Л.М. Бреховских, В.В. Гончаров - Введение в механику сплошных сред (1119112), страница 45
Текст из файла (страница 45)
10.8. Получыть дисперснонное соотношеыие для плоских выугренних волн в жидкости с постоянной частотой Вяйсяля, не обращаясь к приближению Вуссинеска. Установить критерий применимости последнего в этом случае. 217 Р е ш е н и е. Будем искать решение уравнения (! 0.48) с №- — пре-'бр»/ /да=соне! в виде гармонической волны э=ЬФ(г)ехр(!(йг — юС)), й=(йю й„), г (», у). Подставив зто выражение в (10.48), получаем Ф" — 2)гФ'+ (ЛР/гоз — 1) йзФ = О, Р= №/2п. Исключая Ф' подстановкой Ф=ехр(рг)ф, находим ф»+ [(№/ыз — 1)й' — рз)ф=О, решением которого будет функция ф(а) =Ьехр(!Ь,а), где й,з= (№/мз — 1)йз — Рз. В результате мы получили решение уравнения (10.48) в виде плоской гармонической волны ш(г, а, С)=Ье»*ехр (!(м)1 — ы/)), м=(й, Ь,), )1=(г, х) с дисперснонным соотношением юз=№йт/(хз+)гз). Последнее будет совпадать с (10.51) в приближении Буссинеска, если можно пренебречь величиной Рт= (ЛР/22) '= [ (2р») 'дре/дг) з по сравнению с к', т.
е. при к» ! (2р») Ч(м/да), что и будет критерием применимости приближения Буссинеска для линейных внутренних волн. В океане зто условие выполняется для внутренних воли с длиной до нескольких сотен километров. 10.9. Найти направление групповой скорости для волн с дисперсионным соотношением, полученным в задаче !0.8. Решен не. Вычислим с,р —— ((дю/дй)й/Ь, дю/дл,), используя днсперсиои— у ное соотношение ю=Лгй(кз+Рз) й, ды/дй=Л/(кз+)гз) А (й,а+Рз), дог/дй,= — Л1(к'+)гз) /»Ьй,. Представим с,р в виде с,р Ах+Аз, где Ах= (Л/Ь,/кз) (я»+из) у» (/г,й/Ь— — йхгг) — вектор, перпендикулярный направлению распространения волиьг м, а Аг»» (ЛСЬ/к) (из+Ма) /' Рзм/к — параллельный.
Если теперь обозначить через а угол между вектором групповой скорости с,р и нормалью к м (равный нулю в приближении Буссинеска согласно п. 39.3), то для а получаем 1п а = )Л!!/Ах) =ЬЬ, Р'(кз+р')-'. Угол сг может быть велик, если волна распро. страняется в направлении, близком к горизонтальному (й,шО). Вектор груп. позой скорости за счет Аг оказывается не малым, в то время как вычисленный по (!0.55) в приближении Буссинеска он мал. Отметим также, что слабо модулированный в направлении распространения волновой пакет будет в отличие от расчета в приближении Буссинеска медленно двигаться в направлении ке со скоростью перемещения огибающей, равной )А!!)=(л!ь/н)(к'-(-Рз) '/*де=сер»/(кз+ггз), се-ы/к.
10ЛО. Показать, что волновое решение в виде поверхностной волны в однородной (р,=сопз1) бесконечно глубокой жидкости удовлетворяет уравнению для внутренних воли (!0.48) и граничному условию (!0.15) при произвольной зависимости Л/(г). Р е ш е н и е. Непосредственной подстановкой в (10.48) выражения для поверхностной волны ш=ехр(йг)ехр[1(йг — юС)), юг=яд, получаем тождество (- Л/з(х) ) Л/з (а! — мз ~ — йз+ Лз — — й — ЛР (г) Лз ш — Ь (мз — дй) ш = О.
к Ы 218 Таким образом, уравнение удовлетворяется. Аналогично проверяется и гранич. нос условие ( ) дзм д(здх ) — — пй ш~ — Лз (мз — пй) ш ) = О. г з г з 1ОД1. Найти наименьший корень. о~ (первая внутренняя мода) дисперсионного уравнения (10.72) при условии, что нижний слой однороден (Уз=О) и толщина среднего слоя бз-~.О (Уезда при этом остается постоянной). Установить, в каких случаях слой конечной толщины дз можно заменить резкой гра. ннцей раздела жидкостей с разной плотностью.
Решеные. При Уз=О из (10.66) и (10.69) имеем па=1, ()з — — Ыз. Дне. персионное уравнение (!0.72), которое в этом случае удобнее анализировать при фиксированном волновом числе Л, перепишем в виде 16 ()з+ 16 ()з (йо= Л4,з(„6 1„6 „д, При г(з-~0 наименьший корень этого уравнения будет также стремыться к нулю (о,(Л)-~-0). Тогда, разложив функцию !йчг в ряд и ограничиваясь лишь главным членом, получаем а|зяэйдз(с!)з()~+с()гйз). С учетом выражения (1069) для и находим дисперсиониое соотношение первой внутренней моды ы,з(Л) =УззЫз(с(Л)3,+сгй))з)-'. Далее, воспользовавшись выражением для Узз, в пределе при дг-~0 получим Узда= — Кро '(дрз(дг)дз-~йбрlро, где бр= — (дрзl Л(г)дз=р,— р, — разность плотностей жидкости на нижней и верхней границах термоклына.
В результате имеем формулу мР(Л) =л(бр/рз)Л(с!66~+ей))и) аналогичную дисперсионному соотношению для волн иа границе раздела (10.76) (см. задачу 10.7). Если с(з будет малой, но конечной величиной, то для справедливости последней формулы следует потребовать малосты корня а,(Л). Это будет, как легко видеть иэ разложения для а|з, в случае, если: а) Ыз«С( (ИзХ<1) — толщина слоя мала по сравнению с длиной волны; б) Ызф, Из/Л,~! н ЙЩз=дзЛ(з'к ! — толщина неоднородного слоя мала по сравыению с толщинамн однородных слоев. При выполнении этих условий неоднородный слой конечной толщины можно заменить резкой границей раздела, если интересоваться только первой внутренней модой.
Для высших мод такой переход невозможен. 10.12. Вычислить энергию л-й моды в столбе жидкости от дна до поверхности с поперечными размерами в длину волны вдоль направления распространения и единичной длины в перпендикулярном. Решеыне. Для кныетической энергии, совместив ось х с направлением распространения, имеем Š— ) оздхИг, о'=)и(з+мз. Воспользовавшись рз г 2 з вещественнымн частямн выражений для и н ш (см. (106!) и (!062)) н интегрируя по х, получаем э Рейв Р! з 1, 7 2п Š— ) Ь )з ) ~Ф' + — (Ф ) з ! дх, Х и 4 э а Лз л и л л -и )ПВ Зто выражение, проинтегрировав второе слагаемое по частям н учтя условие (!0.60), можно записать и в таком ваде: р, )Ь„)з е„— ь '(уФ„' и !- ) ь" » Ф,' »»] .
-и (10.77) Обращаясь к вычислению потенциальной энергия, заметим, что ее плотность е, можно определить как работу в поле архимедовых сил, затрачиваемую на перемещение частицы жидкостн с горизонта з — ь на горизонт г. В силу несжимаемости жидкости имеем е„=я ) 1(м(х — ь)-Р»($))лй, где Р»(а — ь)— з-С масса единицы объема перемещаемой частицы; р»(3) — масса вытесненной ею жидкости. Разложив подынтегральное выражение з ряд Тейлора по перемен. ной 3 — а+ь и интегрируя, получаем — ь» Рь.
Е бр» У и 2 Их 2 Здесь р= — ьг(р»/аа — изменение плотности среды в точке ц Потевциальнаа энергия я-й моды теперь будет равна »„Яг»»)Ь-» ф»» + ~»»]а. где ье=ь(х, у, О, с) — смещение свободной поверхности жндкостя. при зычно. ленни первого интеграла по а заметим, что изменение плотности в окрествоств свободной поверхности равно р»(0) н ь=з. Поэтому, так же как для поверх» постных волн, ! Р(г(~ 2 Р» (% 1» » Подставляя теперь в выражение для Е, вещественные части ь», Р и ь»» яэ (10.62) н интегрируя по х, получаем для потеицвальяой энергии моды выражение, полностью совпадающее с выражением для кинетвческой энергия (1077).
Полнея энергия волны равна сумме выражений для Е» я Е»: р, ) ь„ ) ».-ф — 'ь ~»е:м~. )»»»„'»»] Н (10.78) 220 Ест»отвеяно, что для поверхностной волны (л=0, Ф»(0) 1) в случае одяородвого слоя (р»=сонэ(, У»=0) выражения для Е» н Е, совпадают с (10.33). 10.13. Определить коэффициенты отражения н прохождения пря надеина плоской гармонической внутренней волны иа горизонтальную границу раздела двух жидкостей с частотамн Вяйсяля М~ и 1»». Плотность пря переходе через границу считать непрерывной. Решение. При отражении сохраняются частота волны ю и проекции волнового вектора на границу, поэтому волновые поля в средах, откуда падает волна (г(0) и куда она проходит (г)0), имеют вид ю,=Ь ехр]1(йг+Ь„г — ю!) ]+ЬУ ехр]1(йг — й„г — юГ) ], г<0, юг= Ь)Р ехр(1(йг+Ьз,г — ы!) ], г)0. (10.79) Частота внутренней волны определяется только углом волнового вектора с вер.
тикзлью Оь следовательно, ы=Ф~ зш О~=)рзз)п Оз, Ьы=ЬУ)УР/аз — 1, Азз =ЬУЬ!зз!юз — 1. Коэффициенты отражения У и прохождения 97 найдем нз граничных условий, которыми будут равенства вертикальных скоростей н вол-. новых давлений (см. (!0.13)): (ю,- и),-0, Ь рз],-ре(0)(дщ(д!дг),,- - й Рз],]-Р,(0)(дз ь(д(д) Отсюда с учетом (10.79) получаем систему уравнений для У и йг: 1+ У= В',. йы(1 — У) =Аз,В', из которой легко находим: Й, — й, У Ф вЂ” ор — 3УМз — ыз 2й У Ог йы +Ьы У Фз, — ор+]г ЬР— юз йм+ "„ 2 У й!зз — ер У)9,' — + М)рз,— Р Подставляя в граничные условия выражения для ш, и шз находим: 1 + У = )У, — рзйй~(1 + У) + р~~~!й (1 — У) = — рзййз)У+ рз~М БГ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
