Л.М. Бреховских, В.В. Гончаров - Введение в механику сплошных сред (1119112), страница 29
Текст из файла (страница 29)
При этом, предполагая коэффициенты а и Ь не зависящими от координат,.имеем др др дв, д ° д»е~ р — + о; — = — — — ро» вЂ” — о; — (ро») + а — + д~ ' д~ дх» дх, 'дх, д,' д»и» д»в» +а — +Ь дх» дх» дх~ дх» Учитывая также уравнение неразрывности (6.9), получаем искомое уравнение др д»о» Р ~ — + о» вЂ” ~ = — — + або~+ (а + Ь) —, (8 7» ~ дг дх» ~ дх дх»дх» ' нли в векторной форме р —" вв р ( — "+(ч Ч) ч| = — Чр+ аЛ ч+ (а + Ь) Ч (Ч ч). (8 8) й 1дг В случае несжимаемой жидкости (Чч=О) последний член в правых частях (8.7) и (8.8) выпадает н (8.8) принимает вид р ~ — '" +(ч Ч)ч~ = — Чр+ або, (8.9) 1 д~ что является уравнением Навье — Стокса для несжимаемой жидкости.
30.3. Вязкие силы. Член до„/дх» в правой части уравнения, (8.3), или, что то же, члены, содержащие коэффициенты а и Ь в (8.7), можно рассматривать как (-ю компоненту вязкой силы, действующей на единицу объема жидкости: т, = а —, +(а+ Ь) = або»+ (а+ Ь) — (о1чч). (8.10) д»"» д»о» д дх»» дх»дх» дх» Покажем, как может быть вычислена сила, действующая на твердое тело со стороны установившегося (стацнонарного) потока вязкой жидкости. Окружим тело некоторой воображаемой замкнутой поверхностью 5' (рис.
8.3). В стационарном случае уравнение (8.3) переходит в дП,„~дх»=0. Интегрнруй последнее по объему жидкости, заключенной между поверхностью 5' и поверхностью тела 5, и применяя теорему Гаусса для тензора Пв, 139 получаем — ) Пмпьу5+ ~ Пипэс(5 = О, (8.11) где п=(пь п„п,) — внешняя нормаль как к 5', так и к поверхности тела 5.
Частицы вязкой жидкости прилипают к поверхности обтекаемого тела, поэтому их скорость на 5 равна нулю, и первый интеграл в (8.11), равный в соответствии с (8.4) Рс= — ~рпгу5+ ~огапей5, (8.12) определяет силу, действующую на тело со стороны набегающего потока. Здесь первое слагаемое не относится к вязким силам, а представляет собой результирующую сил давления жидкости на тело.
Вязкую силу определяет второй член выражения (8.12) Рс =) омпеп5, (8.13) плотность которой на единицу поверхности тела, как и для сил в упругом теле, равна ~,'= а,„п„. (8.14) С учетом (8.11) полная сила, действующая на тело со стороны потока, может быть вычислена по характеристикам последнего на произвольной поверхности 5' вне тела: Р~ = ~ ( — рщ — ро;охпэ+ омпа)й5. (8.18) В некоторых случаях такой подход является более простым по сравнению с вычислением интеграла (8.12) непосредственно по поверхности тела.
Действительно, последняя может иметь сложную форму. К тому же в окрестности тела поток жидкости сильно возмущен, т. е. существенно отличен от однородного потока в отсутствие тела. На больших же расстояниях от тела, где может быть выбрана поверхность 5', возмущение потока будет малым. Благодаря этому его характеристики могут быть найдены, например, линеаризацией уравнений движения относительно отклоиений характеристик потока от их невозмущенных значений. $31.
Примеры течений вязкой жидкости 31.1. Течение Куэтта. Применим уравнение Навье — Стокса (8.9) к рассмотренному выше случаю (рис. 8.1), называемому течением Куэтта. Пусть ось х совпадает с направлением скорости т„а ось у направлена нормально пластинкам.
Начало координат возьмем на нижней неподвижной пластинке. В силу симметрии задачи скорость и давление в произвольной точке жидкости могут зависеть только от координаты у: о,=о=о(у), р= 140 -р(у). Кроме того, движение стационарно (д/д1=О), поэтому для компонент уравнения (8.9) будем иметь др/ду= О, д'о/ду'=О. Отсюда легко находим р=р,=сопз1 и о Ау+В. Постоянные А и В сразу определятся из граничных условий: о=О при У=О, о=о, при у=8.
В результате получаем В=О и А=о,/Ь. Итак, в нашем случае о = ооу/и. Найдем силу /, действующую на единицу площади нижней пластины со стороны жидкости. Поскольку силы давления не да- ют тангенциальной составляющей, для вычисления последней можно воспользоваться формулой (8.14) с оа из (8.6).
Предпола- гая, что индексы 1, 2 соответствуют координатам х, у, с учетом в (8.6) только первого члена (несжимаемая жидкость) находим Ц„,=а до/ду=ао,/й. (8.16) Эта сила, очевидно, должна быть равна силе (8.1), приложенной к ве хней пластине. В результате получаем а=т). так, в окончательном виде уравнение Навье — Стокса для несжимаемой жидкости запишем в виде р ['" +(чЧ)э = Чр+пйч. (8.17) д1 В гидродинамике важным является понятие' о коэффициенте сопротивления, характеризующем отношение силы / к так назы- ваемому скоростному напору '/,ро '. Со = 2//рО~, где о„ вЂ” средняя (или некая характерная) скорость потока.
В случае течения Куэтта о„= о,/2, /=2т1о„/Ь и С =4ч/о„6=4/йе, (8.19) т. е. давление не зависит от у, а зависит только от координаты х 141 где Ке=о„й/ч — число Рейнольдса; ч=т)/р — кинематическая вязкость жидкости. 31.2. Течение Пуазейля между двумя пластинками. Рассмотрим две неподвижные параллельные друг другу пластинки, расстояние между которыми равно й. Пусть между пластинками вмеется стационарное течение жидкости, которое должно поддерживаться продольным градиентом давления, созданным внешними силами. Ось х снова выберем в направлении скорости течения, а ось у перпендикулярно пластинкам. Для такого течения скорость жидкости может зависеть только от координаты у (о„= о(у)).
Компонента по оси у уравнения (817) имеет вид др/ду=О, вдоль потока. Компонента уравнения (8.17) по оси х будет д~и 1 др (8.20) дух Ч д» Здесь левая часть является функцией только у, а правая — только х. Следовательно, и правая н левая части могут быть только постоянными. Интегрируя (8.20), получаем: — = — — +А, о= — — у'+Ау+В, др Ьу Ь ду 11 211 Ь = — — = сопя!.
др д» (8.21) Постоянные интегрирования А н В найдем из граничных условий: о=О при у=О, й. При этом получаем В=О, А=ЬЬ/2Ч и окончательно о = — у(й — у) = — — — у(й — у). Ь 1 др (8.22) 2Ч 2Ч д» Профиль скорости в поперечном направлении параболический (рнс. 8.4). Определим силу, действующую со стороны протекающей жидкости на единицу площади каждой из пластин. Как н в случае течения Куэтта (см, формулу (8.16) ), имеем др 1 Ьй др й (» = Ч— ду ~ 2 Ф» 2 Здесь /.)О, др/дх(0, т. е.
сила направлена в сторону движения жидкости (положительные х), а давление падает прн увеличении х. Найдем среднюю скорость потока 1 1' 1 э 1 др о = — !оду = — Ьй' = — — — Ьз й " 12Ч 12Ч д» о и коэффициент сопротивления по (8.18) С»=12/Ке, Ке=о„й/т. (8.25) (8.24) Так же как и для течения Куэтта, С» зависит только от числа Рейно»капа Ке. 31.3. Течение Пуазейля в круглой трубе. Пусть радиус трубы равен Я, ось х направлена по оси трубы. Отличной от нуля будет лишь компонента снорости вдоль оси х, зависящая только от расстояния до оси трубы (о =о(г), г )/у'+я'). Расписывая уравнение Навье — Стокса (8.17) по компонентам, получаем: — др/дх+Чйо=О, др(ду=О, др(д»=0.
(8.26) Из двух последних равенств следует, что р=р(х), но так как о=о(г), то из первого уравнения (8.26) находим — др/дх=Ь= =сонэ!. Оператор Лапласа в цилиндрическн-симметричном случае (о = о (г) ) имеет вид 142 Л = г-'д/дг(гд/Ыг). Теперь первое уравнение (8.26) принимает вид с//Мг(гдо/Иг) = — Ьт/11. (8.27) Проинтегрируем его по г: ао Ьг' до Ьг А г — = — — +А, — = — — + —, нг 2Ч дг 2Ч и потребуем, чтобы до/дг было всюду конечно, в том числе и при г=О. Для этого нужно положить А=О. Повторное интегрирование по т дает о = — Ьг'/4т)+ В. На поверхности трубы г=Я имеем о=О, следовательно В= = ЬЮ*/4т~. Окончательно о = — (Я' — т') = — — — (/1з — г*) ь ! де 4ч 4Ч Их Профиль скорости снова получился параболическим.
Для средней скорости имеем а 1я я 1 Г е ь г, ьд~~ о = — 1 1 от Иг а'р = — 1 (я' — гз) тт/т = —. 2й~ч,) ач э е о (8.28) Со=2/,/ро' =8т/о Я= 16/Ке, Не=о Ит, (8.30) где /) = 2Я вЂ” диаметр трубы. На практике рассмотренные нами течения жидкости осуществляются при достаточно малых скоростях (малые числа' Рейнольдса).
При этом формула (8.29) находится в хорошем согласии с опытом. 143 Теперь легко получить известную формулу Пуазейяя для объема жидкости, протекающей через трубу за единицу времени (расход жидкости): е =./~". = — = — ~ — ~ ю яИ~' а 14> (8.29) 8Ч 8Ч ~ ах Для силы, действующей на единицу площади трубы (и направлено противоположно г), найдем /„= — т1 (г(о/дг), „= Ьй/2 = — (др/с/х) й/2, Полная сила, действующая на единицу длины трубы 2п)г/„= = — пй'(йр/дх), как и следовало ожидать, уравновешивается градиентом давления.
Коэффициент сопротивления С также определяется только числом Рейнольдса: 31.4. Обтекание сферы медленным течением вязкой жидкости. Пусть неподвижная жесткая сфера диаметром Р=2/с обтекается однородным на бесконечности стационарным потоком вязкой несжимаемой жидкости. Направим ось х вдоль скорости потока ч, на бесконечности (рис. 8.5). В уравнении Навье — Стокса (8,17) пренебрежем квадратичным («инерционным») членом р(чЧ)ч, предполагая, что скорость потока достаточно мала. Оценить условия применимости этого приближения можно сравнением порядков отбрасываемого члена и, например, «вязкого» члена цйч в правой части.
Характерным пространственным масштабом нашей задачи будет диаметр сферы Р, следовательно, квадратичный член по порядку величины -рп,'/Р. Вязкий же член имеет порядок -т!и,/Р*. Условием малости первого члена по сравнению со вторым будет и,Р/ч=йе«1. Таким образом, наше рассмотрение будет пригодно для малых чисел Рейнольдса, что, как мы ~видим, означает одновременно малость инерционного члена.по сравнению с вязким.
Итак, пренебрегая инерционным членом в (8.!7), а также вспоминая условие несжимаемости (~!7ч=О), получаем следующую замкнутую систему уравнений: чр=п/зч, б(чч=О. (8.31) Граничными условиями в нашем случае будут равенства скорости нулю на поверхности сферы и ч. на бесконечности: ч! и — — О, о«1, =ам пу(, „=о~ =О, (832) где г= ух*+у'+я*.
Представим ч в виде потенциальной ([7<р) части и некоторой добавки чч: ч=т7ц+чг(х, у, г). (8.33) Подставляя последнее выражение во второе уравнение (8.31), получаем Л(р+ т7»т = О (8.34) Функцию ~р ищем в виде, удовлетворяющем условию ~~р~,„„= =ч;. <р = о,х + С, — + С, — ! — ), дг д г!т дх дх (г) где С, и С,— произвольные постоянные. Найдем Л<р, учитывая, что Л (1/г) = О и Аг=г 'Н(г'с(г/Иг)/Иг=2/г. В результате из (8.35) получаем Л~р = 2С,д/дх (1/г) . (8.36) Теперь, чтобы удовлетворить уравнению (8.34), функцию тч, обращающуюся в нуль при г- оо, следует положить равной тч= — 2С,Х7х/г. 144 Подставляя последнее выражение вместе с (8.35) л (8.33), для скорости имеем х х т 2Ст ч= т7(о,х+С,— — С,— ) — — 'т7х = у~ г = (о — — — — ) рх + х ~ — — + -С /г') г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
