,в-(-21,'=два+уз„+йв„-1-2дв в+2йв,в+2йзвв (П 13) — всегда положительная сумма квадратов всех элементов тен- зора. Основные формулы векторного анализа Приведем ряд основных положений и формул векторного анализа в объеме, необходимом для чтения настоящей книги. Скалярное н векторное произведения. Пусть имеются два вектора А=(А„А„А,) и В=(„„В,), заданных их компонентами А, и В, (1=1, 2, 3) в прямоугольной декартовой системе координат.
Скалярным произведением этих векторов будет АВ = ВА = АВсоз(АВ) = АвВв+ РзВз+ АзВв = АвВь Векторным произведением АХ В этих векторов является вектор, перпендикулярный как А, так и В. Длина этого вектора равна АВ~з(п(АВ) ~, а направление определяется таким образом, чтобы вращение от А к В по кратчайшему пути вокруг вектора АХВ происходило в ту же сторону, что и вращение осн лв к оси х, вокруг оси х,. В компонентах имеем х; х, хз АХ В = Ав Ав Ав = (АвВз — АзВз) хв +(АзВв АвВз) х, + в, в, в, + (А,Вв — АзВв) хз где х, — единичный вектор в направлении 1-й оси координат.
Часто вводят так называемый абсолютно антисимметричный хензор третьего ранга еч„, компоненты которого имеют значения: а) О, когда любые два индекса равны; б) 1, когда 11й является четной перестановкой чисел 1, 2, 3; в) — 1, когда 11й является нечетной перестановкой чисел 1; 2, 3. Выражение для векторного произведения может быть записано через тензор еч, следующим образом: АХВ=е„,А,В„х,. 316 вая определитель (П. 11), получаем — л'+1,У вЂ” 1,Ъ+11=0, где коэффициенты ~ Ым Ывв Км~ Квв Квв йвз 1в = й',в+ йвв+ йввв — йпйзв — йпйзз — йззйзз Отметим некоммутативность векторного произведения и его ассоциативность по отношению к скалярному множителю М: вхА= — Ахв, (мА) хв=м(Ах в) =Ах (мв), Двойное векторное произведение записывается в виде АХ (ВХС) =В(АС) — С(АВ).
(П.!4) Градиент. Если каждой точке г=(х„х„х,) некоторой области пространства поставлен в соответствие некоторый скаляр ф(г) нлн вектор а(г), то рассматриваемая область называется скалярным или векторным полем. Выберем некоторую точку г скалярного поля ф(г), проведем через нее прямую в направлении единичного вектора з= (в„ в„ в,) и рассмотрим предел ф (г +»6) — ф (г) д~ а» 6 дх называемый производной скалярного поля по направлению з. Разложив ф,(г+эб) в ряд Тейлора, получим вх+ зг + зз) = ~ в»=э«э. дф г ~ър дф ~ър т дф! дх (, дх1 дхв дхз ), дхь ~ Г Вектор и=(дф/дхь дф/дх„дф/дх ) называется градиентом ф в точке г и обозначается символом йтабф.
Мы видим, что производная скалярного поля по направлению з равна проекции Втаб ф на это направление. Следовательно, ягаб ф направлен в сторону быстрейшего увеличения функции ф(г), а его модуль равен производной по этому направлению. Для удобства и упрощения выкладок вводится так называемый дифференциальный оператор Гамильтона (оператор «набла»): г/= х,— + х,— + к,— =кь —. д д д д дхд дхь дхь дхл При этом втаб ф= фф. Легко проверить, что 1~т=1ГГх,'+х,'+х,'=г/т, Чф(т) =ф'(т)г/т, 7(Сг) =С=сопя!. Дивергенция и теорема Гаусса — Остроградского.
Оп р едел е н и е. Потоком вектора а через поверхность 5 называется поверхностный интеграл ~ апа5, где и — нормаль к5. Выберем некоторую точку г векторного поля а, окружим ее малым объемом о'г', вычислим поток вектора а через замкнутую поверхность 5, ограничивающую объем Л'г', и рассмотрим предел <~ ап~В !пп = б!т а. лг-~о а)т 317 Здесь и — внешняя нормаль к 5.
Значение этого предела обозначается символом б(ча и называется дивергенцией (расхождением) вектора а в точке г. Этот предел существует, не зависит от выбора объема Л'х' н оказывается равным да, даз даз даз а)ч а — — '+ — + — — — Ч а. дхз дхз дхз дхз Если а = г, то с((ч г= (дх,/дх,) + (дхз/дхз) + (дхзйхз) = 3. Одной из важнейших теорем векторного анализа является теорема Гаусса — Остроградского. Поток вектора а через замкнутую поверхность 5 равен интегралу от днвергенпии вектора а по объему, ограниченному этой поверхностью: х, х, 'х, д д д даз = еиз — хо дх; го(а = Ч ха = дхз дх, дхз а, а, аз Легко убедиться, что го! йгай зр=О, а(и го! а= О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
