Л.М. Бреховских, В.В. Гончаров - Введение в механику сплошных сред (1119112), страница 4
Текст из файла (страница 4)
24Е1 При этом стрела прогиба г(Е/2) = — (5/384) рЕч/Е1. 1.6. В условиях задачи 1.5 считать балку невесомой, но к ее середине приложить силу Р. Р еш е н не. Силы реакции — Р/2. Уравнение для моментов при 0(х(Е/2 будет Е1ге=Гк/2. Решением этого уравнения, удовлетворяющим граничным условиям г(0) =0 и г'(Е/2) =0 (последнее в силу симметрии задачи относительно точки к=Е/2), является г(х) =Рк(4к' — ЪЕз)/(48Е1). Стрела прогиба в этом случае равна г(Е/2) = — РЕз/(48Е1). 1/Е Тонкий стержень длиной Е подвергается сжатию с торцов силой Р (рис. 1.16). Показать, что при достаточно малых Р(Р~ стержень ие будет иметь деформаций изгиба (устойчивость). Рассчитать критическую силу Рь называемую силой Эйлера. Решение. При изгибе стержня в его произвольном сечении к возникает момент М(к) =Рг(х) (рнс.
1.16). В соответствии с (!.15) и (1.16) имеем уравнение равновесия г"+а'г=О, а'=Р/Е/, общим решением которогв является функция г=Асбпах+Всозах. Но при х=-0 и х=Е должно быть г=О, откуда для возможных видов равновесия стержня получаем В=О, А — произвольно и а Е=лп (п=!, 2, ...). Для каждого п имеем силу Р„= =пап'Е//ЕЕ Наименьшая из них, соответствующая л=1, будет Р,=пзЕ1/Ез.
Если внешняя сила Р(Рь то стержень будет оставаться прямолинейным. При Р=Р, равновесие оказывается возможным при любом большом прогибе. Однако при немалых прогибах линейная теория, получающаяся прн пренебрежении (г')з по сравнению с единицей в (!.16), становится неверной.
Расчет на основе точного выражения для кривизны (1.16) приводит к однозначной связи между силой Р)Р, и формой, которую принимает стержень. 1.8. Определить энергию, запасенную в стержне длиной 1 при его сжатии силой Ре. Решен не. Искомая энергия равна работе, совершаемой силой при переходе от свободного состояния к напряженному. Чтобы исключить из рассмотрения кинетическую энергию частиц стержня, расчет работы следует проводить при квазнстатической деформации. Для этого нужно предположить, 18 что все время выполняется закон Гука (1.1): Р/5=Еи/1, где через и здесь мы обозначаем смещение торца стержня, к которому приложена сила, В этом случае приращение работы ЫА=Рбл=(Е5/1)ш(и, откуда после интегрирования в пределах от 0 до и получаем А = Е5п~/21 Рок/2. Плотность энергии (на единицу объема) при этом равна половине произведения напряжения на деформацию: Е А/5/=Ран/251.
1.9. Найти кинетическую энергию частиц стержня при резком его сжатии продольной силой Рз. решси не. Предполагая, что сила остается постоянной в процессе деформации, имеем для работы А=-Рзи. Последняя переходит как в упругую l г /А 11/ МР тзс. 1Лт Рнс. ь!6 энергию, полученную в предыдущей задаче: Е=Рзи/2, так и в кинетическую Тг А=Е+Т. Отсюда Т=Е=Рзи/2. 1.1О. Определить изменение радиуса /7 вращающегося вокруг своей оси тонкостенного кругового цилиндра. Р е ш е н н е.
Для элемента цилиндра б/=Ебф имеем центростремительную силу Рч,—— р5/7Щыз/7, где р — плотность материала; 5 — площадь сечения цилиндра плоскостью, содержащей его образующую н ось вращения (рис. 1.17). Эта сила является равнодействующей сил, растягивающнх данный элемент: Е„,=2Рзгп(бф/2) азРЬф, откуда имеем для напряжений Р/5= =р/7тыз. Теперь по закону Гука 6 (2п/7) Ь/7 ! Р рыз)гз ,/7выз — — — — = —, или б)7 2п/7 )7 Е 5 Е Е 1Л1. Определить относительное смещение точек стержня, движущегося в направлении своей длины с постоянным ускорением а. Решен не. Пусть р — плотность стержня, Š— модуль Юнга,! — длина стержня и 5 — площадь его поперечного сечения.
В произвольном сечении х действует сила Р(х) =-р5ха, вызывающая движение стержня с ускорением а. Эта сила обусловлена действием внутренних напряжений Р(х)/5= рха=Еди/дх. Ннтегрнруя последнее уравнение при условии и(0)=0, находим и=рак'/2Е. 1.12. Найти смещение точек стержня, вращающегося вокруг одного из торцов с частотой ы. Решение. Центростремительная сила участка стержня к)ха равная р„= ~,фоРкнх = Ярма ()а — ~~)/2, ха обеспечена дейстанем анутренних напряжений а сечении х: Ря, —— оЕди!дх Интегрируя получившееся ураанение, находим и(х) =ртотх(р — кт)З))2Е. Глава 2 ВОЛНЫ В СТЕРЖНЯХ, ВИБРАЦИИ СТЕРЖНЕЙ В предыдущей главе мы рассмотрели простейшие виды деформаций, не зависящих от времени. Если же (как это часто и бывает) внешние воздействия на упругое тело изменяются во времени, то возникает волновое движение, в результате которого возмущение (деформация) передается от одних участков тела к другим с конечной скоростью.
Мы рассмотрим простейшие типы волн в стержнях, получим уравнения, описывающие распространение этих волн вдоль стержня, а также введем ряд важных понятий, свойственных волновым движениям любой природы. 4 4. Продольные волны в стержне 4.Е Волновое уравнение. Ударим в продольном направлении по торцу длинного стержня.
Вдоль стержня побежит возмущение— продольная волна. Выведем уравнение, описывающее распространение этой волны. Направим координату х вдоль стержня. Смещение сечения стержня, которое в состоянии покоя характеризовалось координатой х, обозначим через и(х, (), так что при продольной деформации указанное сечение займет положение х+и(х, (), где т — время.
Если рассмотреть малый участок стержня Лх между сечениями х и к+ах, то, воспользовавшись дифференциальной формой закона Гука (1.4), легко определить силу Р(х), действующую в сечении х: Р(о = Еди!дх, где, как и выше, 5 — площадь поперечного сечения стержня; Е— модуль Юнга. Аналогичное выражение можно написать и для силы, действующей в сечении х+Лх. Разность этих сил Р(х+Ьх) — Р(х) — (дР/дх) Лх создает ускорение элемента стержня, заключенного между сечениями х и х+Лх.
Так как масса этого элемента равна рЗЛх (р — плотность материала стержня), 20 а ускорение д'и/дР, то по второму закону Ньютона имеем Уи дР рЯАх — =- — съх. дп дх Сократив здесь на Ьх и подставив значение Р из (2.1), получаем искомое волновое уравнение для продольных волн в стержне: д'и/дн = с'д*и/дх', с =)/Е/р.
(2.2) Подстановкой нетрудно убедиться, что его решением будет и(х, /) =/(х — с1) +у(х+с1), (2.3) где / и у — произвольные функции. Первый член в (2.3) представляет собой волну, распространяющуюся в направлении положительных х со скоростью с без изменения формы, второй — волну, распространяющуюся с той же скоростью в обратном направлении. 4.2. Гармонические волны. В случае гармонических волн, когда / и д — синусоидальные функции с круговой частотой в, имеем и(х, 1) =асов(йх —.а1+~,) +Ь соз(йх+Ы+ф). (2.4) Здесь а и Ь вЂ” постоянные, называемые амплитудами волн; чь и ф,— также постоянные начальные фазы волн; 4=в/с — волновое число.
Последнее можно также записать в виде Й=2п/А, где Л=2пс/го=Те — длина волны; Т вЂ” ее период. Как и в (2.3), первый член (2.4) описывает волну, распространяющуюся в сторону положительных х, второй — в обратном направлении. Для удобства промежуточных выкладок оказывается полезным записывать волны вместо (2.4) в комплексной форме и(х, 1) =А ехр[1(йх — в/) )+В ехр( — Ийх+гл/) ), (2.5) где А=а ехр(1ф); В=Ь ехр((ф) — постоянные, называемые комплексными амплитудами волн. Физический смысл имеет только вещественная часть выражения (2.5), совпадающая с (2.4).
Если мы совершаем линейные операции над комплексными волнами: сложение волн, дифференцирование по времени или координатам и т. п., то ясно, что вещественная часть окончательного результата будет равна результату тех же операций только над вещественной частью исходных волн. Если же операции нелинейны, например определение энергии волн — квадратичной по и величины, то с самого начала нужно перейти к вещественной форме. и 5. Отражение продольных волн 5 1. Граничные условия.
В стержне бесконечной длины волна будет распространяться в одном и том же направлении сколь угодно долго. Однако в действительности стержень всегда имеет конечную длину, и волна отражается от его конца. Если стержень (2.7) граничит с другими, то в последнем появляется уходящая от границы ароикедикая волна. Процессы отражения и прохождения волн зависят от свойств границы — граничных условий.
Рассмотрим некоторые граничные условия, предполагая, что граница расположена при х=х.. 1. Абсолютно жесткая граница, смещение частиц которой запрещено. Математически это условие записывается в виде и~. „=О. (2.6) Практически этот случай реализуется, если торец стержня приклеен к массивной стенке из материала с очень большим модулем Юнга. 2. Абсолютно мягкая (свободная) граница, например стержень в достаточно разреженной среде или вакууме. На границе такого типа исчезают силы (напряжения) Р зи! — =Š— ~ =0 или — ~ =О. ди~ 8 дк~ дк~ Хорошим приближением абсолютно мягкой границы служит граница с воздухом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
