Л.М. Бреховских, В.В. Гончаров - Введение в механику сплошных сред (1119112), страница 22
Текст из файла (страница 22)
В случае, когда торцевые сечения 5, и 5, являются плоскими (их площади мы также обозначим через 5, и 5,) и значения характеристик потока р; р, о на каждом из них постоянны, выражение (6.58) упрощается: г„= — 5,(р, + р1о1) п,— 5,(р, + р»о,')п,. (6.58') Здесь индекс 1 относится к входному сечению, а индекс 2 — к выходному. Применим теперь теорему Эйлера для определения так называемого коэффициента истечения струи.
Выше с помощью теоремы Бернулли мы определили скорость истечения жидкости из сосуда через отверстие (см. формулу (6.39)). Однако неправильно было бы думать, что расход жидкости за единицу' времени можно вычислить, умножив о, на площадь отверстия 5. Хотя прн подходе к отверстию нз сосуда все частицы имеют одинаковую по величине скорость о„но направления этих скоростей разные. Опыт показывает, что на небольшом расстоянии от отверстия струя сжимается и линии тока становятся параллельными.
Обозначим площадь поперечного сечения струи в этом месте 5'. Расход жидкости будет равен о,5'. Отношение 5'/5 и называется коэффициентом истечения струи. Из-за сложности потока в сосуде вблизи обычного круглого отверстия этот коэффициент не так легко вычислить. Однако в одном случае, а именно когда к отверстию изнутри сосуда присоединена цилиндрическая трубка с контуром, совпадающим с отверстием («насадок Барда», рис.
6 5), этот коэффициент можно найти с помощью теоремы Эйлера. Со струей вытекает за время И количество движения (импульс), равное ро,'5'Ы. Чтобы создать такое количество движения, к жидкости должна быть приложена сила г', импульс которой рМ равен вышедшему количеству движения. Единственной 103 9 25. Вихревое движение жидкости Течение жидкости называется потенциальным, если во всей жидкости го( ч=О. Если же го1 ччь О хотя бы в части объема, аа- пнмаемого жидкостью, движение последней называется вйхре- пым.
Рассмотрим ряд основных свойств вихревого движения, 26.1. Цнркуляцяя скорости. Интеграл Р фчйг, (6.69) взятый вдоль некоторого замкнутого контура /, называется циркуляцией скорости вдоль этого контура. Преобразуем его в ннтеграл по произвольной поверхности 5, опирающейся на контур 1. Для этого воспользуемся известной теоремой Стокса, согласно которой для произвольного вектора А имеем фАйг = ~пго1АЫ5, 3 где и — нормаль к 5.
Здесь предполагается, что контур 1 ограничнвает одноовязную область на 5, т. е. он может быть стянут з 104 силой, возникающей здесь, является сила давления на стенки сосуда. Поскольку с помощью'насадка Борда мы удалили выход. ное отверстие АА от стенок, то скорость жидкости вблизи ннх практически отсутствует н, следовательно, давление на стенки может быть определено нз законов гндростатнкн. Прн этом давлення на стенки в любых противолежащих точках 0 н 0' равпы по величине н уравновешивают друг друга.
Исключвнне составляет участок А'А', лежащий против отверстия. Гндростатнческая сила на этом участке, равная рп(т, — г,)5, н обеспечивает поток количества движения жидкости через отверстие (мы предполагаем, что линейные размеры отверстия много меньше а, — а,): щ'(л1 а1) 5=рпа 5 Если теперь учесть формулу (6.39) для скорости истечения о„ мы легко получим, что коэффициент истечения в этом случае равен 5'5='/,. Отметим, что неуравновешенная гндростатнческая сила в сечении А'А' вызовет движение сосуда в сторону, протнвоположную вытекающей струе (реактнвное движение). Заметим также, что без насадка Борда скорость жидкости на стенках вблизи отверстия будет отличной от нуля.
Но тогда в соответствнн с теоремой Бернулли давление на стенки в окрестностн отверстия будет несколько ниже гндростатнческого. Это прнведет к увеличению неуравновешенного гндростатнческого давлення на противоположном участке н в связи с этим к увелнченню коэффициента истечения жидкости до значення 5'/5=0,61 (см. задачу 7.8). точку. Теперь для циркуляции получаем Г = ~ пго1чд5. (6.60) Поскольку полная производная, по определению, учитывает перемещение частиц, мы должны принять во внимание изменение контура со временем, т. е.
НГ ~ [Нч + (Нг )~ ! Во втором члене в квадратных скобках !(г/Ж=ч и, кроме того, ч!(в=с((о'/2). Первый член преобразуется на основе уравнения Эйлера (6.14) с учетом потенциальности внешних сил 1= — Чи и выражения для дифференциала энтальпии в адиабатических процессах Чи!=Чр/р (см. (6.34)). В результате г1ч1Ж = — Ч и — Ч о!= — Ч ( и+ и) . Теперь (6,61) оказывается равным нулю как интеграл по замк- (6.61) 105 Из этой формулы, в частности, следует, что в потенциальном течении (го1ч=О) циркуляция скорости по любому замкнутому односвязному контуру равна, нулю. Отсюда, в свою очередь, следует, что в потенциальном течении не может быть замкнутых линий тока.
Действительно, если бы имелась замкнутая линия тока, то, выбрав ее в качестве 1 в (6.59), мы получили бы ГФО, поскольку ч и !(г на контуре всюду совпадали бы по направлению и чанг была бы всюду положительной величиной. Здесь требование односвязности контура является существенным, так как теорема Стокса справедлива только для таких контуров 1, которые могут быть стянуты в точку, все время находясь в области, занятой жидкостью. В противном случае, например при потенциальном обтекании идеальной жидкостью цилиндра, циркуляция скорости по контуру, охватывающему цилиндр, может быть отлична от нуля. 25.2.
Теорема о сохранении циркуляции скорости. Важную роль в теории вихревых движений играет теорема Томсона (лорда Кельвина) о сохранении циркуляции, доказанная нм в 1869 гл циркуляция скорости по любому замкнутому контуру, перемещающемуся вместе с жидкостью, сохраняется.
Для доказательства этой теоремы выберем замкнутый контур, состоящий нз фиксированных частиц и, следовательно, перемещающийся вместе с ними («жидкий» контур), и найдем полную производную по времени от интеграла (6.59) по этому контуру: нутому контуру от полного дифференциала: лг г — = уй(оа/2 — и — ш) = О. л У ! 26.3.
Теоремы Гельмгольца о вихрях. Для нас будут важны некоторые следствия из теоремы Томсона, установленные независимо несколько ранее (1888 г.) Гельмгольцем. Предварительно введем понятие о вихревых линиях и вихревых трубках. Векторную величину а=го( ч часто называют вектором вихря, или просто вихрем. Вихревой линией называют линию, касательная к которой в каждой точке коллннеарна вектору вихря. Из вихревых линий можно образовать вихревую трубку. Для этого надо взять замкнутый контур и через каждую его точку провести вихревую линию. Теоремы Гельмгольца формулируются в этих терминах.
Теорема 1. Элементы идеальной жидкости, лишенные вихрей в начальный момент времени, будут лишены их и в дальнейшем. Для доказательства учтем, что согласно теореме Томсона циркуляция по замкнутому контуру Г= фчйг с остается, неизменной. Пользуясь теоремой Стокса, ее можно выразить через интеграл по произвольной «жидкой» поверхности 5, опирающейся на 1: Г = ) и го1 ч й5, который, следовательно, также должен оставаться неизменным. Если в начальный момент времени всюду на 5 го1 к=О, что дает Г=О по любому контуру, лежащему на 5, то, следовательно, н в дальнейшем это свойство должно сохраниться для этой «жидкой» поверхности. В самом деле, если бы в какой-то части 5 вихрь стал бы отличным от нуля, то можно было бы взять в качестве 1 контур, охватывающий такую часть 5, где и го1 ч не меняет знак,.
и получить ГФО по этому контуру, что противоречит сказанному выше. Таким образом, при движении идеальной жидкости в поле потенциальных сил вихри возникнуть не могут. Очевидно и обратное утверждение: если го1ччьО в начальный момент времени, то в силу сохранения Г вихрь не может исчезнуть. Теорема 2. Вихревая линия состоит все время из одних и тех же частиц, т. е. движется вместе с жидкостью. Для доказательства построим какую-либо вихревую трубку н рассмотрим циркуляцию Г по произвольному односвязному контуру 1, лежащему на поверхности трубки.
Представим ее в виде кнтеграла (6.60) по поверхности 5, являющейся частью поверх- 106 ности вихревой трубки. В начальный момент мы имеем Г=О, поскольку п го1 в=О по определению вихревой трубки. Из теоремы Томсона следует, что для контура 1 и в дальнейшем Г=О, т. е. всегда и го(я=О для 5, движущейся вместе с жидкостью. Другнми словами, 5 всегда будет являться частью поверхности вихревой трубки. Так как 5 (вместе с 1) может быть выбрана в любом месте вихревой трубки, то, следовательно, частицы, составляющие ее поверхность, все время будут находиться на вихревой трубке. Сделав последнюю бесконечно тонкой, мы получим вихревую линию, Следовательно, и вихревая линия будет состоять все время нз одних и тех же частиц.
Теорема 3. Поток вектора вихря в=го(ч через поперечное сечение вихревой трубки, т. е. величина ) пгв й5, остается постоянным вдоль данной вихревой трубки. Здесь нормаль п выбирается совпадающей по направлению с гв. В частности, если торцевая поверхность 5 достаточно мала, так что вихрь гв в ее пределах можно считать постоянным, то вдоль вихревой трубки будет сохраняться величина в5, называемая интенсивностью вихревой трубки. Доказательство этой теоремы непосредственно следует нз того факта, что поток вектора гв через любую замкнутую поверхность 5, равен нулю. Действительно, по теореме Гаусса — Остроградского гквй5 = б(чао'т'=О, Яв так как б(чгв=б!что(я=О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
