Л.М. Бреховских, В.В. Гончаров - Введение в механику сплошных сред (1119112), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Решение. Целесообразно рассмотреть задачу в гланных осях, где тензор напряжений имеет диагональный вид с он=Ли ом=Лз, азз=Л» Выражение для силы, действующей на площадку с нормалью п=(ль лз, лз), запишется в виде Г (Л,ль Лзлз, Лзлз). Нормальная компонента силы равна Рз=Р»л»= =Л»л»э+Лзлзз+Лзлзз, тангенциальиая — соответственно РР=Р' — Р„з= =Л зл з+Лззлзз+Лезлзз — (Л»л»з+Лзлзз+Лзлзз)з. Для того чтобы найти максимальные напряжения, нужно определить условные экстремумы функций Р„(ль ль лз) и РР(ль ль лз) при уравнении связи л»з=л»а+лез+лзз — — 1.
Составлнн, например, двя Р„функцию Лагранжа Ф Р„+у(л»з — 1), находим экстремальные точки как решение системы уравнений: ОФз/длз 2(Л»+у) л, О, (Лз+у) лз — — О, (Лз+ у) лз = О лз= 1. З,З, Выразить тензор е~ь через пы в обобщенном законе Гука для изотропного тела. р е ш е н и е. Воспользовавшись (3.22), найдем свертку иье = ЗЛеа.з + 2ра „, = (ЗЛ+ 2Р) е„щ„ откуда следует, что е =о и/(ЗЛ+2Р). Теперь (3.22) можно записать и так: Л ига= ЗЛ+2 га+ Р~га.
В результате получаем 2Р (,а 3) +2Р и чзбИ) Зль Рассчитать на основе обобщенного закона Гука растяжение стержня длиной 1 и поперечной площадью 5 под действием силы Р. Прн этом найти свнзь между постоянными Е. т н Л, Р. Р еш е н и е. В данном случае отличной от нуля будет толька компонента теизора напряжений он. Следовательно, им =пн н по формуле предыдущей задачи: 2Р (, ЗЛ+2Р / Р ЗЛ+2Р 1 е 2Р ЗЛ+2Р и =е Но оц=р/3, ен-Д//1, ем=ой/й, где й — размеры стержня в одном из поперечных направлений.
Тогда в соответствии с (1.1) и (1.3) ец ап/Е, ем= = — тиц/Е. В результате получим выражения (3.26) для Е и т через Л и Р. 3.5. Определить деформацию сплошного шара радиусом Е, помещенного в жидкость с давлением р. Найти относительное изменение обьема шара. Решение. Запишем уравнение равновесия шара (3.30) с 1зз=О: (Л + 2Р) йгаб гй» и — Р го1 го( и = О. В силу сферической симметрии и=(/(г)г/г, при этом очевидно, что го(и=О и 6(т и=ЗС=сопз(. Но /и~ и (/ г(/ — и г б)т~(/(г) — 1 = гну( — )+3 — = 3 — +г — ' г г г г г и = (/'+ 2 — = — (гЧУ)', г гз поэтому (/(г) =Сг+д/гз, Вследствие условия ограниченности (/ при г=О имеем и=О, т.
е. У=Сг. Определнм компоненты теизора напряжений (рнс. 3 4): ди (г+ У) йр — гдф (/ и = — =С,и гг = — =С= и =и„, дг гдр — — ээ— ог, = Л(и„+ и + и )+2уи, = (ЗЛ+2Р) и„= (ЗЛ+ 2р) С. Из'граничного условия и„),=а= — р окончательно имеем: С= — Рl(ЗЛ+2Р), (/ — рг/(ЗЛ+2Р). Относительное изменение объема йу (я+и(я))а — я* Г и(я) 1 и(я) -1!!+ — 1 — ! =3 — = у яа Я 1 Я зр 35+2р К ' ггак н должно быть, определяется формулой (!.5). 3.6.
Определить деформацию упругого пространства с шаровой полостью радиусом Я, давление внутри которой р. г.+д)./ Решение. Как и в задаче 3.5, и=У(г)г/г, где У Ьг+а/га. Из условия ограниченности смешения на бес- Ф конечности Ь б, т. е. У(г) =а/га. Далее, а„= - Ц ( — 2а/га) + (а/г') + (а/г') ) — 2Р2а/г' — 4ра/г'. Но Гас. 3.4 а„(и= — 4ра/Яа= — р, откуда и рЯа/4р н, следовательно, 1РЯаг н 4 )а га 8.7.
Определить деформацию бесконечного полого цилиндра, наружный и 1внутренний радиусы которого равны Я, и Я, соответственно, предполагая, что давление внутри рь а снаружи ра. Решение. Положив, как и в задаче 35, б/та=С, н=У(г)г/г ,(гам(хь ка)), найдем б(чн г7(У/г)+2У/г=г-1д(гУ)/!(г=С. Отсюда У Сг/2 + Ь/г, и, дУ/дг = С/2 — Ь/га, и У/г С/2 + Ь/га, о (Х+ Р) С вЂ” 2РЬ/га. Из граничных условий находим: (Х+Р)С вЂ” 2РЬ/Я,а Рь (Х+м)С вЂ” 2РЬ/Яаа= — Рь лто дает Яада — Яада Рт — Р ЯгЯ' 1 и г+ 2р яа яа 2 (Х+ Р) (Яаа — Я,') 3.8.
Определить деформацию цилиндра радиусом Я, врашаюшегося вокруг своей осн с частотой ю. Решение. В системе координат, связанной с цилиндром, имеем объемную (центробежную) силу с плотностью 1ое=рюаг, так что уравнение равновесия примет внд (Х+2Р)йгаб 6!т н — р го1 го( и рюаг. Как и выше, н= =У(г)г/г, го! и=8, гйти г-'(гУ)', йгаб б!чи= [г — '(гУ)')'г/г= — рм г/ /(5+2)г), так что ! г(Г! с/ ! рюа — — ~ — — (гУ)~ = — —. г дг ~г Ыг ~ Х+2р аОтсюда рма га Ьг и= — — — +— Х+2р 8 2 далее 1 Х 3 р о раяга — — —, рогага -(- (а -(- р) Ь.
2 Х+2р 4 Х+2р Првраввяв о, )в=а, ваавен Ь 1ргеая'4(а+2р)1((2в+Зр)/(в+в)1 в оков- яательво Ре" ('2х+ Зр и= Л' — г' г. 8(Х-(-2р) 1 )„) . Глава 4 ВОЛНЫ В УПРУГИХ СРЕДАХ 5 14. Свободные волны в однородной нзотронной среде 14.1. Продольные и поперечные волны. Рассмотрим, какие волновые движения могут существовать в упругой среде. Для изотропных сред нужно исходить из уравнений движения (3.28). Ограничимся лишь свободными волнами, положив 1„=0: р — = р сап + (о + )а) йгад а(т и. оав дв (4.1) Зто уравнение не похоже на обычное волновое, так как в нем в неявном виде содержатся уравнения для двух типов волн — продольной и попвречнои.
Для того чтобы убедиться в этом, представим вектор смещения и в виде: п=н,+по п,=асад ф, п,=го(ф, (4.2) "де ф н ф — функции времени и координат, называемые в дальнейшем скалярным и векторным потенциалами. Заметим, что в таком виде можно представить произвольный вектор н. При этом ввкторы ц, и п, удовлетворяют уравнениям: го(нг=О, а(чнг = О. (4.2') 53 Б этой главе мы продолжим исследование волновых движений в твердых упругих средах, начатое в гл. 2. Здесь из общих уравнений теории упругости будут получены волновые уравнения для двух типов волн, распространяющихся в упругих средах: продольных и поперечных.
Подробно исследуются также простые решения этих уравнений в виде плоских волн, процесс их отражения от плоских границ, Будут рассмотрены также поверхностные волны Релея и Лява. Подставляя (4.2) в уравнение (4.1), с учетом пгабйчп, =Ьн, получаем Ри~ Х 1 211 д~а~ Н вЂ” — — Лп~+ — — — Лп~ = О. (4.3) дГ р дР р Считая среду однородной (р, Х, р — постоянные) и применяя к (4.3) поочередно операции йч и го1, с учетом (4.2') имеем: йч ~ —— ! нас Х+2р т Гд ас Х+2в Ьп~~ =О, го1~ — — — Лп~) =О, ~д1 р ) ' 1д р йч~ — — — Лпг)=О, го1~ — — — Лп~)=О.
~дР р ) ~дн р Но если йч и го1 некоторого вектора равны нулю, то без огра- ничения общности можно положить этот вектор тождественно равным нулю, считая, что и, и и, определяются с точностью до произвольного, зависящего только от времени вектора.
В ре- зультате мы получили два волновых уравнения: д~а~ 1 1 2н Уа~ й~р=О, — — — Ли~=О. дГ» р др р Аналогичные уравнения справедливы и для потенциалов <р и ф. Их легко получить из уравнений для и, и и, соответственно. При этом следует учесть, что скалярный потейциал ф может быть определен с точностью до произвольной функции времени, а векторный ф — с точностью до произвольного потенциального векторного поля А=дгаб 1(хь х„ х„ 1). Волновые уравнения для ф и ф обычно записывают в таком виде: д*ф~дР = с,'Лф, с,' = (Х+ 2р) /р, (4.4) д'АР = с,*Ьф, с,' = фр. Нетрудно убедиться, что решением уравнения для ф является ф =1(пг — с,1), (4.5) где 1 в произвольная достаточно гладкая функция; гам — (х„ х„ х,) — радиус-вектор; и — единичный вектор произвольного направления.
В самом деле, вводя $=пг — с,1, имеем дф В$ дф - 1Рф = — — '= — с~ —, <р=с~ —. Далее, с учетом пг=пд1 ~$ дГ ва получаем: дф д р И, Вф д'~р д|ф вз д»1 «з д»*, ' Ж' Аналогично вычисляя производные по х, и х„находим Лф= — =л'.— = —, так как п'.=5" л'. =1. д ф д~ф В~ф д' ' Ж' В' $ 1=1 Таким образом, мы видим, что уравнение (4.4) для ф удовлетворяется. Покажем, что выражение (4.5) опись(пает волну, которая без изменения формы перемещается в направлении и со скоростью с, Действительно, ~р остается постоянным в точках, где иг — с,(=сонэ(, (4.6) которые в любой фиксированный момент времени ( лежат в плоскости, перпендикулярной и и называемой фронтом волны.
С изменением времени фронт перемещается в пространстве, оставаясь перпендикулярным п. Скорость перемещения легко найти, дифференцируя (4.6) по времени: пг(г/Ж=сь Отсюда видно, что скорость перемещения фронта (скоросгь волны) равна с,, Волны с плоскими фронтами, как, например, волна, описываемая выражением (4.5), называются плоскими волнами. Наконец, нетрудно видеть, что (4.5) описывает волну, смещения в которой происходят в направлении распространения волны п (продольная волна). Это видно из (4.2), поскольку и= =агаб <р, и,=дщ/дх,=айрик, и=и~Ар/~Ц. Аналогично можно убедиться, что решение второго уравнения (4.4) имеет вид ф= Г(иг — с,(), где à — произвольная вектор-функция скалярного аргумента $=иг — с,й Это также плоская волна с фронтами, перпендикулярными направлению распространения и, В отличие от продольной волны смещения в последней перпендикулярны п (поперечная волна).
В самом деле, и=го(ф=ЧХф=иХа$Щ ( и Рассматриваемую волну называют также сдвиговоа, поскольку, как нетрудно убедиться, воспользовавшись системой координат, одна пз осей которой совпадает с и, из всех компонент тензора деформаций отличны от нуля лишь иедиагональные, описывающие, как мы видели ранее, сдвиговые деформации.
Скорость распространения поперечной волны равна с, и совпадает со скоростью волн кручения в стержне. Сравнивая с, и с„определяемые выражениями (4.4), видим, что с/с,=у()(+2)х)/)х. Поскольку всегда )ь>0 и для реальных веществ Л>0, то с,>уйс,. Отметим, что величина ь" +2(х (1 — т) Е Еэф (1+ )(1 — ят)а а определяется эффективным модулем Юнга при растяжении (сжатии) стержня с запрещенными боковыми смешениями (см. ~влачу 1.3).
Именно такие растяжения и сжатия происходят в продольной волне: смещения, перпендикулярные направлению распространения, равны нулю, Частным, но весьма важным случаем плоских волн (4.5) н (4.7) являются гармонические плоские волны: Ч~ = А ехр~1 — (пг — с~(]1 = А ехр [1(йг — в1)], к = — "и, с, с (4.8) ф = В ехр ~1 ~ (пг — с~1)] = В ехр (1(хг — в1)], х = ~ и, сс ] где А и  — произвольные комплексные постоянные; ]г и х— волновые векторы; й=]к] и х=]х] — волновые числа; в — частота волны; соответственно период Т=2х/в н длины волн Х~= =2х/Й=2ис/в, Х,=2х/х=2пс,/в.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
