Л.М. Бреховских, В.В. Гончаров - Введение в механику сплошных сред (1119112), страница 16
Текст из файла (страница 16)
е. сннфазная вдоль слоя стояча поперечная волна. На толщине слоя 2/д укладывается четно число полуволн: кй а,л, 2/д/(Х/2) =2а,. Если же е=(е„,)„„т д),=0, и,=О, и,= — Сйз!пйх,ехр( — де!) — стоячая продольна волна с нечетным числом полуволн по толщине слоя. Аналогичные результаты получаются н для антиснмметрич ных волн на критических частотах, а именно: Я с, (е„р)„, = — (2а — 1) —, ир = О, 2 Ь и, = д)дк эйп кхр ехр ( — !е1), и, = 1, 2,. (5.1 сд (е,е),, = аса —, и, = О, и, = С,й созйх, ехр ( — де!), и, = О, 1, Здесь уже по толщине слоя укладывается нечетное число сдв др говых полуволн нлн четное продольных полуволн. В общем случае произвольной частоты нормальная вол содержит как продольную, так и поперечную компоненты.
В н которых случаях нормальную волну в упругом слое удобно пр т4 ставлять парой продольных и парой поперечных плоских волн, взаимно переходящих друг в друга при отражении от границ слоя. Действительно, выражения для потенциалов (5.6) и (5.9) можно записать в виде: 1р=С[ехр[Е(Кх,+й,х.— еЕ) ) ~еяр[ЕЯх,— й,х,— вЕ) )), (5.13) ~р=0[ехр[Е(фх,+я,х,— оЕ))-т-ехр[Е($х,— х,х,— оЕ) Ц. Верхний знак в (5.13) относится к симметричной нормальной волне, а нижний — к антисимметричной. Волновые векторы всех четырех волн М= Ц, й,), Ег'= Ц, — й,), х=Ц, нД, и'= Ц, — х.) изображены на рис.
5.1, углы О и 7 связаны соотношением (4.24): с з1 и 7 = с, з! и 6. 17.4. Некоторые особые случаи. Представление нормальной волны в виде совокупности плоских волн (5.!3) часто оказывается полезным для анализа, поскольку мы можем испольэовать известные особые случаи отражения плоских волн. Так, например, при угле падения поперечной волны, равном 45', продольная волна не возникает (см. и. 15.2), следовательно, на опреде. ленных частотах (см. задачу 5.2) нормальная волна будет образована только парой плоских поперечных волн, распространяющ«хся под углом 7=45' Следующая особенность имеет место для нормальных волн, образованных плоскими волнами, распространяющимися под 75 такими углами 8, и у„прн которь|х от свободной границы не отражается волна того же типа, что и падающая.
Как уже отме. чалось в п. 16.1 (см. также задачу 4.6), таких углов будет две па ры, если, коэффициент Пуассона ~материала ч<0,26. Поэтому в ,этом случае всегда можно найти частоту, на которой комбинация плоских волн с волновыми векторами, изображенными иа ,'рис. 5.2, а, соответствует нормальной волне заданного номера и '(см. задачу 5.3). В силу симметрии на той же частоте нормаль:ную волну образует и система плоских волн с волновыми век.
:торами, изображенными на рис. 5.2, б. Амплитуды плоских воли с волновыми векторами х и к' связаны между собой коэффици. ,ентом трансформации Уо. То же относится и к паре й и х' Од:;пако ни одна из этих комбинаций не будет относиться ни к сим;метричным, ни к антисимметричным нормальным волнам. Более того, поскольку частоты и проекции волновых векторов на гра'ницу у всех волн, изображенных на рис. 5.2, а, б, одинаковы, то 'любая их комбинация с произвольными комплексными амплиту:дами, например сдвиговой волны в каждой паре, также образует нормальную волну. В частности, можно выбрать эти ампли. туды таким образом, чтобы получить симметричную или анти- симметричную нормальную волну.
% 18. Нормальные волны низшего порядка .18.1. Квазирелеевские волны на границах пластинки. Среди нормальных волн пластинки особое место занимают симметричная н антисимметричная моды низшего порядка, критические частоты которых равны нулю (л,=О в (5.11) и л,=О в (5.!2)). Эти моды отличаются от остальных также тем, что соответствующее им распределение смещений частиц по толщине пластинки имеет минимально возможное из всех мод число перемен знака. Так, для симметричной моды низшего порядка продольное смещение не меняет знака на отрезке ( — Й, Ь), для антисимметричной моды аналогичен характер вертикального смещения частиц. На критических частотах этот факт легко установить, анализируя уравнения (5.11), (5.12) и соответствующие им выражения для смещений частиц.
Отсюда можно заключить, что этим мо. дам соответствуют максимально возможные по величине корня $* днсперсионных уравнений (5.5) и (5.8) и, следовательно (см, (5.2)), минимальные положительные (нли чисто мнимые) зна. чения вертикальных волновых чисел х, и й,. Именно в этоя случае смещения частиц (см.
5.7) ) будут иметь наименьшее число осцилляций по толщине пластинки. На высоких частотах этим модам соответствуют большие пс модулю отрицательные значения о,' ($')ы/с,')а'/сР). Дейст. вительно, положив в дисперсионных уравнениях (5.5) и (5.8) 1йог=(Ф~ос1=1[1 — 2ехр( — 2!ор))), 1ао~=!!о!о,~= =1(1 — 2 ехр( — 2) о,!)), 76 ~,Я) т2(рейсехр( — 2!а,!)+аа,ехр( — 2!а,!)], где ~,($) =аа +р'Й*. Правые части этих уравнений малы, по- э1ому собственные значения $, и $, близки к корню $, уравне- н„я г,(5) =О, соответствующего волне Релея (ср. с (4.31)). При р, функция 1,($) ж~„'Я,) ($ — $,), так что для $, и й, имеем: $с$ре~~' — $р+а р'ае [ехр( — 2 1ас)! — ехр ! — 2) а !В а= 2 = р 7' Яр! гдеа)0 в силу !'Д,) <О и )а,~ < ~а,), Таким образом, на высоких частотах фазовая скорость се/$, низшей симметричной моды несколько выше фазовой скорости се(й, волны Релея, которая, в свою очередь, несколько выше фа- зовой скорости в/$, низшей антисимметричной моды.
Выражение для смещения, например, и, в соответствии с (5.7) н (5.10) имеет вид: и1с = Сс + 1 — —, ехр(!(р х — сх,— е1!)), Ь|а !к х сЬ!х !хт сЬ!а,! (, 2$') сЬ)ас! (5.15) (5.16) им = С, ' — '1 — — ' — ' ехр (! ($рх, + ех, — ы!)). геЬ1ее)хе / хе з еЬ!Ме!хе1 ) сЛ1а~! ~ зйр) сЛ!а1 На рис. 5.3 представлены распределения и,(х,) для этих мод, которые аналогичны смещениям в волнах Релея у каждой из границ. Вследствие взаимодействия этих «квазирелсевских» волн могут возникать интересные явления. Пусть на верхней границе пластинки х,=й возбуждается волна Релея.
Последнюю можно представить как полусумму симметричной и антисимметричной мод с одинаковыми фазами. При этом суммарное поле в окрестности источника будет практически отличным от нуля, лишь у верхней границы, так как у нижней возмущения от обеих мод взаимно сократятся. Однако в силу различных фазовых скоростей мод на расстоянии Т(2е от места возбуждения фазы волн будут отличаться на и. Следовательно, суммарное возмущение будет отличным от нуля уже только у нижней границы. В дальнейшем волны снова сконцентрируются.у верхней границы и т, д.
Это явление аналогично переходу энергии от одного осциллятора к другому, если их резонансные частоты Равны и между ними имеется слабая связь. 13.2. Юнговская и изгибная волны. Низшие моды в пластин"е отличаются тем, что они существуют прн любых как угодно низких частотах (критические частоты для них равны нулю). 77 „я симметричной и антнсимметричной мод соответственно получим: ~, Д) = 2 !абае ехр ( — 2 ! а ~ ) + рей* ехр ( — 2 ! а, ~ Ц, (5.14) Обратимся сначала к симметричной моде и рассмотрим дисперсионное уравнение (5.5) для случая )п~~ = !Иа!И»1, !о,~ = = (ха(И»1 (случай тонкой пластинки), Это уравнение принимает вид о, (Иа+р*=йа — К*+ря=0.
Отсюда следует, что о,а(0, т. е. 5'>Иа,— случай неоднородной по толщине пластинки продольной волны. Учитывая значение р, получаем я4 рая (Л + 2р) ар (5.17) 4(ха — Эа) 4Р(Л+Р) ада где а 4р(Л+р) Е Еаф. (5.18) р(Л.+2р) р(1 — аа) р Е,а — эффективный модуль Юнга для стержня при запрещенных боковых смешениях по одной из осей (см. (1.6)). Для смещения частиц в этой волне из (5.7), (5.8) с учетом (И,х,~ »1 и (х.х,!» » 1 находим: и, = (С, у' ка — Иа. иа = — С,(йа — ааа/2)ха )иа! ч,(иа) (5.19) Смещения практически только продольные и постоянные по толщине пластинки, поэтому симметричную волну на низких частотах часто называют «юкговской» продольной волной в пластинке.
В силу независимости фазовой скорости от частоты (с,„— материальная постоянная) эта волна распространяется без дисперсии. Перейдем теперь к анализу антисимметричной волны в тонкой пластинке. Здесь уже при !о~~»1 и !о,~»1 в разложении дисперсионного уравнения (5.8) следует удержать члены более высокого порядка, так как в противном случае $' просто выпадает. Положив 1до,жо,+оДЗ и аналогично для 1яа,. перепишем (5.8) в виде о~а + раИа (1+ (о~ — и~а)/3) = О.
КЗ к~ 2а р' — а (5.20) Здесь отрицательные значения $а соответствуют нераспространяющимся волнам. Распространяющаяся нормальная волна с 78 Отсюда для распространяющихся волн $а>0 с необходимостью следует требование о,*»0 или йа>ха>И' — неоднородная по толщине пластинки как продольная, так и поперечная волны, Если разрешить последнее уравнение относительно $а, то с точностью до малых величин порядка рка — й'И получим дисперсионное со- отношение аз~О называется изгибкой волной в тонкой пластинке.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
