Л.М. Бреховских, В.В. Гончаров - Введение в механику сплошных сред (1119112), страница 17
Текст из файла (страница 17)
В послед„ей, как следует из (5.10), вследствие малости Й,х, и к,х, смеще„ня частиц преимущественно происходят в поперечном направлении н, так же как в юнговской волне, не зависят от х,. Нзгнбная волна обладает дисперсией, ее фазовая и групповая скорости соответственно равны: гэ — — — — — у' 4/3 У хй )/ 1 — с',/с,' сь Ф (5.21) с,р= — =2 У 4/31/хй у 1 — с~/4 ео гр— а 19. Уравнение изгиба тонкой пластинки 19.1, Приближение тонкой пластинки. Волны изгиба играют важную роль во многих случаях, но выделение изгибной волны нз полной совокупности нормальных волн в пластинках часто вызывает излишние сложности. Однако можно получить приближенное уравнение для изгиба, с самого начала рассматривая пластинку как тонкую. Такое уравнение впервые было получено С. Жермен в 18!5 г. Позднее теория изгиба пластинки была рассмотрена также Кирхгофом при следующих предположениях: !) смещение любой точки пластинки малб по сравнению с ее толщиной, углы наклона границ также малы; 2) серединная плоскость пластинки не подвергается ни растяжению, ни сжатию; 3) линейные элементы, перпендинулярные серединной плоскости до деформации, остаются прямолинейнымн н перпендикулярными ей; 4) силы внутренних напряжений в пластинке, перпендикулярные серединной плоскости, малы по сравнению с силами, действующими в этой плоскости.
На основе этих предположений получим приближенное уравнение для смещений серединной плоскости в перпендикулярном направлении, которое обозначим через Ь(х„х„ /) = и,(хь х„О, !). Учитывая, что согласно предположению 2 и,) ,=и,! ,=О, разложим и,(х,) в ряд и ограничимся только линейным по х, членом п =ахи где а (ди,/дх,),. На рис.
5.4 А — положение некоторого малого участка серединной плоскости до деформации, а А'В' — то же, после деформации; МА/ н М'й/' — аналогично для отрезка, первоначально перпендикулярного серединной плоскости. Очевидно, что а=ди,/дх, — угол отклонения линейного элемента от его начального вертикального положения. По предположению 3 этот элемент должен остаться перпендикулярным серединной плоскости, наклон которой равен — д~/дх„ тогда а= — дь/дх, н и,ж — х,д~/дх,. Аналогично получим и, — — х,дь/дх,. Теперь легко найти следующие компоненты тензора деформаций; дяэ дээ дэЬ дэЬ е„= — = — хз —,, езэ = — хз —,, е„= — хэ — . дхэ дхэ дх, 'дхэдхэ (5.22) Обращаясь к обобщенному закону Гука (3.22), запишем озз = ()г+ 21э) езз+ Х(еээ+ е„), или х оээ е„= — — '(е„+ е„)+ —.
Х+ 29 Й+21э С учетом этого из (3.22) также находим о„= (Х+ 2(э) е„+ Х (е„+ е„) = — (2(Х+ )з)еээ+ Хеэ )+ — о,э. 21э Й+ 21э Х+ 21э х Но в соответствии с предположением 4 ~ оээ~(~оээ1 < Х+ 21г С1о„~, поэтому, опуская член с о„и учитывая (5.22), полу- чаем э '2(), 1 „) 1 )„ 21эхэ г дэ1 дэ( 1 Х+21г ~ дхэ дхэ ~ 1 э (5.23) где также использована связь А и )э с модулем Юнга Е и коэффициентом Пуассона т (3.26), Аналогично Ехэ / д~~ д~~ 1 дэ~ оз, — — — — '1 —, +т —,~, о, = 2)эеээ = — 2)эхэ 1 — тэ г дх' дхэ 1 дх,дхэ (5.24) 19.2.
Уравнение С. Жермен. Найдем теперь поперечные силы, возникающие при деформации пластинки. Из условия равнове- 80 Остальные компоненты тензора напряжений найдем из условия равновесия упругою элемента (3.12) в отсутствие объемных сил: да,, до,, — "+ — '"+ —" = О. Отсюда для 1= 1,2 с учетом (5.23) и (5.24) дээ дхэ дхэ догэ Ехэ д дэ дэ получаем — ' = — ' — А ~, где Ь = —, + —,— 'оператор Лапэ дхэ г — тэ дх, дхэ дхэ ласа по горизонтальным переменным. Интегрируя последнее равенство по х, с учетом ог,~ =,=О, находим Е И' — х~1 д ом= — ' ' — А ь, 1=1,2. (5.25) 2 (1 — тэ) дх ня до„/дх,= 0 имеем дв Е (Ла «») д. 2(), ) де»» дс»х дхх дх» Проинтегрировав это уравнение по х, в пределах толщины слоя Ь +й), получим разность нормальных напряжений на границах пластинки у=о»»~» л а»»~», -л д= — Ь ь=1И ь.
2ЕЬ»» 3 (! — «л) (5.26) (5.29) Последнее уравнение отличается от уравнения (2.25) для изгибных волн в стержне только коэффициентом перед вторым членом Поэтому все полученные для стержня результаты пол- 8! Величина Р 2Ейа)3(1,») (5.27) называется жесткостью пластинки при изгибе, или цилиндрической жесткостью, а а есть не что иное, как нормальная к пластинке внешняя сила, отнесенная к единице площади (распределенная нагрузка). Уравнение (5.26), являющееся условием равновесия пластинки под действием распределенных внешних сил д, называется уравнением С. Жермен.
Определим изгибающие моменты, возникающие при деформации пластинки. Для момента, отнесенного к единице площади и параллельного оси х„ с учетом (5.23) получаем ь л М,=~ амххдхх= — — —,+т —, д(х»йхх = 1 — тэ 1 дх'„дх» ),) -ь -ь = — 1л — + т— » д'ь д»ь (5.28) (,дх' дх» ) 1 » Аналогичное выражение с заменой индексов ! 2 справедливо н для момента, параллельного оси х,. !9.3.
Волны изгиба в тонкой пластинке. В случае изгибных колебаний пластинки распределенной силой д будет сила инерции элемента пластинки, взятая с обратным знаком: д= = — 2рйд'~/дР. Подставив эту силу в уравнение (5.26), получим Уравнение, описывающее распространение изгибных волн в пластинке: — + — Л ь=О. дг И д(» 2оа В случае одномерной волны, направив координату х, вдоль направления ее распространения, имеем + — — = О. д ~ О З'~ (5.30) д(» 2ра дх» Задачи 5.1.
Найти дисперсионные соотношения н внд собственных функций нормальных волн в пластинке прн ы-ьсо. Р е ш е н и е. Обратимся, например, к дисперсионному уравнению для симметричных волн (5.5). Исключая рассмотренные в п. !8.2 низшие нормальные волны, заметим, что при ы ю величина о~ должна оставаться конечной н вещественной, например ИУк' — йьз Лы71/с,з — Псе*=а,. Отсюда, се-' -с — а„з/(Ьзыз)-ьс з. Следовательно, фазовая скорость нормальных волн близка к сь но тогда $ к, р к/2, о~ ~АТЬ' — нз-!1»~1, !о~(-ьсо, 1яо~= =дь(о,(ж/, а (5.5) переходит в уравнение и (о!1» т с~ — с! 1да 4 — =4 =0 кейз с нй с с решением о~=а„т»». Аналогичные результаты имеют место н для антисимметрнчной волны.
с той лишь только разницей, что о,тн/2+»к. Таким образом, цри ы- оь нормальные волны почти по всей толще пластннки явлнются суммой двух поперечных плоских волн, распространиющяхся под малыми углами к горизонтали, и только в непосредственной близости от границ к ннм добавляются неоднородные продольные волны. 5.2. Найти частоты, на которых нормальные волны в пластнкке образованы только парой поперечных воли, распространяющихся под углом 45'. Найти также смещения частиц в этих волнах. Решение. При угле падения 2=-45' имеем 5=на!»у=к/72, о~= кй/72 юй/72сь р=й-'Яз — нз/2)-0. По условию задачи в (5.2) С,=Сз — — О. Лисперсионные уравнения (5.5) н (5.8) н выражения для смещений (5.7) в (5.10) имеют вид: для симметричной волны 2» — 1 ы» — — я —, 72 Ь кй — л, 2» — 1 )/2 соз ог —— О, /2» — 1 хз ! и = //! 5з)п ~=л — ) ~У2 й! Г(2» — 1) кз 1 и, = — /)зхз сов ~= )'2 Ь!' для антисимметрнчной соответственно постыл переносятся на случай одномерных изгибных волн в пластинке.
В частности, дисперсионным соотношением для изгибнык волн в пластинке будет $'= + )/2рЦРш. (5.31) Отметим, что последнее совпадает с выражением (5.20) для антисимметричной нормальной волны в тонкой пластинке (см, задачу 5.7). Учитывая предположения при получении выражения (5.20), видим, что одним из условий справедливости теории изгибных волн, изложенной в этом параграфе, является малость толщины пластинки по сравнению с длиной волны.
сс гз„= )/2 ип— Л иЛ= У2аи, з)по =О, хз у из —— Рзхз з)п(Р 2 пи — ), Л) «з у из = ЯОз соз (~2 ип — ! Л! 5.8. В и. 17.4 указано на аномальный характер нормальных волн, образованных плоскими волнами с такнмн угламн падеикя Оз н уз, при которых от свободной граннцм не отражается волна того же типа, что н падающая. Найти частоты ы~, соответствующие этим волнам. Решение.
Принимая во внимание соотношение (4,3Ц ж~ рейз, справедливое для углов падения Оз и уз, заметим, что в этом случае диснерснопные уравнения (5.5) и (5.8) совпадают: з(п (ог+ о ) !бог+ (йо, = О. соа о!сок ог интегрируя которое, находим (= — (гзхР/24) -1-ах з+ЬхР+ел~+И. Постоянные интегрирования можно определить нз граничных условий, которыми будут равенство нулю смещений на опорах х~=О, 1 и моментов относительно опор.
С учетом (5.28) получаем: 0=0, Ь=О, — (а/4/24)+аР+с1 О, — (аР/2)+ба1=0, откуда а=и//12, с= — аР/24, и= — (ах~/24) (хР— 2!хР+Р). 5.5. Найти форму тонкой круглой пластинки с заделанными краями, которую она принимает под действием силы тяжести. Решение. Как и в предыдущей задаче, д= — 2рйп. Функция ((хь хз) а силУ Радиальной симметРии зависит только от г=)ха+лаз. ПРи этом УРавнеиие С. Жермен в полярных координатах примет вид 1 ! ~ ! ~ 1 ! ( «~ Р 2РЛО роннтегрнровав это уравнение 2 раза по г, получим 1 г/ / г(1У сиз г 5 ь = — — ~г — ) = — — + а )п — + Ь. г бг ( г(г) 4 /7 остоянная а должна быть равна нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
