Л.М. Бреховских, В.В. Гончаров - Введение в механику сплошных сред (1119112), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Этот факт может быть объяснен, если обобщить наши рассуждения относительно групповой скорости в одномерном случае (см. $9) на случай зависимости частоты волны от волнового вектора в=в(х) =ы(й„й„, л,). Пусть при 1=0 возмущение среды описывается выражением и == Р(К)ехр(1хь)С) = еир(1хьй)) ) Ь(х) акр[1(х — х,) й[йс. (10.53) Если функция Р(й) является медленно меняющейся по сравне- нию с ехр (1х,[с), то функция Ь(х), характеризующая спектраль- ную плотность возмущения, будет быстро убывать за предела- ми некоторой малой окрестности точки х=х,. В произвольный момент времени 1 функция га(й, 1), являющаяся решением не- которого уравнения для волн с дисперсией е е(х) и удовлет- воряющая начальным условиям (10.53), имеет вид ю (К, 1) = ~ Ь(х) ехр [1[х К вЂ” ы (х) 1[) йх = ехр [1(хь[с — еь1)) х Ф СО х ) Ь(х) ехр(1(х — хь) [К вЂ” Ч„в(х)[„,1[)~(х, 00 где ы,г ы(х,).
Здесь мы воспользовались разложением га(х) =в,+ [Ч„в(х)1„,(х — х,). Сравнивая последнее выражение для го с (10.53), заключаем, что и(й, 1) =ЛИ вЂ” с„,(х,)1)ехр[1(х,м — га,1)], где вектор с„„называемый групиоаой скоростью волны, равен сгр (х) = Чкы (х) = ~ — ~ Г да де два (10.54) ! да„ да„ да ) Мы видим, что огибающая плоской гармонической волны Г(К вЂ” с„1) сохраняет свое значение на плоскостях К вЂ” с„1= =сопз1, перемещающихся в пространстве с групповой скоро- стью. В случае плоских внутренних волн в безграничном прост- ранстве непосредственный расчет для га(х) из (10.51) приводит к выражениям: д,— — „а" д» вЂ” — — „э .Р= „,~ ур (10.55) (10.56) При этом 17р=(хр — градиент давления, параллелен направлению распространения волны х= (к, й,). Обращаясь теперь к первому уравнению (10.46), найдем горизонтальную скорость частиц жидкости во внутренней волне: 1 ~3~ и = — ч р = — Ь вЂ” 'ехр(1(1гг+ Ь,г — в8)].
(10.57) парр ь~ Тогда с учетом также (10.50) для полной скорости частиц жидкости имеем ч=(п, в)=( — й,к/И+7г)в. Отсюда находим чх=пк+Ь,в=в( — Ь,+А,) =О. Таким образом, частицы жидкости движутся в плоскости, содержащей ось г и вектор х, по прямым линиям, перпендикулярным х. Следовательно, внутренние волны являются поперечными волнами. При отражении от границы внутренняя волна имеет интересные особенности, если плоская граница не является горизонтальной (наклонное дно океана, рис. 10.5). При отражении от неподвижных границ, как мы знаем, сохраняются частота волны и проекция волнового вектора на границу.
Поскольку для внутренних волн частота однозначно определяет угол волнового вектора с вертикалью, то здесь уже угол падения в обычном смысле (угол волнового вектора с нормалью к границе) не будет равен углу отражения. Волновой вектор отраженной волны должен составлять тот же угол с вертикалью 6, что и в падающей волне. Приравнивая проекции волновых векторов падающей волны х и отраженной х' на границу, легко найти связь между длинами этих векторов. Совмещая плоскость, в которой лежат нормаль к границе и волновой вектор падающей волны, с плоскостью чертежа (рис.
10.5), имеем х' соз (х/2 — 0 — О) = х соз (х/2 — О+ф) Легко убедиться, что хс„, ай,(й,— Я.)/х*=О, т. е. с„, перпендикулярна волновому вектору х, причем ее горизонтальная проекция совпадает с направлением й, а вертикальная противоположна А, (см. (10.55) и рис. 10.4). Теперь становится очевидным, что получить перемещающийся в пространстве волновой пакет внутренних волн можно только в случае, когда плоская гармоническая волна модулирована по фронту (перпендикулярно направлению распространения). Именно в этом направлении будет перемещаться возмущение, а следовательно, и энергия.
Для давления в плоской гармонической внутренней волне (10.50) с учетом (10.47) получаем ой р = — р,Ь вЂ” *ехр((Дсг+Ь.г — а1)). яэ 206 ялн х' з1п (6+ф) =х з(п (6 — ф). Таким образом, при отражении изменяется длина волны (волновое число), что ничему не противоречит, так как при данной частоте длина волны может быть любой. Интересно также отметить, что в «падающей» волне (у которой волновой вектор направлен к границе) энергия бежит от границы (направление с„,), а в «отраженной», напротив, к границе. Следовательно, правильнее было бы отраженную волну назвать падающей и наоборот.
Именно так будет происходить отражение спектрально узких пакетов волн (обязательно модулированных и по фронту). — + й» ( — — 1) Ф = О. (10.59) В качестве граничных условий на плоской нижней границе г= = — Н потребуем Ф( — Н) =0 (абсолютно жесткое дно океана или поверхность Земли для атмосферы). Верхнюю границу для океана следует считать свободной с граничным условием (10.15), которое при подстановке (10.58) переходит в условие ф — ~'* Ф) = О. (10.60) 206 9 40.
Внутренние волны в волноводе Рассмотренные в предыдущем параграфе плоские внутренние волны при постоянной частоте Вяйсяля представляют весьма грубое приближение к реальным процессам. В океане, однако, близкими к инм могут быть короткие внутренние волны, для которых изменение частоты Вяйсяля на длине волны мало. Существование таких волн возможно в изотермической атмосфере, так как при этом частота Вяйсяля будет постоянной (Р,-'Нр,/Ж=сопз( по уравнению гидростатики при р,/р,=сопз1). Однако постоянная температура атмосферы также сравнительно редкое явление, поэтому представляется целесообразным провести анализ внутренних волн для более реалистичной зависимости У(г).
Для океана эта зависимость схематически представлена на рис. 10.6, а. 40 1. Качественный анализ уравнения для внутренних волн. Итак, считая частоту Вяйсяля функцией только вертикальной координаты г, ищем решение уравнения (10.49) в виде гармонической волны, распространяющейся в горизонтальном направлении: гв=Ф(г) ехр [1(кг — в1) 1. (10.58) Подставив это выражение в (10.49), получаем уравнение для функции Ф,(г): В случае атмосферы в качестве второго граничного условия можно взять условие ограниченности решения при я-+.оо. Таким же, но при г-« — ьо должно быть условие для модели бесконечно глубокого океана. Ряд важных особенностей внутренних волн можно выявить из качественного анализа уравнения (10.59).
При заданной частоте в решение уравнения (10.59), удовлетворяющее граничным условиям, существует лишь при вполне определенных значениях й= я„(в), называемых собственными значениями. Соответствующие им решения Ф„(з) называются собственными функциями задачи. Прр подстановке собственной функции и собственного значения в выражение для вертикальной компоненты скорости (10.58) мы получаем нормальную волну, или кратко, моду.
Зависимость я=я.(в) или обратная ей «ь=гь„(я) является дисперсионным соотношением. В случае свободной поверхности жидкости (а=О) в системе нормальных волн всегда имеется мода Ф,(г) с максимальным значением при а=Π— поверхностная мода, причем Ф,(г) обращается в нуль только на дне океана. В случае глубокой воды (яН»1) нетрудно убедиться, что уравнению (10.48) и условию (10.15) удовлетворяет поверхностная волна (10.32) с дисперсионным соотношением (10.30) при произвольной зависимости №(г) (задача 10.10). Переходя к анализу внутренних волн, заметим, что в области г,<х<г, (см. рис. 10.6, а), где ы<Н(г), Ф" и Ф согласно (10.59) имеют разные знаки. Следовательно, в этой области решение уравнения (10.59) носит осциллирующий характер, т.
е. на интервале г,<я<я, Ф(г) может один или больше раз обратиться в нуль. Это моды различного порядка, причем обычно приписывают моде номер, на единицу больший числа переходов функции Ф(г) через нуль. В этом случае Ф„(г) аналогична квантовомеханической ф-функции для частицы в потенциальной яме. При г<г, и г>я, (см. рис. 10.6, а) частота волны о> >У(г) и функции Ф", Ф согласно (10.59) имеют одинаковый знак. Поэтому функция Ф(г) уже не является осциллирующей, а экспоненциально убывает при удалении от г, и г,. Следовательно, для экспериментального наблюдения внутренних волн следует помешать датчик в слои, где частота Вяйсяля велика, например в термоклин в океане.
На рис. 10.6, б изображена вертикальная структура мод трех первых номеров для профиля У(г), представленного на рис. 10.6, а. Обратим внимание на практически равное нулю значение всех собственных функций при я=О, хотя при расчете предполагалось, что плоскость я=Π— свободная поверхность с граничным условием (10.60). Этот факт обусловлен справедливостью для внутренних волн в океане так называемого приблиекения «твердой крышки» (ш1,,=0), часто используемого в задачах океанологии, когда исключаются поверхностные волны.
207 Пусть для некоторой моды номера и найдены дисперсионное соотношение й=й„(в) и собственная функция Ф„(з), для опре- деленности нормированная иа единицу (щах(ф„(з) ~ =1). Тогда в соответствии с (10.58) для вертикальной скорости в данной моде имеем гв„(г, з, 1) =Ь„Ф„(г) ехр (1(к„г — гэ1)1. (10.61) Далее, нз общих уравнений (10.60) и (10.61) легко найти дав- ление в волне р„, горизонтальную скорость частиц жидкости и„, приращение плотности в данной точке р„, а также из соотноше- ния дЦдг=гв — вертикальное смещение частиц жидкости ~в (гг зю 1) ' а 4уфл р„= )р, —, Ь, —" ехр Я3а,ы — в1)], ал ал ~Фл и, =1 —," Ь,—" ехр(1(й„г — е1)), (10.62) рл = 1рэ — ЬпФп (а) ехр (1 (М' м1)) яя ~а = — ЬЬФ,(а) ехр[1(Ь г — оМ)). Отметим, что изменение плотности в данной точке р„(г, а, 1) можно представить в виде р„= — (Ир„/Ыг) ь..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
