Л.М. Бреховских, В.В. Гончаров - Введение в механику сплошных сред (1119112), страница 5
Текст из файла (страница 5)
3. Неразъемный контакт двух стержней одинакового сечения с различными материальными постоянными: р„Е, и р„Е,. Очевидно, что в этом случае слева и справа от границы одинаковы смещения и силы (напряжения): (и — и,), = О, (Е,дик!дх — Е,ди,~дх) = О. (2,8) 5.2. Законы отражения волн. Мы ограничимся наиболее простым случаем гармонических волн, поскольку на его основе не составляет труда получить законы отражения для импульса произвольной формы. Предположим, что волна [(х — сг) может быть представлена в виде интеграла Фурье по гармоническим волнам: О Цх — с() = ) А(в) ехр [Г(йх — в()) дв, й = в/с.
Используя далее законы отражения для гармонических волн и принцип суперпозиции, справедливый в силу линейности уравнения и граничных условий, легко найти закон отражения для волны 1(х — с1). Таким образом, пусть по стержню, занимающему область оо<х(О, распространяется продольная гармоническая волна и =Аехр[((йх — вЕ)] в направлении его конца х=О (падающая волна). Рассмотрим случай абсолютно жесткой границы.
Нетрудно видеть, что одна падающая волна и+ не может удовлетворить граничному условию (2.6). Следовательно, должна возникнуть распространяющаяся в обратном направлении волна частоты в'. и =АУехр[ — ((й'х+в'г)), й'=в'/с. Постоянная г' называется коэффициентом отражения. Смещение частиц стержня будет складываться нз смещений, обусловленных каждой из волн: и(х, 1) =А(ехр[!(йх — Ы) )+ Уехр[ — 1(в'х+е'1) [). Подставляя суммарное смещение в граничное условие (2.6) при х,=О, получаем ехр( (ы1)+1 ехр( — (ы'1) =0 или ехр[1(в' — ~)1] — У (29) Поскольку в последнем соотношении правая часть постоянна, то должна быть постоянной и левая. Отсюда следует, что в'=ы, т. е.
частоты падающей и отраженной волн равны. При этом также х'=й и коэффициент отражения У= — 1 Таким образом, полное волновое поле в стержне имеет вид и(х, 1) =А [ехр(йх) — ехр( — 'йх) 1ехр( — но1) = =2(А з(п йх ехр( — ио1). Аналогичным способом получается закон отражения от свободной границы. В этом случае коэффициент отражения У=1. Заметим, что равенство частот падающей и отраженной волн мы получили автоматически, требуя выполнения граничного условия во все моменты времени.
Нетрудно видеть, что это обстоятельство будет иметь место во всех случаях, когда время не входит явно в граничное условие. Свойство сохранения частоты в значительной степени облегчает решение задач об отражении волн. Рассмотрим, например, случай контакта двух полубесконечных стержней из разного материала, но одинакового сечения. Как и выше, предположим, что слева падает гармоническая волна А ехр[1(е,х — Ы)), й,= =в!со с,= !!Е,!р,.
Поскольку частота волны сохраняется, решение соответствующих волновых уравнений слева от границы (х(0) и, и справа (х)0) и, можно искать в виде: и,(х, 1) =ф,(х)ехр( — йо1), и,(х, 1) =ф,(х)ехр( — иа1). При этом для функций ф, и ф, получаем обыкновенные дифференциальные уравнения: ф!+ й!ф! = О, И! е/сг, с! = ~ГЕ!1рг, 1 =!, 2. (2.11) Общее решение этих уравнений запишем в виде: ф, = Аехр(й,х)+ УАехр( — й,х). ф,= ФАехр(й,х)+А,ехр( — йзх). (2.12) При этом члены ехр(й!х) соответствуют волнам, распространяющимся направо, а ехр( — й,х) — налево. Поскольку при х)0 никаких источников волн нет, то во втором стержне могут быть только волны, уходящие от границы (условие излучения), следовательно, А,=О. Подставляя (2.12) в условия (2.8) при х,=О, получаем систему двух уравнений для определения козффици- 23 5 6.
Продольные колебания стержней При прекращении действия вынуждающей силы стержень конечной длины продолжает колебаться на некоторых «собстеенньсх» частотах. Эти частоты, а также форму колебания (вид функции и(х, 1) ) можно найти, решая волновое уравнение (2.2) при соответствующих граничных условиях.
Пусть, например, имеется стержень, концы которого х=0 и х=1 неподвижны, т. е. и1„,= =и~„с=О. Будем искать решение в виде и(х, 1) ф(х)ехр( — 1ес1). Подставив его в (2.2), для функции ср(х) получаем обыкновенное дифференциальное уравнение срл+й'ср=0, я=се/с. Условие при х=о выполнится автоматически, если положить ср(х) = =А зйп йх.
Удовлетворяя теперь условию при х=1, находим з!и /с!=0. Отсюда следует, что имеется набор волновых чисел й„=пп/1, п=1, 2, (2.14) при которых выполняются оба граничных условия. Последнее равенство с учетом формулы й„=се„/с определяет для рассматриваемого случая счетный набор собственных частот се„= пас/1. (2.15) При этом для соответствующих собственных колебаний получаем сс„(х, 1) =А„з!пй„хехр( — 1в„1), (2.16) или, представив комплексную амплитуду в виде А„=а„ехр((ф„) и выделяя вещественную часть, ил (х, 1) = а„з!и ( — х) соз (сэ„1 — ф„); а„и ср„при этом остаются произвольными.
На рис. 2.1 изображено распределение амплитуд'колебаний а з!п(пах/1) по длине стержня для разных и. Мы видим, что величина п — 1 дает число узлов (точек, где и.=о), имеющихся на стержне, не считая его концов. Обратим внимание также на то, что в стержне могут существовать только такие колебания, у которых на длине стержня укладывается целое число полуволн. Это видно также из уравнения (2.14), если с учетом й„=2п/Х„ записать его в виде 1=пХ„/2. В случае свободного стержня конечной длины (граничные условия и'(О) =и'(!) =О) единственным отличием от рассмотренного.
случая будет выбор решения в виде ср(х) =А совах, произ- 24 (2.17) ентов отражения У и прохождения !!Р: 1+ У=!!г, 1й,Е,(1 — У) = =се,Е,'М. Отсюда получаем формулы Френеля: У рсес — Ур»е» л — сл р ял (.1 ) 2. 3 УрсЕс+ Ур»Е» л+сл л+сл где п=с,/с,— коэффициент преломления; пс=р,/р,— отношение плотностей. водная от которого обращается в нуль при х=О. Уравнение для собственных частот то же (ейп И=О), так что формулы (2.14) и (2.15) остаются в силе. Таким образом, частоты собственных колебаний закрепленного и свободного стержней одинаковы. Форма собственной функции отличается сдвигом на четверть периода: и, (х, 1) = а, соз ~ — х) соз (ы ! — ' ф ).
! (2.18) На рис. 2.2 изображена форма нескольких первых колебаний стержня. Вновь на длине стержня укладывается целое число полуволн. Отсюда понятно, почему частоты колебаний оказываются одинаковыми для закрепленного и свободного стержней. Однако здесь уже величина л (а не и — 1) дает число узловых точек на длине стержня. 5 7. Волны кручения в стержне. Крутильные колебания Предположим, что к одному концу стержня кругового сечения, Рассмотренного в $3, внезапно приложен крутящий момент.
Тогда вдоль стержня побежит волна кручения. Деформацию в каждом сечении х мы будем характеризовать углом закручивания у=~р(х, !), равным углу поворота данного сечения вокруг оси х. Напряженное состояние в каждом сечении будет характеризоваться моментом кручения М(х, !). Пользуясь формулой (1.14), нетрудно связать между собой обе эти величины. В самом деле, применив (1.14) к участку стержня, ограниченному двумя сечениями на весьма малом расстоянии Лх друг от друга, и обозначив угол закручивания этого участка через Л~Р ф(х+Лх)— Ф(х) =(дух)бх, получим, положив в (1.14) Е=бх и <р=б~р, М(х) =1Лф=1кпа'Аф((2бх) или в пределе Лх-~0 пак дф М (х) = (к — — .
2 дк Аналогично рассчитывается результирующий крутящий момент, действующий на тот же элемент Лх и равный разности моментов на каждом из сечений: дМ па' Уф М (х+ Лх) — М (х) = — Ьх = (к — — Лх. дк 2 дка По второму закону Ньютона этот момент приводит к угловому ускорению рассматриваемого элемента стержня вокруг оси х. Поскольку момент инерции нашего элемента равен яра'Ьх/2, а угловое ускорение д'фд(*, то окончательно получаем; д~~р 1 д~р к/ В (2.20) ди с~ дкк р Это вновь волновое уравнение, совпадающее с (2.2) для продольных волн, но с другой скоростью распространения.
Заметим, что эта скорость не зависит от радиуса стержня. Граничными условиями для уравнения (2.20), очевидно, будут: закрепленный конец ф). „=0; свободный конец М)„=. =0 нли, воспользовавшись (2.10), (дф/дх) =0; жесткий контакт двух стержней одинакового радиуса, но из разных материалов с Ро Р, и 1к„ Р, соответственно — Равенство Углов закРУчиваниЯ ф,1 ~=ф,~„и моментов М: р,(дф,/дх,)„=1к,(дф,/дх)„, что аналогично (2 8). Таким образом, как уравнения, так и граничные условия для продольных и крутильных волн совпадают между собой с точностью до обозначений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
