Л.М. Бреховских, В.В. Гончаров - Введение в механику сплошных сред (1119112), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Дифференциальная форма закона Гука. Принцип супер- позиции. Для решения практических задач часто бывает полезным записывать закон Гука (1.1) в дифференциальной форме. Для этого введем величину смещения и(х) точек бруска вдоль продольной осн (ось х на рис. 1.3) и вычислим изменение длины бесконечно малого элемента бруска, длина которого до деформации Ьх=х,— х„после деформации она будет х,+и(х,)— ди ~ — (х,+и(х,) 1=Ьх+ — ~ Ьх.Таким образом, для произвольного дк 1„ ди х изменение длины 6(Ьх) = — Ьх.
Деформация элемента Ьх равдх иа е=б(Ьх)/Ьхжди/дх. Подставляя это выражение в (1.1), вместо 61/1 получаем закон Гука в дифференциальной форме е =Г/~Б = Еда/дх. (1.4) Говорят, что тело однородно деформировано, когда деформация е=ди/дх постоянна по всему телу. Дифференциальная форма закона Гука важна при расчете неоднородных деформаций, в частности, соотношение (1.4) позволяет простым интегрированием определить смещения точек бруска. Важным следствием линейности соотношений (1.1) и (1.2) является принцип суперпозиции, который состоит в следующем. Если при некоторой силе Г имеется некая деформация е и если представить Г как сумму Г=Г,+Г,+ +Г„, т. е.
суперпозицию и сил, то н деформацию е можно представить как сумму и деформаций: е=е,+е,+... +е., причем каждая е, может быть получена из Г, с помощью соотношений (1.1) и (1.2) так, как будто бы остальных сил не существует, Мы используем принцип суперпозиции для рассмотрения конкретных, сначала простых, примеров однородной деформации тел. 52. Однородные деформации 2.1. Тело под действием гидростатического давления. Возьмем снова тело в виде бруска и поместим его в резервуар с жидкостью, находящейся под давлением р (рис.
1.4). Сила, действующая на поверхность тела, всюду нормальна к поверхности, и напряжение, равное давлению (силе, отнесенной к единице площади), также одинаково во всех точках. Пользуясь принципом суперпозиции, задачу разобьем на три отдельные задачи: !.
Продольное сжатие 61, под действием сил, приложенных к торцам. Согласно (1.1) имеем для него 61,/1 = — р/Е. 2. Удлинение 61, в продольном направлении от сил, приложенных к горизонтальным боковым граням. Согласно (1.3) имеем 6Ц1=тр/Е. 3. Аналогичное удлинение в результате действия сил, приложенных к вертикальным боковым граням (параллельным плоскости рисунка): 61,/1=тр/Е. Суммарная продольная деформация будет 61/1 = — 61в41 + 6/а/1+ 61з/1 = — — (1 — 2»). Е В силу симметрии задачи, очевидно, мы можем аналогичные выражения получить для поперечной деформации в плоскости рисунка; 6И/И= — р(1 — 2»)/Е, и то же самое для поперечной деформации в направлении, перпендикулярном чертежу бге/ге. Рассчитаем относительное изменение объема тела.
До деформации брусок имел объем У=1Иге. В результате деформации ои изменился на величину 6У, которая может быть найдена с точностью до линейных по деформациям членов как 6У =(1+ 61)(И+ 6И)(ш+ бш) — У=У~ — +-+ — ! = (61 6Ь Ье ~ ~1 Л / ! — 2» =-3Ур— Е Отсюда 6У/У= — Зр(1 — 2»)/Е, что можно записать н так: р= — КЬУ/У, К=Е/(3(1 — 2») ]. (1.б) Величину К называют модулем объемного (всестороннего) сжатия. Из выражения (1.6) следует, что всегда»('/ы так как в противном случае модуль К(0, т. е. прн повышении внешнего давления тело расширялось бы. 2.2.
Продольная деформацня прн запрещенных боковых смещениях. Рассмотрим следующий пример однородной деформации (рнс. 1.5). Пусть. брусок растягивается илн сжимается в направлении х силой Р.. Предположим, что смещения в направлении у запрещены. Прн сжатии это легко можно осуществить, поместив брусок вплотную между двумя неподвижными стенками, перпендикулярными плоскости рисунка. Предполагается, что грани бруска могут свободно скользить по стенкам. Боковые стенки бруска, перпендвкулярные оси г, предполагаются свободнымн, В данном случае на грани бруска, нормальные к осн у, со стороны неподвижных стенок будет действовать сила Р„, которая вносит дополнительный вклад в смещение 61.. Последний может быть найден с помощью формулы, аналогичной (1.3). В результате для продольного смещения получаем 6/» 1 Р»» Е 3 Е Яа где З„и 5„— площади граней бруска, нормальных соответствующнм осям х и у; Р„ — неизвестная пока сила реакции стенки.
Последнюю легко найти, если написать аналогичное выражение для деформации в направлении осн у: ~/» 1 Р໠— = — — — — — =О, /а Е Я„Е Я. которая по условию задачи равна нулю. Следовательно, Р„/5„= =тР,/5„. Подставляя это напряжение в выражение для 61.//„, находим 61„ —" =' — (1 — тэ) — '. 1„'В Последняя формула может быть записана также в виде: Р./5„= Е,~61,//„, Е~ = Е/(1 — т'), (1.6) что вполне аналогично закону Тука (1.1) для свободного стержня, но только вместо Е фигурирует эффективный модуль Юнга Е ф.
В дальнейшем будет видно, что через Е выражается скорость продольных волн в тонких стержнях, а через Е э — скорость продольных волн в тонких пластинах. 2.3. Деформация чистого сдвига. Рассмотрим новый важный вид однородной деформации. Предположим, что на рис. 1.6, а изображено сечение квадратного бруска, к боковым граням которого, как это показано на рисунке, приложены касательные силы 6.
Предположим, что силы распределены по граням равномерно по всей их площади. Для этого можно применять, например, жесткие накладки типа изображенной на рис. 1.6, б для грани ВС. Очевидно, мы будем иметь двумерную задачу. Рассмотрим единицу длины бруска, ограниченную с одной стороны сечением АВС0. Результирующие силы и моменты сил, действующие на брусок, равны нулю, следовательно, последний находится в равновесии. Деформации и касательные напряжения, возникающие при такого рода силах, называются сдвиговыми. Покажем, что сдвиг осуществляется при известных нам растяжениях и сжатиях прямоугольных брусков.
В самом деле, рассмотрим брусок квадратного сечения РОЮТ, содержащий как составную часть брусок АВС0 и находящийся под действием сил растяжения и сжатия, приложенных к его граням, как это показано на рис. 1.7, а. Если теперь обратиться к условиям равновесия, например, отдельно части АЯВ, то нетрудно видеть, что на грань АВ со стороны квадрата АВС0 должна действовать касательная сила — 0 (рис.
1.7, б). Следовательно, на грань АВ квадрата АВС0 по третьему закону Ньютона действуег касательная сила 6. Аналогично и для остальных граней бруска АВС0. Пользуясь соотношениями (1.!) и (!.3), не составляет труда рассчитать растяжение и сжатие граней бруска РЯКТ, т. е. деформации диагоналей АС и В0 бруска АВС0. Если 0 — невозмущенная длина диагонали, то для ее растяжения (илн сжатия) 60 имеем 60/0=0/Е5+т0/Е5=(1+э) О/Е5, (1.7) где учтено, что площадь грани РГ/ равна 125 (5 — площадь грани АВ). 10 Деформацию сдвига обычно характеризуют изменением углов между гранями бруска, которое непосредственно связано с деформацией диагоналей. Проще рассмотреть этот вопрос на несколько другой модели. На практике простейшую деформацию чистого сдвига обычно осуществляют так, как это изображено на рнс.
1.8. Грань ВС предполагается жестко закрйпленной; Сила О, осуществляющая сдвиг, касательна к грани АВ н равномерно распределена на ней. В результате деформации точки А н В переходят соответственно в А' н В' Диагональ АС сокраща- 11 ется, диагональ 'ВР растягивается. Нетрудно видеть, что деформации на рис, 1.8 те же, что получаются при приложении сил, как на рис. 1.6. Следовательно, система сил здесь та же самая. Силы на гранях АР, РС и СВ, показанные на рис. 1.8 стрелкаМи, возникают вследствие реакции опоры. Свяжем угол 8 с силой О. Очевидно, что 6тАА'/АР= =ЧАЕ/АР, но АЕтбР, АР=В/12, следовательно, 6ж260/Рж2(1+т) О/ЕБ.
(1.8) Если ввести новые обозначения; у= О/5 — напряжение сдвига, П=ЕЯ2(1+т) ) (1.9) — модуль сдвига, то легко получаем соотношение у=во. (!.10) Очевидно, должно быть р)0, иначе сдвиг происходил бы в направлении, обратном приложенным силам. Следовательно, согласно (1;9) т) — 1. Учитывая также ограничение на т (см. п. 2.1), получаем окончательно интервал, в котором должны быть заключены значения тс — 1<т<'/з.
Случай т<0 (растяжение бруска в поперечном направлении при растяжении его в продольном) для реальных материалов, как правило, не встречается, так что фактически имеют место неравенства 0<т < '/а. (!.11) $ 3. Неоднородные деформации 3.1. Кручение стержня. Рассмотрим теперь важный случай неоднородной деформации. Предположим, что левый торец стержня кругового сечения н конечной длины Е закреплен (например, приклеен к стенке), а к правому приложен крутящий момент М (рис. 1.9). В результате произойдет закручивание стержня. Точки на его поверхности, первоначально лежащие на линии АВ, окажутся теперь па АВ', а радиус ОВ на правом торце перейдет и радиус ОВ', повернувшись ~на угол у.
Если радиус стержня а, то длина дуги ВВ' ранна аф, а угол между линиями АВ и АВ' будет О =а~р/Е. Деформации предполагаются настолько малыми, что все конечные приращения можно заменить дифференциалами. Определим величину крутящего момента, необходимого для закручивания стержня на угол у, Для этого выделим из стержня малые элементы, внутри которых деформацию можно считать однородной, и воспользуемся выведенными выше формулами, Вначале выделим мысленно из стержня цилиндрический слой (трубку) длиной ЬЕ, заключенный между цилиндрическими поверхностями радиусов г и г+Л» (естественно, г<а). Этот цилиндрический слой в увеличенном масштабе изображен на рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
