Л.М. Бреховских, В.В. Гончаров - Введение в механику сплошных сред (1119112), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Пройденный за зто время горизонтальный путь равен х(г) =и1о=2Уг(~ — го). Максимальное удаление струн от сосуда достигается при г=го/2 и равно хм во = го. 6.14. Определить Я(г) — зависимость площади сечения сосуда от вертикальной координаты при условии, что скорость изменения уровня жидкости в сосуде Ыг/о(1 при ее истечении через отверстие была постоянной. Решение. Скорость истечения жидкости и=У2Р(г — го).
Приняв коэффициент истечения жидкости через отверстие постоянным и равным й, найдем для массы жидкости, вытекающей в единицу времени, выражение Фа — = рйш = рйз 1'2я (г — го), о(1 где з — площадь отверстия. С другой стороны, эта величина связана с изменением уровня жидкости в сосуде формулой бт/4/= РБ(г)о/г/41. Приравнивая зти величины, находим йз У2у З(г) = У~ — г,. ЩИ 112 6.16. Идеальный газ, находящийся в сосуде под давлением рю, адиабатически вытекает через малое отверстие в стенке сосуда Определить скорость истечения газа, если давление в окружающей среде равно Р. Р е ш е н и е. Для сжимаемого газа следует применить уравнение Бернулли в виде иез/2+же=от/2+и, где ю — знтальпия, Выбирая начальную точку линии тока на достаточном удалении от отверстия, где ос=0, находим для скорости истечения се=2(юа — ю).
Воспользовавшись далее выражением для дифференциала знтальпии при адиабатическом процессе (а=ар/р) и уравнением адиабаты Р=Р,(р/рз)», у=ср/с„, получаем Рг(Р у р / Р 1(г-г)lт Р У ! Рз Рз У так что гас. 6.6 Выразим также скорость истечения газа через скорость звука в газе, а именно: сз = г(Р/г/р = сз (р/р )(т з!/т = ур/р, оз = 2 (сз — сз)/(у — 1), (6.62) где соз — квадрат скорости звука в покоящемся газе; с' — то же, на выходе газа из сосуда. 6.16. Найти массу газа, вытекающего в единицу времени через отверстие площади зз (в условиях предыдущей задачи). Вычислить эту величину при истечении газа в вакуум и обьяснить полученный результат (коэффициент истечения принять равным единице).
Решение. Для требуемой величины имеем г(ш/г/1 = ззрс = ззрэ (Р/Рэ) (27/(у — 1)) ' (ре/Рз) (1 (Р/рз) ! = (2/(у — 1)) ~ Рзззсз ((Р/Рз)"т — (р/рз)(т+"/т)'~. Отсюда, в частности, получаем, что при истечении газа в вакуум (Р=О)~Ьи/А!=0 — заведомо неверный результат. Чтобы получить правильную фо)паулу, обратимся к трубке тока (рнс. 6.6), вдоль которой оз/2+ш= сопя(. Продифференцировав это выражение вдоль трубки тока, получаем иапо/й(+йо/й ог(о/й+р-Ыр/б(=0.
С другой стороны, вдоль трубки тока сохраняется поток массы роз=сопз1. Следовательно, эзар/и!+РзНо/61+рос(з/б! = О. Отсюда для относительного изменения площади сечения трубки тока имеем 1 дз 1 йо 1 Нр ! с(о 14з4> зЖ нИ рй об! Р4зй! 1 Ие ! бр 1 оо ( оз ) и б! Роз б! о Ж ~ сз / 113 Теперь ясно внано, что при о<с трубка тока сужается (Нзуж<0).
Когда скорость истечения газа равна скорости звука (о=с), НзУЫ=О, т. е. площадь сечения трубки минимальна (з),,=з ),затем прн о)отрубка начинает расширяться. Рассчитаем параметры газа в сечении трубки з,(о =с ). Воспользовавшись формулой (6.62), полученной в задаче 6.15, имеем с т=2(срз — с ')У У(у — 1), откуда с, з=о„з 2сезУ(у+1). Далее, нз соотношения с т= =срз(р урь)<т-' тт следует уре (сз ус )ту(т г1 12у(т+ 1)1тпт г1 р уре 12у(т+ 1))ту(т Можно ожидать, что минимальное сечение трубки тока з будет наблюдаться вблизи отверстия.
Тогда скорость изменения массы газа в сосуде будет равна нара р о ъ [2У(у + !)1( +тгл 1т н р сзз . Глава 7 ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ )14ы видели, что в случае идеальной баротропной (р=р(р)) укндкостн, движущейся в поле потенциальных снл, вихри не нслезают н не возникают. Поэтому еслн в начальный момент времена имеется потенциальное течение (т. е. всюду го(ч,=о), то ,оно останется потенциальным всегда. Конечно, в реальной жндкости постоянно наблюдаются возннкновенне н исчезновение вихрей. Однако все же целесообразно рассмотреть некоторые задачи потенциального течения, так как в ряде случаев оно является хорошим приближением к течению реальной жидкости, а уравнения гндродннамнкн прн этом существенно упрощаются.
й 26. Система уравнений гидродинамики для потенциального движения 26.1. Потенциал скорости. Прежде всего отметим, что при потен. цнальном движении поле скоростей частиц жидкости полностью описывается одной скалярной величиной, а именно лотенциалом ф(хь.У). Прн этом у=Ч~р н выполняется условие потенциальности течения го(ч=го1 Чу.=о. Далее, воспользуемся уравнением Эйлера (6.14), которое с учетом векторного тождества (6.31), выражения для дифференциала энтальпнн (6.34) н условия потенцнальностн внешних снл (у= — Чи) легко преобразуется к внду Ч (дгруду+ пзу2+ ге+ и) = О.
Отсюда непосредственно следует так называемый интеграл Ко)ми — Лагранжа дауду + п'у2.+ иг+ и = р (1), (7.1) 114 где Р(1) — произвольная функция времени. Последнюю всегда можно обратить в нуль, перейдя от ~р к новому потенциалу <р'=. -Ф+ ) Р(1)д/, что, очевидно, не сказывается на значении ч. ь В результате, опуская штрих у <р', выражение (7.1) можно записать н в таком виде; — + — +гв+ и =О. д(р»~ (7. 1') аг 2 Заметим, что выражение (7.1) вместе с (7.Г) является интегралом уравнения Эйлера (6.14) в случае потенциального течения идеальной жидкости.
Наиболее простой вид уравнения потенциального течения идеальной жидкости имеют прн предположении о несжимаемости последней: 0р/Ж=О (мы в этой главе ограничимся более жестким условием р=сопз( во всей массе жидкости). В этом случае = точностью до постоянной, которую также можно включить в <р, в=р/р, а уравнение неразрывности (6.9) также упрощается: 61ч я=О нлн й~р= О, (7.2) где, как всегда, Ь= Бч ягаб — оператор Лапласа.
Таким образом, решение задач потенциального течения идеальной несжимаемой жидкости сводится к интегрнроваяяю одного скалярного уравнения (7.2) с учетом граничных условий. По найденному потенциалу у(хь 1) не составляет труда найти ч= =Чу, а также давление р, равное в соответствии с (7.!') (7.'3) Отметим, однако, что прн использовании последней формулы следует проявлять определенную осторожность, поскольку входящий в (7.3) потенциал найден с точностью до произвольной функции времени Р(1), влияющей на истинное значение давления р.
Эту функцию можно найти, например, задав р в одной точке. 26.2. Плоское течение. Функция тока. Полнее всего разработана теория потенциального движения идеальной несжимаемой жидкости в случае плоского течения (когда от одной координаты, например от х,=х, ничего не зависит и о,=и,=О). Тогда целесообразно ввести так называемую функцию тока ф(х, у, 1), такую, что уравнение неразрывности 6!як=до./дх+дп»/ду=О будет выполнено автоматически. Для этого, очевидно, нужно положить о„= дв/ду, о,= — дФ/дх.
(7.4) Термин «функция тока» обусловлен тем, что линиями тока течения являются линии а=сонэ!. Действительно, поскольку, по опРеделению, направление касательной к линии тока совпадает с 116 Полезно, наконец, установить связь между потенциалом ~р и функцией тока ~р. Воспользовавшись выражениями для скорости Ч=р<р и (7.4), получаем: Ар(дх=дфду, д<р/ду= — дф!дх. (7.9) Отсюда также следует, что д4'+д'~ дФ =р рф=О, (7 19) ах а ау ая т е. условие ортогональности семейств линий ~р=сопз1 и ф= =сопз1. 117 (7 11) 118 Функции ~р и ф в известном смысле равноправны. Допустим, что мы имеем течение, определяемое потенциалом ф.
Ортогональ- ное к семейству линий у =сопз1 семейство кривых соответствует линиям тока ф=сопз(. Поскольку обе функции удовлетворяют уравнению Лапласа, можно представить себе другое, так назы- ваемое «сопряженноег течение, для которого ф будет потенциа- лом, а у — функцией тока. ф 27.
Применение теории аналитических функций в задачах гидродинамики 27Л. Комплексный потенциал. На функции «р и ф можно по- смотреть и с другой стороны, которая открывает широкие воз- можности применения в гидродинамике аппарата теории функ- ций комплексного переменного. Напомним, что функция ком- плеконого переменного каждой .точке х=х+(у множества ком- плексных чисел ставит в соответствие комплексное число Р(я).
Из всего класса функций комплексного переменного замечатель- ным является подкласс аналитических функций, в частности об- ладающих свойством днфференцнруемостн, т. е. существования предела Р (г + Ьг) — Р (г) Р'(г) = 1(ш Ф г г йг называемого производной функции Р(х). Дифференцнруемость функции комплексного переменного не эквивалентна требованию дифференцируемости ее вещественной и мнимой частей, а накла- дывает более сильные условия на последние. А именно: если Р(х) =а(х, у)+ф(х, у), (7.12) где а и () — вещественные функции, то для дифференцируемости функции Р(х) необходимо и достаточно выполнение условий Коши — Римана: да/дх=д()/ду, дй/дх= — да/ду.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
