Л.М. Бреховских, В.В. Гончаров - Введение в механику сплошных сред (1119112), страница 66
Текст из файла (страница 66)
В терминах вектора вихря формулируется теорема Стокса, 3!я Вектор вихря и теорема Стокса. Определение. Интеграл от вектора а вдоль кривой Е, т. е. ) айг, называется линейным интегралом вектора а. Если кривая Ь замкнута, то Г= айг называется циркуляцией вектора а вдоль 1.. Обозначим через а5 некоторую поверхность, ограниченную контуром Е, и рассмотрим предел при а5-~О (1.
стягивается в точку): ф айаг !пп = го! а. аз-зз Ь8 Значение этого предела называется ротором (вихрем) вектора ж Для компонент последнего справедливы формулы: (го(а), = — — —, (го(а), = — — —, да з даз даз даз дхз дхз дхз дхз (го(а) = — — —. даз даз дхз дхз Используя оператор Ч, выражение для вектора го! а мощно записать в виде Цкркуляцня произвольного вектора а по замкнутой кривой Е равна потоку вихря этого вектора через односвязную поверхность 5, ограниченную контуром (.: а д г - ~ (го( а) и бЯ.
Векторные тождества. Используя оператор Ч н следуя правилу, что этот оператор действует только на те скаляры и векторы, которые стоят позади него, можно получить ряд формуд векторного анализа. При этом следует иметь в виду, что если оператор Ч стоит перед произведением нескольких величин, то нужно поступать так же, как прн дифференцировании произведения функций.
А именно, сначала оператор Ч действует только на первый сомножитель, оставляя остальные неизменными, затем только на второй н т. д. Здесь удобно отмечать те величины, которые временно считаются постоянными, каким-либо значком, нанрнмер с (сопя(). Следуя этому, найдем: агап (~Р9) = Ч (~Рф) = Ч (~Р 9) + Ч (<Р~,) = ф Втаб Ч+ Ч птах ~р, б(т (<ра) =Ч(Ча)+аЧ~р=~р б)ч а+а птаха Ч, го1 (~ра) = Ч Х (<ра) = <рЧ Х а — а Х Ч~р =чр го1 а — а Х Втаб <р, Несколько сложнее получается выражение для вихря век- торного произведения го1(аХЬ)=ЧХ(аХЬ,)+ЧХ(а,ХЬ).
Вос- пользуемся формулой (П.14) для двойного векторного произве- дения, записав ее так, чтобы вектор, на который действует опе- ратор Ч, стоял справа от него: ЧХ (аХЬ ) = (Ь Ч)а — Ь~(Ча) = (ЬЧ)а — Ь(Ча), ЧХ(а,ХЬ) =а,(ЧЬ) — (а,Ч)Ь=а(ЧЬ) — (аЧ)Ь. Складывая полученные равенства, находим го1 (аХЬ) = (ЬЧ)а — (аЧ)Ь+а йт Ь вЂ” Ь б)та Аналогичным путем получаем йч(аХЬ) =Ь(ЧХа) — а(ЧХЬ) =Ь го1 а — аго1Ь. Вычислим градиент скалярного произведения Втаб(аХЬ) = =Ч(аЬ,)+Ч(а Ь). Положив в (П.14) сначала А=Ь„В=Ч, С= =а, затем А=а„В Ч, С=Ь, соответственно находим: Ч(Ьа) = (ЬЧ)а+Ь.Х (ЧХа), Ч(аЬ) = (аЧ)Ь+а,Х(ЧХЬ). Следовательно, Втаб (аЬ) = (ЬЧ)а+ (аЧ)Ь+ЬХго1 а+ аХго1 Ь. В частном случае, когда Ь а, имеем Втаб(а'/2) =(аЧ)а+аХго1 а.
319 Операции второго порядка по Ч. Примером таких операций являются йч дгаб ф=Ч (Ч«р) = (ЧЧ)«р=Ч'«у=бф, где д' д' д«дв 3= — + — + — =— дхз дхз дхз дхв — оператор Лапласа; йч (ф дгаб вр) =«р йч йгаб зр+ (афтаб «р) йта«1 вр," го1 го1 а =Ч (Ча) — (ЧЧ) а = йтаб йч а — Аа.
Криволинейные координаты. Рассмотрим замену переменных $«(г) =5«(х„х„х,), «=1, 2, 3. допускающую обратное преобразование х,=х,(а„$„а,). Поверхности $«(г) =ѫ— - сопя( называются координатными поверхностями. Линии пересечения двух координатных поверхностей $,=С«и 3«=С«называются координатными линиями. Чаще всего чпотоебляются ортогональные криволинейные координаты, кооолинатные линии которых взаимно перпендикулярны. Примером таких координат являются: 1.
СфеРические: $«=г=Ух,*+х,з+х,', йв=б — Угол вектоРа г с осью х,; $,=ф — угол проекции вектора г на плоскость х„ х, с осью х,. При этом х,=гяп8созф, х,=гяпйяпф, х,= =г сов 8. 2. Цилиндрические; ~,=р= Гх,'+хв', $в=«р — угол вектора р= [х„х,) с осью х,; $,=г=х,. Обратное преобразование: х,= =рсоа«р, х,=р яп«р, хе=а. В общем случае в каждой точке пространства можно ввести единичные векторы е„е„е„параллельные касательным к соответствующим координатным линиям в этой точке. Тогда для производных функции гД„$„$,) имеем: дг дг дг — = Нве, — = Нвез, — = Нзе„ диев ' Яв Жв где Н« — — [(дх«/д$«)'+ (дхз/д$«)в+ (дхз/дф,)вГ' — модуль вектора дг/дй«.
Величины Н, («'=1, 2, 3) называются коэффициентами Ламе. В случае ортогональных криволинейных координат справедливы следующие формулы: афтаб $«=е«/Н„йтаа аз=ее/Н„йга«1 "Сз=е,/Н„ («1 г)' = Н', (Яв)в+ Н,'(Щв+ Н', (Л,)в, 31' =««х,с(хАхв — НЛ«Нзгвэ««вэАэз йгэ«1 ф($1, с„|з) = — Ягэб Ь вЂ” — —. + — — +— дф ев дф ез дф ез дф дте Н«дй«Нв д'.-з Нз фз й а (Н Н Н )-в [д(а«НзНв) д(евН«Н«1, д(езН«Нз)1 д$«дйв 4з 320 (го! а), = (Н,Н )-з [ д(~')Г') — д(азоз) ~ а1. а.
(го! а), = (Н Н )-, ~ д(азль) д(азНз) 1 дз Жз (го! а) = (Н Н )-з ~ д(азггз)— а1, Отсюда для сферических координат имеем: Н =1, Нз=г, Н =гв!п8, ага!(з« = е,— + езг ' — + е (гз!п 8) ' —, дф — дф . — дф дг дв дф д(г'а) гд(а з!пв) да,! йча=г ' — '+(гв!п8) з~ ' + — "1, дг дв дф гд(а, з(пв) да (го! а), = (г в!п 8) ' ~ дв дф1 да„д(га ) з (го!'а)з = г ' ~з!п 'Π—"— дф дг , г д(газ) да,! (го(а),р — — г ' ~ аг ав ~ ' !1з« = г ~~ — (~г †( + ь!п 8 †!'з!п Π†) + в!п Π— 1- ~ дг ~ дг ( дв(, дя ) дфз! И для цилиндрических Н,=1, Н,=р, Н,=1; Огай!« = ер — + езр' — + ез —, дф . дф Одф др дф дз Г д (ра,) да, аа г) (ч а = р ' ~ — ' -! ар аф~.
а* ' да, да (го!а) =р з * 'з аф дз да„да, (го!а) = —"— да др , Г д(раз) да„1 (го1а) =р-з~ з Р" др дф~ д«=р- ~ — '(р — ")+р — ф1+ 'ф 321 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ КОММЕНТАРИИ Лля бблее глубокого изучения вопросов, затронутых в этой книге, читатель может обратиться к специальным учебным пособиям и монографиям. й(ласснческне основы механики сплошных сред изложены в книгах: Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика сплошных сред. Мл Гостехиздат, 1954. Ландау Л.
Д., Лифшиц Е. М. Теория упругости. Мл Наука, 1965. Зоммерфсльд А. Механика деформируемых сред. Мл Изд-во иностр. лиг., 1954, Ламб Г. Гндродинамика. Мл Лл Гостехиздат, 1947. Милн-Томсон Л, М. Теоретическая гидродинамика. Мл Мир, 1964. Фгйнмая Р., Лейтон Р., Сгндс М. Фейнмановские лекции по физике. Мл Мир, 1966, т. 7. Седов Л. И. Механика сплошной среды. Мл Наука, 1973, т. 1/2. Бстчглор Дж. Введение в динамику жидкости. Мл Мир, 1973. Желающим глубже изучить вопросы теории турбулентности можно рекомендовать книгу: Монин А.
С., Яглом А. М. Статистическая гидромеханика. Мл Наука. Ч. 1, 1965; Ч. Н, 1967. Общие вопросы теории волн хорошо изложены в книгах: Уизем Г. Линейные и нелинейные волны. Мл Мир, !977. ТоЫоу А Ъ'аче ргорайа!!оп. Н. У., МсСгач-Н!11, 1973. Вопросам распространения волн, описываемых волновым уравнением (акустических, электромагнитных, упругих), посвящена монография Бреховских Л. М. Волны в слоистых средах. 2.е изд. Мл Наука, 1973.
'Теория волн в упругих средах также изложена в книге Емтй йт. М., уагйвггйу йт. Б., Ргеав Р. В!аз1!с чгачез 1п 1ауегеб шеб!а. Н. Ул РйсОгатч.НВ1, 1957. Современное состояние теории волн в жидкостях можно изучить по монографии Лайтхилл Дж. Волны в жидкостях. Мл Мир, 1981. еризическце и математические основы динамики волн в океане и атмосфере изложены в книге Экарг К. Гидродинамика океана и атмосферы. Мл Изд-во пиастр. лнт., 1963. Теоретическим вопросам волн в океане посвящена монография Каменкович В. М.
Основы динамики океана. Лл Гидрометеоиздат, !973. Поверхностные и внутренние волны в океане, их возбуждение, спектры и т, п. хорошо описаны в книге филлилс О. Динамика верхнего слоя океана. 2-е изд. Лл Гидрометеонздат, 1980. Атмосферные.волновые процессы (акустика-гравитационные волны, волны Россби, магнитогндродинамические волны в ионосфере) описаны в монографии Госгард Э., Хук У. Волны в атмосфере. Мл Мнр, 1978. Подробное исследование волн Россби содержится также в статье 7.ондивРНгдйгпз М.
Я. Р!апе1агу тчачез апб а го1ампй зр!геге.— Ргос. Яоу. 5ос., А, 1964, чо!. 279, р. 446 — 473. 322 Среди многочисленной литературы по акустике прежде всего хочется обратить внимание на фундаментальный труд Релей. Теория звука. Мл Гостехиздат, !955, т. 1/2. Подробное изложение физических основ акустики имеется также в книге Исакович М. А. Общая акустика. Мл Наука, 1973. Современное состояние акустики океана изложено в коллективном трудо Акустика океана/Под ред. Брехввских Л.
М. Мл Наука, 1974. Распространение звука в движущихся средах рассмотрено в книге ьлохипцгв Д. Й. Акустика неоднородной движущейся среды. Мл Наука, 1981. Основы магнитной гидродинамики, а также физики плазмы изложены, например, в книгах: Каулипг Т. Магнитная гндродинамнка. Мл Изд-во пиастр. лиг., 1959.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
