Л.М. Бреховских, В.В. Гончаров - Введение в механику сплошных сред (1119112), страница 38
Текст из файла (страница 38)
В терминах спектра Е(И) аналогичное закону */, утверждение было впервые сформулировано в том же 1941 г. А. М. Обуховым. Поскольку размерность спектра «Е) =Е«о*), то, составляя из е ([е)=1*/Т') и й («я) =Е-') величину размерности Е, однозначно находим закон Е(й) = С1ечй Ь, Е 1 бйл ~Ен, (9.54) называемый законом '/, для спектра турбулентности в инерционном интервале. Эквивалентность законов */, и '/, легко устанавливается непосредственной проверкой справедливости формулы (9.49) для спектрального разложения свертки Ри(г) (см. задачу 9.4).
При этом также можно найти связь между универсальными постоянными С, и С,: С,=("/„)Г('/в)С. Высказанные А. Н. Колмогоровым и А. М. Обуховым гипотезы о структуре развитого турбулентного потока оказали большое влияние на ход дальнейшего развития теории турбулентности. Сами гипотезы, а также вытекающие из них следствия подвергались неоднократной проверке в многочисленных экспери- !82 ментах. При этом во всех опытах, где соблюдались условия локальной иэотропности, наблюдалось достаточно хорошее соответствие с теорией.
Задачи 9.1. Проинтегрировать уравнение турбулентного пограничного слоя (9.28), определяя коэффициент турбулентной вязкости й в соответствии с гипотезой Миллионщикова (9.30) . Решение. Переходи в (9.28) к безразмерным переменным о'=(о)/о„ С=(о,/т)у, где о.=(тз/р)!', с учетом (9.30) получаем [!+и Ц-4з)]бе'Щ 1. Интегрируя это уравнение, имеем и'= к-'1п [1+и(ь — ьз) ] + В, ь) [л. Постоянная В находится иэ условия непрерывного пбрехода при ь=ье в закон изменения скорости в вязком подслое (9.27): В=Ье, следовательно, о'= =и-' !и[1+и(Ь вЂ” Ье)]+4з. 9.2.
Получить выражение (9.49) для свертки Вм(г) через спектр Е(й). Р е ш е н н е. На основе (9 43) с учетом го (й) = Е(й)/2ийз имеем Г Е(й) В..= ) (1 — созйг) — бй. и мйз Переходя к сферическим координатам (бй=йзз!пОЫОофой, йг=йгсозО), ин- тегрируем по угловым переменным: Е (й) В г —— ~ ~~ [1 — сов(йгсоз О)] — з)пЫОбйч(й еез СО и =2] е(ч ](! — з, Вя,ьВе]и~- э з со = 4 ] Е (й) (1 — — ) бй.
в 9.3. Получить обратное (9.49) выражение спектра Е(й) через свертку Ры(г). Р е ш е н и ь Применяя операцию ьг к исходной формуле предыдущей задачи, находим ь' ь'И (г) ) й з)п йг — й. "Г Е(й) лйз 183 Обращая зто выражение по Фурье, получаем Оа 1 — Е(й)= — "з!пйг!/Р (г) Аг йз — 3на ) сс нли, умножая скалярно на вектор й, й Г Е(й) = — ) япйг)УРн(г) й. В саучае локально-нзотропиого поля йа(70«(г) =(йг/г)011', что приводит прн интегрировании по углам в сферических координатах к выражению 1 Г !' зап йг Е(й) = — ) (з!пйг — йгсозйг)0.
а(г= — — — ~ — — ' 2пй,) 2п ой,~ й а(г а а 9.4. Предположив, что закон '/а для спектра Е(Ц справедлив для всех масштабов 0 Сй<со, найти структурную функцию 0«(г). Решение. Воспользуемся выражением (9.49) для свертки 0«(г) через спектр Е(/а) С,е /ай /'1 0 (г) = 4С,е ° ~ ~! — — ) й /аой. ° а ! / а!ПЙГ! а а Делая под интегралом замену переменной 5=йг, а(й 3$/г, получаем запои а/з для 0«(г): 0 (г) =4С1Аа/'г/', А= ! ~1 — — )Г/ааГя. ° ° ( / з!пя! ° 9.5. На основе решения предыдущей задачи найти связь между универсальнымн постоянными для спектра Е(й) =С,е /ай /' и структурной функции Р„=С,е /'г " в инерционном интервале. Р е шеи не. Используя (9.49), (9.53) и соотношение Са=а/аСа, найдем выражение для свертки 0«(г) в инерционном интервале: Р.. (г) = — С в /аг '.
11 * а 3 Сравнивая его с выражением, полученным в предыдущей задаче, заключаем С,= аз/азАС1. Следователыю, для установления связи между 'С, н С, достаточно вычислить интеграл А = ~(! — — 5 /аа(5 = — — ~ Я вЂ” з!п5) аЦ з!п5! а 3 Г, а ) 5,) 3 — — /' ($ — МП $) (оа+ — (1 — СОЗЕ) $ /аГГГа а а 184 Здесь первый член обращается в нуль, а второй выражается через Г-функциюг О» о» А = — ~ (1 — оиЦ $ г о$ = — ~ $" ~~з1пз — ой= » 6 Г „в 6.) 5,) 2 э э 6 9 = — — Г ( — з( ) = — Г ('/ ).
20 20 В результате для С, получаем Г(1)С 2УГ(1) 9.6. В некоторых случаях в пространстве выделяют некоторую прямую ливню (например, ось л~) и рассматривают локально-нзотропное поле скорости лапь на этой прямой. В частности, разложив свертку Рм(г) в одномерный [«» интеграл Ры(г) =2 ) (1 — созйг) г'(й)г(й, вводят понятие об одномерном О» спектре турбулентности г'(л). Получить связь между г'(й) и спектром Е(й), а также выражение для 'и'(й) в инерционном интервале. Р е ш е н н е.
Дифференцируя Р,г(г) по г, находим Ргг'(г) = Ю ~ й з1п йг)Г(й)г(й. Обращение по Фурье дает О 1 (' У(й) = — з(пйгР.. (г) й. 4ий Сравнивая эту формулу с выражением Е(й) через Р„'(г), полученным в задаче 9.3, заключаем о'г' (й) Е (й) — й —, г(й В инерционном интервале выражение для 'г'(л) будет аналогичным Е(й), но с другой универсальной постоннной )г(э)=Сге ~эй 1».
С учетом связи между г(й) и Е(й)=С~а Рй 1'легко получаем Сг=з/»Сь 9У. В экспериментах обычно измеряют турбулентную скорость лишь в одной точке пространства гэ (бч(г«, 1)), но в течение большого промежутка времени. Прн этом рассматривают случайное поле((гэ, й г) бт(г», 1+т) — бт(г», 1). Используя гипотезу «замороженной» турбулентности (гипотезу Тейлора) о простом переносе картины случайного поля бт(г) со средней скоростью потока <т), связать статистические характеристики поля 1(г», 1, т) с пространственными характеристиками поля бт(г). Решение.
Направим ось к~ вдоль направления средней скорости вточке гз и обозначим последнюю через <т>. На основе гипотезы «замороженности» запишем бч(г«,1+т) =бч[гз — <т)т, 1]. Но тогда можно ввести продольную временную структурную функцию Рг,'(т) <[бог (гэ, 1+ т) — бо, (гз, 1))з> = <[бо, (г, — <о> т, 1) — бо, (гз, 1))з> Р„(<ч> т) и аналогично поперечную Рсс (т) =Рм((т)т).
Свертка времеинбго структур ного тензора Р, (т)=20пг(т)+О, (т)-Оп(<и)т) может быть представлена в виде одномерного интеграла Рп (т) = 2 ~ (! — сов егс) %7 (ю) дсе. Ю Но, с другой стороны, функция Рм(г) =2 ~ (! — соз йг) У(»)сй, следова- М тельно, РС< (Г) = Рм(<и>т) =2 ) (! — СО»(» <и> т)) У(й) С(й. Заменяя переменную интегрирования в=<и)», находим с У (ю(<и>) 0 .
(т) = 2 ~ (! — сов ют) В'(ю) дм = 2 ~ (! — соз ют) йо, <и> откуда следует соотношение ! / в )У (ю) = — У ( †(1 нли У (А) = <и> %' (Й <о>). <и> за(, <и> ) В частности, в инерционном интервале масштабов В/ В' (ю) = — Сие /' ~ — ~ = Сие /' <и> /' ю /'. <и> <и> 9.8. Получить в случае низкой иесжинаемой жидкости уравнение для изменения во времена кинетической энергии Е=ртз/2. Р е ш е н и е. Дифференцируя кинетическую знергню по времени (р=сопз!), находим дЕ/д/=риде/д/-рисдос/д/, Используем теперь закон сохранения импульса (8.3) д дс дпс» — (ри) =р — = —— дг с дС дк. э где Пш=рбг»+рого» вЂ” огсб огь=й(дис/дкь+ди»(дкс) для несжимаемой жидкости.
В результате дЕ дП!а д ди. — = — и.— = — — (и.П. )+ П д/ ' дх дх ' с» с» дк » » » д , ди» = — — (ри» + ризи» вЂ” исас») + р — + риси» вЂ” — о;» — , где ди»(дх»=0 в силу несжнмаемости; ризсо»/2=Ее», — д(росси»/2)/дк»= — риси»дог/дкь — Едиь/дк„= — риси»дог(дкь. Следовательно, дЕ д дис — = — — ((Е + р) и» вЂ” исос») — ос»вЂ” к» к» 186 Последний член в этой формуле обычно обозначают через ре, где ди, / ди! <щ ~ди» '> ди! ',$ т /,'ди! ди» р "дх, ),дх» д«,.) д«„2 ~дх„-,дх, /,'д <иг> д <и»> > дЕ/д! предыдущей задачи диг,, — <пи >) — (о ( ' д«»/ Усредним теперь уравнение для д<Я> д — = — — (<Ео >+ <,ои > д! дх» и вычислим входящие в него величины, например 1 <Еи»> = — р <(<о >+ би!)'(<и»> + би»)> = » 2 (Е„+ Е,) <и»>+р <ог> <бо би»> + — <(би )або»>.
р В результате для дЕ,/д! д(Е>/д! — дЕ»/д! получаем дЯ, д — — — ( Ет <и»> + <(би!)э бо») > + <бдбо»> — <бигби!»>)~— д <о,> — ре, — р (би,.бо„>— / дби дбо» '> т у / дбо! дби» 'ге, удельная энергия диссипацнн для турбулентного движения. Слагаемое р(до!до„>д(и!)/дх», входящее в уравнения для Е, и Е, с разными энакамн, описывает переход энергии от среднего течения к турбулентному и обратно. 187 имеет смысл удельной (для единицы массы) диссипацни энергии в единицу времени. 9.9.
Представив скорость потока в виде суммы средней н турбулентной составляющих ч= (т)+бт, получить уравнение для изменения во времени энер- гии среднего потока Е,=,р((и))з/2 и турбулентной энергии Ет — — р((бо)»)/2. Решение. Вмчисление дЕДд! аналогично расчету дЕ/дг, нужно только вместо уравнения Навье — Стокса воспользоваться уравнением Рейнольдса. Это, как уже отмечалось, вызывает появление дополнительного члена р(би!би») в тензоре плотности потока импульса (9.16). Прн этом для дЕ,/д! в правой частч появляется добавочный член д д д <и!> — р <иг> — <бо,.би»> = — — (р <иг> <би,би»>) + р <бо,би»>— «» Следовательно, дŠ— = — — ((Ее+ <р>) <о»> — <иг> (и!»> + р <би,би»>.
<о,>)— «а д<,> — рве + р (бигби»> —, дх» 9.!О. Получить интегральное предстаиленне структурных функций 11„н Ю«« через спектр Е(й) (см. (9.50)). Р е ш е н и е. Из (9.41) и (9.49) легко получить дифференциальное уравнение, связывающее 11„(г) н след 1)и(г): 1 о' о' Ви () (.)Э,„(.))+1!гг(.) ( ()„(.)). 1 Интегрируя последнее при условии Ргг(0) = О, получаем х)гг = — ) ззг)п($) х х«гс или с учетом (9А9) г Оо Р~г(г) = — ~1з ~(1 — — ) Е(А) г(йгГЗ. е е Если теперь проинтегрировать по переменной $, то найдем е Интегральное представление для 0««(г) легко следует из соотношения Р«« = «(з()У«« — 11„): «о 1) г —— 2~( — — ) Е й)г(й. з Глава 10 ПОВЕРХНОСТНЫЕ И ВНУТРЕННИЕ ВОЛНЫ В ЖИДКОСТИ Начиная с этой главы, мы перейдем к изучению особого, важного во многих приложениях случая движения жидкости — к волнам. Основной отличительной чертой волновых движений является то, что благодаря нм возможен перенос энергии в жидкостн на большие расстояния без переноса массы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
