Л.М. Бреховских, В.В. Гончаров - Введение в механику сплошных сред (1119112), страница 34
Текст из файла (страница 34)
При этом, как следует, например, из уравнения задачи 8.4, в безразмерных переменных давление также определяется универ- »63 6» и Р(о,. Граничные условия при этом не будут содержать ника- ких размерных параметров: ч'~1м, „,1, — — О, ч'(,, = Ч'х', г' =г(Р, Ч' = РЧ. (9.4 Посмотрим теперь, как запишется уравнение для вихря (9.3). Имеем прежде всего, поскольку д/дх=Р-'д/дх, д/ду=Р-'д/ду', д/да= 0-'д/дг', еь= го( ч= (о /О) гогч'=оеь /О, где через гоГ обозначена операция ротора в штрихованных ко- ординатах.
Далее, в силу д/де=(о,/0)д/др перепишем уравне- ние (9.3) в виде е» вЂ” — + — го1 ~ — ыхиеч ~ = — Л -~.е. » дь»' 1, Ге»,1 ч, е Р» дб Р ~ 0 ~ Ре В Окончательно, разделив на о,'(Р' и введя число Рейнольдса 1(е= о,Р(ч, получим — + гор (еь' х ч') .= — Ь'еа'. дб йе сальной функцией. Это относится и к силам, действующим со стороны потока .на обтекаемое тело.
Единицей измерения этой силы будет величина рв,Ч)'/2. Именно поэтому рассчитываемый в предыдущей главе для ряда течений коэффициент сопротивления С,=//'/,ро,' оказывался зависящим только от числа Рейнольдса. Закон подобия послужил основой для широкого распространения модельных опытов в аэродинамических трубах, позволяя результаты измерений на небольшой модели применять к реальным крупным объектам. Этот закон вытекает из весьма общих соображений теории размерностей, к чему мы и перейдем.
ЗЗ.З. Применение теории размерностей. Задача обтекании несжимаемой жидкостью тела любой формы содержит четыре независимых размерных параметра: [т~1=М/='Т ', [р1=М/. ', [О1 =Ь, [о,[ =/.Т-', где о, — скорость потока на бесконечности, а через М, Ь и Т, как обычно, обозначены размерности массы, длины н времени соответственно.
Поверхность тела, как уже отмечалось, вполне определяется одной величиной Р и некоторой безразмерной функцией, описывающей форму тела. Конкретный вид уравнений, точнее, величина входящих в них размерных коэффициентов, зависит ат числового значения размерных параметров задачи, в частности от единиц, в которых онн измеряются. Очевидно, что значение, например, плотности о будет разным, если масса измеряется в граммах нли тоннах, а длина — в ангстремах или метрах. С другой стороны, физические закономерности, описываемы нашими уравнениями, не должны зависеть от произвола в выборе единиц измерения.
Например, течение Пуазейля в трубе не должно измениться, если диаметр трубы измерять вместо метров в километрах. Отсюда следует, что в безразмерных переменных в уравнения, описывающие физические процессы, могут входить только безразмерные комбинации исходных размерных параметров. Этот на первый взгляд тривиальный принцип н лежит в основе применения теории размерностей в гидродинамике. В некоторых случаях из него следуют весьма общие и далеко не тривиальные результаты. Например, он позволяет свести сложные уравнения в частных производных, описывающие течение жидкости в пограничном слое, к обыкновенному дифференциальному уравнению, решение которого получить значительно проще. Здесь мы воспользуемся принципом теории размерности для выявления основных безразмерных параметров, определяющих поведение гидродинамической системы. Итак, попытаемся найти безразмерную комбинацию размерных величин ц, р, 0 и о, в виде це = /у и Ч Р .
Не теряя общности, можно положить и=1. Подставляя теперь размерности всех параметров и приравнивая нулю суммарные 164 степени М, Т и Е, получаем соответственно уравнения: й+1=0, л+й=0, 1+я — й — 31=0. Отсюда следует явное значение показателей степени 1, и и я: 1=1, и= 1, й= — 1. В результате из (9.7) находим для безразмерной комбинации Ке=йо,р/0=1)о,/ч, т. е. ранее определенное число Рейнольдса. Нетрудно сообразить, что в других, более сложных случаях характер течения может определяться ббльшнм числом безразмерных параметров. Например, в случае, когда играет роль сила тяжести, к указанным выше четырем размерным параметрам добавляется еще ускорение силы тяжести д (размерность [у]= =ЕТ-'). Теперь, кроме числа Ке, можно образовать еще одну независимую безразмерную величину, например Рг=о,ЧйР, называемую числом Фруда.
В этом случае, чтобы течения были подобны, должны быть одинаковыми числа Ке и Рг. Для нестационарного течения с характерным временем Т (напрнмер, период колебаний) в качестве размерного параметра добавляется, кроме того, и Т. При этом наряду с Ке возникает еще одна безразмерная комбинация, которую обычно определяют как ЬЬ=/)/о,Т и называют числом Струхаля.
В сжимаемой жидкости уравнения гидродннамнкн, как мы видели, содержат размерный параметр с, равный адиабатической скорости звука. Новой безразмерной комбинацией может служить М= о,/с — число Маха. Процесс передачи тепла в неравномерно нагретой жидкости описывается уравнением теплопроводности, содержащим параметр я, размерность которого совпадает с размерностью параметра т.
Поэтому в качестве дополнительного безразмерного параметра в этом случае можно принять так называемое число Праидтля Рг=т/я. 33.4. Картина обтекания кругового цилиндра при различных числах Рейнольдса.-Мы установили, что характер обтекания тела в несжимаемой жидкости при пренебрежении силой тяжести вполне определяется одной величиной Ке. Однако прн различных значениях Ке картина обтекания существенно разная. Показательной является полученная на опыте картина обтекания кругового цилиндра- тела, являющегося типичным для плохо обтекаемых тел.
1. В случае малых чисел Рейнольдса (Ке<1) имеем ламинарное обтекание цилиндра (рис. 9.1). Характер течения такой же, как и при стоксовом обтекании сферы, внешне похожий на картину обтекания цилиндра идеальной жидкостью. 2. При ббльших числах Рейнольдса (1<Ке<40) в окрестности Ке=1 лежит первое критическое значение числа Рейнольдса, при переходе через которое исходный ламинарный ноток становится неустойчивым. Однако новый тнп течения определяется окончательно при Ке)10 и изображен на рис.
9.2. За цилиндром образуются два вихря, но течение остается стациокар- 165 Яе= М=' яе=. у РИС. 9З Рне. 9Л Г~ ЛР' ЛР' Л» .~~~ Яе Рас.9.5 е Р с9.4 иым и ламинарным (смена устойчивости). Причину образования вихрей можно понять, рассмотрев изменение скорости и давления вдоль поверхности цилиндра. Вне пограничного слоя эти величины определяются из решения задачи об обтекании цилиндра идеальной жидкостью. Согласно формулам (7.24) и (7.27) скорость равна нулю в' критических точках О и О' (8=0, и) и максимальна в миделе (8=4-и/2).
В соответствии с теоремой Бернулли давление' будет максимальным в критических точках к минимальным в миделе. Поэтому жидкие частицы движутся за миделем против возрастающего давления, что приводит к их замедлению, которое будет наибольшим для частиц вблизи поверхности из-за малой их скорости. В некоторой точке А за миделем эти частицы останавливаются. Частицы, находящиеся за точкой А вблизи поверхности, движутся навстречу тем частицам, которые находятся дальше от цилиндра и замедляются в меньшей степени. Существование противопотока вблизи цилиндра и приводит к возникновению вихря, а также сил, <отталкивающих» поток от цилиндра.
В результате этого происходит отрыв пограничного слоя от тела. Чем больше число Рейнольдса, тем ближе точка А к миделю и тем больше сопротивление потоку (область высокого давления за миделем уменьшается). 3. При дальнейшем увеличении числа Рейнольдса (це>40) достигается следующее его критическое значение. Стационарное движение теряет устойчивость. Один из вихрей удлиняется, отрывается и уплывает с жидкостью. Затем удлиняется н отрывается другой. Вихри отрываются попеременно. На их месте возникают новые вихри, которые в дальнейшем также отрываются. В результате за цилиндром образуется так называемая вихревая дорожка Кармана (рнс.
9.3). Движение становится нестационарным, но периодическим. 4. Для больших чисел Рейнольдса (це>1000) вихри уже не успевают сформироваться и заменяются быстротурбулизирующимися областями, поочередно отрывающимися от цилиндра я уплывающими вместе с жидкостью. В области значений Де-1О' —:10' турбулентность за цилиндром увеличивается, движение становится нерегулярным. Отдельные части жидкости закручиваются во всех трех измерениях, задача перестает быть плоской.
При йе-10' турбулентная область продвигается вплоть до поверхности цилиндра, картина обтекания имеет вид, изображенный на рис. 9.4. За цилиндром имеется так называемый турбулентный след. Характерным является при увеличении числа Рейнольдса изменение коэффициента сопротивления цилиндра Со=2Р/ро, О, где à — сила, действующая,на единицу длины цилиндра св стороны потока. Экспериментально определенная зависимость С,(Де) представлена на рис.
9.5. При малых не показанных на рисунке числах Рейнольдса (Ке(1), как и в случае сферы (см. формулу (8.45)), коэффициент сопротивления падает с увеличением Де. Это падение, постепенно замедляясь вследствие продвижения точки отрыва пограничного слоя к передней критической точке, продолжается до Де-1О'. При Ке порядка нескольких тысяч наблюдается возрастание С„связанное с турбулизацией струи за цилиндром. После этого наступает область примерно постоянного Со, после которой (при Йе, несколько больших 10') коэффициент сопротивления резко падает. Это явление называется «кризисом сооротиеленил» и связано с турбулизацией пограничного слоя. Действительно, при не очень больших 167 числах Рейнольдса пограничный слой будет ламннарным вплоть до точки А на рис.
9.2, являющейся точкой его отрыва от поверхности цилиндра. При Ке-1О' число Рейнольдса для пограничного слоя Ке,=п,й/~ достигает критического значения в какойто точке левее А, а в этой точке слой становится турбулентным. При этом значительно возрастает поток количества движения, приводящий к притоку жидкости к яоверхности цилиндра от внешней области пограничного слоя с более быстрымн частицами. В результате жидкие частицы продвигаются в направлении возрастающего давления существенно дальше, чем в случае ламинарного потока.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
