Главная » Просмотр файлов » Л.М. Бреховских, В.В. Гончаров - Введение в механику сплошных сред

Л.М. Бреховских, В.В. Гончаров - Введение в механику сплошных сред (1119112), страница 5

Файл №1119112 Л.М. Бреховских, В.В. Гончаров - Введение в механику сплошных сред (Л.М. Бреховских, В.В. Гончаров - Введение в механику сплошных сред) 5 страницаЛ.М. Бреховских, В.В. Гончаров - Введение в механику сплошных сред (1119112) страница 52019-05-09СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

3. Неразъемный контакт двух стержней одинакового сечения с различными материальными постоянными: р„Е, и р„Е,. Очевидно, что в этом случае слева и справа от границы одинаковы смещения и силы (напряжения): (и — и,), = О, (Е,дик!дх — Е,ди,~дх) = О. (2,8) 5.2. Законы отражения волн. Мы ограничимся наиболее простым случаем гармонических волн, поскольку на его основе не составляет труда получить законы отражения для импульса произвольной формы. Предположим, что волна [(х — сг) может быть представлена в виде интеграла Фурье по гармоническим волнам: О Цх — с() = ) А(в) ехр [Г(йх — в()) дв, й = в/с.

Используя далее законы отражения для гармонических волн и принцип суперпозиции, справедливый в силу линейности уравнения и граничных условий, легко найти закон отражения для волны 1(х — с1). Таким образом, пусть по стержню, занимающему область оо<х(О, распространяется продольная гармоническая волна и =Аехр[((йх — вЕ)] в направлении его конца х=О (падающая волна). Рассмотрим случай абсолютно жесткой границы.

Нетрудно видеть, что одна падающая волна и+ не может удовлетворить граничному условию (2.6). Следовательно, должна возникнуть распространяющаяся в обратном направлении волна частоты в'. и =АУехр[ — ((й'х+в'г)), й'=в'/с. Постоянная г' называется коэффициентом отражения. Смещение частиц стержня будет складываться нз смещений, обусловленных каждой из волн: и(х, 1) =А(ехр[!(йх — Ы) )+ Уехр[ — 1(в'х+е'1) [). Подставляя суммарное смещение в граничное условие (2.6) при х,=О, получаем ехр( (ы1)+1 ехр( — (ы'1) =0 или ехр[1(в' — ~)1] — У (29) Поскольку в последнем соотношении правая часть постоянна, то должна быть постоянной и левая. Отсюда следует, что в'=ы, т. е.

частоты падающей и отраженной волн равны. При этом также х'=й и коэффициент отражения У= — 1 Таким образом, полное волновое поле в стержне имеет вид и(х, 1) =А [ехр(йх) — ехр( — 'йх) 1ехр( — но1) = =2(А з(п йх ехр( — ио1). Аналогичным способом получается закон отражения от свободной границы. В этом случае коэффициент отражения У=1. Заметим, что равенство частот падающей и отраженной волн мы получили автоматически, требуя выполнения граничного условия во все моменты времени.

Нетрудно видеть, что это обстоятельство будет иметь место во всех случаях, когда время не входит явно в граничное условие. Свойство сохранения частоты в значительной степени облегчает решение задач об отражении волн. Рассмотрим, например, случай контакта двух полубесконечных стержней из разного материала, но одинакового сечения. Как и выше, предположим, что слева падает гармоническая волна А ехр[1(е,х — Ы)), й,= =в!со с,= !!Е,!р,.

Поскольку частота волны сохраняется, решение соответствующих волновых уравнений слева от границы (х(0) и, и справа (х)0) и, можно искать в виде: и,(х, 1) =ф,(х)ехр( — йо1), и,(х, 1) =ф,(х)ехр( — иа1). При этом для функций ф, и ф, получаем обыкновенные дифференциальные уравнения: ф!+ й!ф! = О, И! е/сг, с! = ~ГЕ!1рг, 1 =!, 2. (2.11) Общее решение этих уравнений запишем в виде: ф, = Аехр(й,х)+ УАехр( — й,х). ф,= ФАехр(й,х)+А,ехр( — йзх). (2.12) При этом члены ехр(й!х) соответствуют волнам, распространяющимся направо, а ехр( — й,х) — налево. Поскольку при х)0 никаких источников волн нет, то во втором стержне могут быть только волны, уходящие от границы (условие излучения), следовательно, А,=О. Подставляя (2.12) в условия (2.8) при х,=О, получаем систему двух уравнений для определения козффици- 23 5 6.

Продольные колебания стержней При прекращении действия вынуждающей силы стержень конечной длины продолжает колебаться на некоторых «собстеенньсх» частотах. Эти частоты, а также форму колебания (вид функции и(х, 1) ) можно найти, решая волновое уравнение (2.2) при соответствующих граничных условиях.

Пусть, например, имеется стержень, концы которого х=0 и х=1 неподвижны, т. е. и1„,= =и~„с=О. Будем искать решение в виде и(х, 1) ф(х)ехр( — 1ес1). Подставив его в (2.2), для функции ср(х) получаем обыкновенное дифференциальное уравнение срл+й'ср=0, я=се/с. Условие при х=о выполнится автоматически, если положить ср(х) = =А зйп йх.

Удовлетворяя теперь условию при х=1, находим з!и /с!=0. Отсюда следует, что имеется набор волновых чисел й„=пп/1, п=1, 2, (2.14) при которых выполняются оба граничных условия. Последнее равенство с учетом формулы й„=се„/с определяет для рассматриваемого случая счетный набор собственных частот се„= пас/1. (2.15) При этом для соответствующих собственных колебаний получаем сс„(х, 1) =А„з!пй„хехр( — 1в„1), (2.16) или, представив комплексную амплитуду в виде А„=а„ехр((ф„) и выделяя вещественную часть, ил (х, 1) = а„з!и ( — х) соз (сэ„1 — ф„); а„и ср„при этом остаются произвольными.

На рис. 2.1 изображено распределение амплитуд'колебаний а з!п(пах/1) по длине стержня для разных и. Мы видим, что величина п — 1 дает число узлов (точек, где и.=о), имеющихся на стержне, не считая его концов. Обратим внимание также на то, что в стержне могут существовать только такие колебания, у которых на длине стержня укладывается целое число полуволн. Это видно также из уравнения (2.14), если с учетом й„=2п/Х„ записать его в виде 1=пХ„/2. В случае свободного стержня конечной длины (граничные условия и'(О) =и'(!) =О) единственным отличием от рассмотренного.

случая будет выбор решения в виде ср(х) =А совах, произ- 24 (2.17) ентов отражения У и прохождения !!Р: 1+ У=!!г, 1й,Е,(1 — У) = =се,Е,'М. Отсюда получаем формулы Френеля: У рсес — Ур»е» л — сл р ял (.1 ) 2. 3 УрсЕс+ Ур»Е» л+сл л+сл где п=с,/с,— коэффициент преломления; пс=р,/р,— отношение плотностей. водная от которого обращается в нуль при х=О. Уравнение для собственных частот то же (ейп И=О), так что формулы (2.14) и (2.15) остаются в силе. Таким образом, частоты собственных колебаний закрепленного и свободного стержней одинаковы. Форма собственной функции отличается сдвигом на четверть периода: и, (х, 1) = а, соз ~ — х) соз (ы ! — ' ф ).

! (2.18) На рис. 2.2 изображена форма нескольких первых колебаний стержня. Вновь на длине стержня укладывается целое число полуволн. Отсюда понятно, почему частоты колебаний оказываются одинаковыми для закрепленного и свободного стержней. Однако здесь уже величина л (а не и — 1) дает число узловых точек на длине стержня. 5 7. Волны кручения в стержне. Крутильные колебания Предположим, что к одному концу стержня кругового сечения, Рассмотренного в $3, внезапно приложен крутящий момент.

Тогда вдоль стержня побежит волна кручения. Деформацию в каждом сечении х мы будем характеризовать углом закручивания у=~р(х, !), равным углу поворота данного сечения вокруг оси х. Напряженное состояние в каждом сечении будет характеризоваться моментом кручения М(х, !). Пользуясь формулой (1.14), нетрудно связать между собой обе эти величины. В самом деле, применив (1.14) к участку стержня, ограниченному двумя сечениями на весьма малом расстоянии Лх друг от друга, и обозначив угол закручивания этого участка через Л~Р ф(х+Лх)— Ф(х) =(дух)бх, получим, положив в (1.14) Е=бх и <р=б~р, М(х) =1Лф=1кпа'Аф((2бх) или в пределе Лх-~0 пак дф М (х) = (к — — .

2 дк Аналогично рассчитывается результирующий крутящий момент, действующий на тот же элемент Лх и равный разности моментов на каждом из сечений: дМ па' Уф М (х+ Лх) — М (х) = — Ьх = (к — — Лх. дк 2 дка По второму закону Ньютона этот момент приводит к угловому ускорению рассматриваемого элемента стержня вокруг оси х. Поскольку момент инерции нашего элемента равен яра'Ьх/2, а угловое ускорение д'фд(*, то окончательно получаем; д~~р 1 д~р к/ В (2.20) ди с~ дкк р Это вновь волновое уравнение, совпадающее с (2.2) для продольных волн, но с другой скоростью распространения.

Заметим, что эта скорость не зависит от радиуса стержня. Граничными условиями для уравнения (2.20), очевидно, будут: закрепленный конец ф). „=0; свободный конец М)„=. =0 нли, воспользовавшись (2.10), (дф/дх) =0; жесткий контакт двух стержней одинакового радиуса, но из разных материалов с Ро Р, и 1к„ Р, соответственно — Равенство Углов закРУчиваниЯ ф,1 ~=ф,~„и моментов М: р,(дф,/дх,)„=1к,(дф,/дх)„, что аналогично (2 8). Таким образом, как уравнения, так и граничные условия для продольных и крутильных волн совпадают между собой с точностью до обозначений.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
6,15 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6392
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее