Л.М. Бреховских, В.В. Гончаров - Введение в механику сплошных сред (1119112), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Зависимость частоты волны от волнового числа сп=сп(й) называют при этом дисаерсионным соотношением. Ввиду важности этого вопроса в теории волн приведем некоторые общие закономерности распространения волн в средах с дисперсией. Вначале рассмотрим распространение негармонической волны в среде с дисперсионным соотношением сп=сп(л). Пусть в момент времени 1=0 какое-то возмущение (например, ~(х, 0) в случае волн изгиба) задано функцией ((х, 0). Представим ее в виде интеграла Фурье ОР ~(х,О) = ~ ~(й)екр(йх) д/г, СО может быть записано в виде О /(х, 1) = ~ / Я ехр Яйх — и (й) Щ дй = М ~Ю = ~ /(й)ЕХр[й(х — Са/)) дй, Ф (2.36) где с (й)=в(н)/й — фазовая скорость.
Выражение (2.36) прн 1=0 переходит в функцию /(х, О) и, кроме того, удовлетворяет уравнению для волн, так как каждая гармоническая волна ехр(1[йх †ы(й)г)) ему удовлетворяет (например, уравнению (2.25) в случае нзгибных волн при са из (2.33)). Рассмотрим теперь (2.36) внимательнее. Если бы скорость распространения каждой гармоники са=ы/й не зависела от волнового числа й (в(н) — линейная функция й), как это было для продольных волн в стержне, то возмущение перемещалось бы в направлении х со скоростью сы не меняя своей формы, В самом деле, при сф=сопз1 из (2.36) следует /(х,() = ~ /(А)еяр[й(х — с~1))гй = /(х — са/,0).
О (2.37) 31 Волны такого типа называют бездисперсионными. Для изгибных волн фазовая скорость отдельных гармоник зависит от волнового числа, или, что то же, от частоты. Позтому отдельные гармонические составляющие в возмущении (2.36), распространяясь каждая со своей скоростью, складываются в различные моменты времени с разными фазами, что и приводит к изменению формы начального возмущения. Как правило, на- чальный профиль волны расплывается, амплитуда возмущения падает и оно переходит в нечто похожее на синусоидальный цуг.
9.2. Распространение узкополосных возмущений. В теории волн важную роль играют так называемые узкополосные возму- щения /(х, 1), пространственный спектр которых / (й) отличен от нУля лишь в малой окрестности некоторого й,. Такие возмущения можно записать в виде: /(х, 1) =Р(х, 1)ехр[/(йох — ьД), о)ю=ы(йе), (2.38) т. е. в виде волны, огибающая которой Р(х, 1) медленно по срав- нению с ехр[1(й,х — ы,1) ) меняется в пространстве и во времени. Такая волна называется модулированной гармонической волной. В начальный момент 1=0 имеем (Р,(х) =Р(х, О)) СО /(х,0) ) /(и) ехр(йх) ен = Р,(х) ехр(йчх), где функция /'(и) -0 при [й — но[) [Ьй[ и [Ай[ ч."й,, Если Задачи а1.
Определить непосредственно (без обращении к интегралу Фурье) коэффициент отражения продольной плоской волны произвольного вида от закрепленного конца стержня. Решение. Пусть стержень, расположенный при х~б. закреплен в сече- нии к=О. Общее решение волнового уравнения запишем в' виде и(х, 1) =/(х — с/)+и(х+с/), где /(х — с/) — падакицая волна. Отраженную волну л(х+с/) можно найтя, „риравияв к нулю смещение при х=О, чтодает/( — с/)+Е(с/) О. Следователь- но, функции Ю(а) и /(к) одного переменного й должны быть связаны соотно- шением Е($) — /( — к).
Таким образом, и(х, /) /(х — С/) — /( — х — с/), т. е. коэф- фициент отражения. как и для гармонических волн, равен — 1. 2.2. Найти козффициенты отражения и прохождения продольной гармони- ческой волны на границе двух стержней с параметрами р«, Еь 8«н рз, Еь Зз соответственно, предполагая, что стержни жестко соединены ыевесомой на- кладкой из абсолютно «кесткого материала (рнс. 2.5).
Решение. Для гармонических волы ищем решение в виде: и, =Л [ехр(зй«х) + У схр(- -//««х) ) ехр( — йоГ), ин А ОГ ехр(/(йнл+е/)), где й«ю/с«1 с«з Е«/рь / 1, 2. Прн жестком сцеплении стержней Иа грани- це смещение торцов одинаково: и«)» о — — из) о. Второе граничное условие вы- текает из требования равенства снл, действующих на накладку со стороны каждого стержня: диз 1 диз ~ Р«) о-З«Е,— ~ -Рз),-ЗзЕз — ~ — дх ~ о дх 1 Подстановка выражений для и«и из в граничные условия дает 1 «»=», ! — à — ЮЕ» «»Р,». Зз Зз откуда имеем Зз )/рзЕз — Зз У рзЕз 28« )/р«Ез У= Зз Ур«Е«+ 8з У рзЕз Зз У р»Ез+ 8з )/рзЕ» В частности, если стержни изготовлены из одного материзла, то (Зз — 4«)/(Зз+ Зз). )У = 28«/(Зз+ Зз) 2.3. Определить коэффициент отражения продольной гармонической волны от конца стержня, на котором задан нмпеданс 2 — г/(Зо)) ь т.
е. отношение напряжения (с обратыым знаком) к скорости. Решение. Согласно закону Гука Е/З=Еди/дх, учитывая также, что о=ди/д/= — иои, получаем в соответствии с условием задачи 2=(Е/нои)ди/ /дх. Подставляя сюда и А (ехр(/йх) + Уехр( — /йх)) ехр( — ио/), й = ю/с, с )/Е/р, имеем Е/й (1 — У) г= = УЕр— /ю(1+ У) 1+ У ' 2 л.м.
М. Бр»но»они», В. В. Гончаров сбл-Ы -сх с ш уиэ. 2.т гг Гээ. 2.6 откуда Р'Ер — г рс —,г УЕР+2 р +г 2А. Пользуясь определением нмпеданса в задаче 2.3, найтн нмпеданс Яз прн х=О для стержня с параметрами Е, р, если пря х=1 нмпеданс равен Яь Решение. Гармоническое решение волнового уравнения в стержне будет и (ашпйх+Ьсоэйх)ехр( — 1ю1). Найдем соотношенне между амплнтудамн волн а я Ь, нопользуя заданный нмпеданс дм г ~ Ей(асозй! — Ьз!пИ) а/Ь вЂ” !дЫ = — !Рс Зо (» ! !ю(аз!пй!+ЬсозЫ) а(Ь!2Ы+! Определив отсюда отношение а/Ь, получим нмпеданс прн х=б: Еда 1рс(6И вЂ” Я! Я! — 1рс!6И Яэ = —, = — грс =рс йзЬ 1рс+ Е! !6 й! рс — 12! !6 И 2.6.
Определить входной нмпеданс полубесконечного стержня с параметрами р и с. Р е ш е н и е. В стержне может существовать только уходящая от его конца волна и а ехр(!(Ьх — ю!)], Следовательно, Е ди! Е(Ь Л~ —,— ~ = —, "г'Ер= рс. 1~д ~ м 34 2.6. Подобрать параметры стержня конечной длины (р, с, 1) такнм образом, чтобы коэффициент отражения гармонической продольной волны для взобра. женной на рис. 2.6 системы был равен нулю. Решение.
Положив по результатам предыдущей задачи 2~=реса найдем по формуле задачи 2.4 входной нмпеданс рэсэ — ~рс !й И рс — !рзсэ !й И Теперь обратимся к выражению для коэффициента отражения через Еь иолу- „еяному в задаче 2.3, откуда следует, что )г=О при Е~=р~сь Нетрудно видеть, что так будет, если й/=(и/2)(2л+1) (и .О, 1, 2, ...) н рс=ур~с~рдср. )(ействительно, тогда 10 й(-ьоо, а Ез(рс)з/рзсэ-р,сь Такнм образом, для согласования двух стержней нужно взять третий размером в нечетное число четвертей длины волны нэ такого материала, чтобы рс=ур с,рзсз. 2.?.
Рассмотреть процесс распространенна возмущений в стержне конечной длиной 1, налетевшем со скоростью оз в момент временн 1 0 на абсолютно жесткую стенку. Р е ш е н н е. Прн 1>0 со стороны стенкн на стержень действует сила /(1), которая в соответствии с волновым уравнением для Р(х, 1)=$Еди/дх будет распространяться со скоростью с=ТЕ/р. Следовательно, что 0<1<!/с будем иметь Р(х, 1)=/(1+х/с) (/(я)=0 прн в(0). В момент временн С=Цс зто возмущение дойдет до свободного конца стержня х= — !. В результате возникает отраженное возмущение, так что прн !/с<1<21/с Р(х, 1) /(1+х/с)+ -Ь«(1 — х/с). Поскольку на свободной границе Р( — С, 1) и«0, то /(С вЂ” !/с)+ +д(1+!/с) =0 нлн Е(5) = — ٠— 2!/с).
Поэтому прн 0<1<2!/с Р(х, 1) =-/(1+ »/с) — /(! — х/с — 2Цс), Найдем теперь выражение для скорости частнц стержня: ди д Р ди 1 д 1' о (х, 1) — = — ) — дх + а (1) = — — ) Р (х, 1) Их + а (С,'. дС д13 д» ЕЗдС 3 е 6 Постоянная ннтвгрнровання а(С) и«0 для 0<1<2!/с, так как о(0, С) О. Подставнв в о(х, 1) выраженне для Р(х, 1), получим « о(х, 1) — — ) /~1+ — /!Ȼ†Едд/ ~,) ~ с/ в « 1+«!с — ~/( — — , "— — ' , '~ ° - —,', —,', ~ /а) ж+ е 1 «/с з1!с юве]- —,', ~г(ю~.—,')- Ма1/с — /(1)+ /(С вЂ” —" — — Я, так как /(1 — 2!/с)=-0 прн 1(2!/с.
Теперь легко найти явный внд функции /(ч), воспольэовавшнсь условием, что о( — !, 1)=еэ прв 0(1(!/с (воэмущенне еще не добежало до левого конца стержня): с с цэ — (/(С вЂ” Цс) — /(В+ / (1 — !/с)) = 1 (1), ЕЕ ЕБ нбо /(1 — !/с)=0 прн 1(!/с. Отсюда находнм /(1)- — ЕЗоэ/с нлн (с учетом /(ь)=0 прн к(0) /(й) — ЕБ(оз/с)ВЩ, где 0($)=! прн $)0 н В(в)=0 35 24 прн 5<0. Для моментов временн 0<1<2!/с окончательно запишем: Р (х, 1) — ЕБ — [О (1+ к/с) — О (1 — х/с — 2!/с) [, с в(х, 1) = — и [0(1+х/с) — 0(1)+0(1 — х/с — 2!/с)[.
Отсюда видно, что прн 1~!/с напряжение снимается (Р(х, 1) =0) с участка стержня — !<»<с1 — 21, скорость всех точек которого равна — из. В частности, прн 1 2!/с напряженке снимается со всего стержня, который будет двигаться как целое со скоростью — вз (отскок стержня). Днаграмма возмущений в стержне в разлнчные моменты времени показана на рнс.
2.7. 2.8.. Проверить выполнение закона со»раненая количества движения (импульса) прн отскоке стержня. Р е ш е н н е. В течение времена контакта 21/с со стороны стенки на стержень действует постоянная сала Рз Р(0, !) = — ЕЯоз/с (см. предыдущую задачу). Выражая полный импульс этой снлы Рр21/с через скорость ое в массу стержни т=р!8, получаем 2!Р /с — 2ЕЕи Цсз = — 2р!Евз —— — исз — яюз — — вю )гь г! — вш [гм, — закон сохранения количества движения. 2.9. Рассмотреть двнженне стержня длнной 1 прн коротком (тФ!/с) действнн силы Рз на левый его торец. Р е ш е н н е. После удара по стержню побежнт импульс сжатия Р(», 1) — РзП(1 — »/с) прн 0<1<!/с, где П(й) =1 на интервале 0<в<с и П($) =0 вне его. В момент времени !=Цс нмнульс достнгнет правого конца стержня н отразится.
Прн условны, что Р(!, 1) О, для 0<1<2Цс получнм Р(х, 1) = — Рз[П(! — х/с) — П(!+»/с —.2!/с)). Найдем выражение для скорости частиц стержня (см. задачу 2.7): 1 д Р Р Е$ д1,) Рг х/с 1+х/г Ы/с -" — '[) пва-~ ) п(зе~.~ ЕЗ [д1 1 Ю-з!!г Рзс +аз(1) = — [П(1 — х/с) — П(!) + ) ЕЯ + П (1 + х/с — Й/с) — П (1 — Й/с) + мз (1) ) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
