Главная » Просмотр файлов » Л.М. Бреховских, В.В. Гончаров - Введение в механику сплошных сред

Л.М. Бреховских, В.В. Гончаров - Введение в механику сплошных сред (1119112), страница 10

Файл №1119112 Л.М. Бреховских, В.В. Гончаров - Введение в механику сплошных сред (Л.М. Бреховских, В.В. Гончаров - Введение в механику сплошных сред) 10 страницаЛ.М. Бреховских, В.В. Гончаров - Введение в механику сплошных сред (1119112) страница 102019-05-09СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

(3.16') Последняя запись более удобна для изотермических процессов. Таким образом, если известны а или / как функции э, е,„или Т, е„, то компоненты тензора напряжений о„могут быть найдены из соотношений оп= (де/де„),= (д//дея),. (3.17) Если в процессе деформирования тела мы все время остаемся в рамках адиабатического или изотермического процесса, то дифференциал ййт=опйея имеет смысл дифференциала запасаемой в теле энергии. Функцию Ит(ея) называют, может быть несколько условно, потенциальной или упругой энергией.

Соотношение (3.17) в этих обозначениях записывается в виде о„= д%'/дея. (3. 17') В соответствии с обобщенным законом Гука (3.14) о<„— линейная функция еп. Следовательно, Ят(е„) должна быть однородной квадратичной функцией компонент тензора деформаций: йт= '/э С,„„е;,ея. (3.18) Нетрудно видеть, что из (3.17') и (3.!8) с учетом соотношений симметрии (3.15) следует (3.14). Компоненты тензора модулей упругости Сцэ будут разными в зависимости от конкретного термодинамического процесса, поскольку 1г'= е для адиабатического процесса и Я7=/ для изотермического. В соответствии с этим вводят адиабатические и изотермические упругие постоянные.

12.2. Число незавнснмых компонент тензора модулей упругости. Воспользуемся выражением (3.18) для подсчета незавнснмых компонент тензора С<и,. Прежде всего заметим, что этот тензор всегда можно определить так, чтобы он был снмметрнчен по перестановкам пар индексов Й н 11: Саь =С; действительно, учитывая, что немые индексы можно переставлять как угодно, имеем ! 1 ! ]та = -С<зг<е<ае!< = — (С;з!<е<зе!< + С!ьзе!<Е<з)/2 = — С<зле;аеГь где тензор С'<а<<=(С<а«+С<на)/2 уже удовлетворяет требуемым свойствам симметрии. Подсчитаем число связей, даваемых соотношением (3.19). Число независимых пар Й, как н пар 11, равно шести, а не девятн в силу снмметрнн зто отношению к индексам внутри каждой пары. Очевидно, что число уравнений (3.19) равно числу сочетаннй нз шести пар по две, т. е.

(6Х5)/2=15. В результате заключаем, что максимальное количество упругих постоянных кристалла самой сложной симметрии не может превышать 36 — !5=21. Чем выше симметрия кристалла, тем меньшим колнчеством различных упругих постоянных он описывается. Рассмотрим, например, кристалл с кубической решеткой. В нем направлення х„х, н х, равноправны.

Поэтому Са«а = Сама = Сазаз. (3.20) Далее, нмеется зеркальная симметрия, т. е. если заменить х, на — х< (и;~ — и<), то ничего не должно измениться. Но прн этом согласно (3.6), например, е„-а.— еаь В этом случае величина %' не изменится, если члены типа С„„е„е„ будут отсутствовать. Обобщая это утверждение, можно сказать, что Сзз< — — О, если какой-лнбо индекс в четверке встречается нечетное число раз (однн нлн трн раза).

В результате наряду с (3.20) остаются отличными от нуля компоненты С„„=С„„=С„„=С„„= Сааза Сззаз, Сом= С„„= С„„= С„„=... = С„„. С учетом этнх соотношений плотность энергии (3.18) для кубического крнсталла запишем в виде ! ПУ = (Смм(ем+ е*„)- ем)+ 2С„М(е„е„+ еааезз+ еззезз)+ +4С„„( м+ и+е'„)) (3.21) в 13. Упругое поведение изотропных тел !3 1. Обобщенный закон Гука для нзотропного тела. Выражение для энеРгии в нзотропном упругом теле не должно меняться прн любом вращении системы координат. Это означает, что в него должны входить лишь инварианты тензора еи (см.

прнложенне). !'ак как, с другой стороны, Ва является однородной квад- ратичной функцией е, то ее экя определяется однозначно: !У = — (е„+ гы + гвв)'+ Р(ем+ евв+ евв+ 2гвв+ 2еввв+ 2евв)в 2 где Х и )в — два скаляра„так называемые упругие постоянны Ламе. Теперь по формуле (3.17') находим аа — — дйт/де„=Хеиб<в+ 2)веа, (3.22) что и является обобщенным законом Гука для изотропной среды. Сравнивая (3.22) с обшей формулой (3.!4), получаем: Со„=Х+2)в, Свввв=2)в, Савв=А. (3.23) Остальные, отличные от нуля компоненты тензора модулей упру гости получаются циклической перестановкой индексов с учетом свойств симметрии. Отметим, что имеется равенство С„„= =С„„+С„„. 13.2.

Связь постоянных Ламе с Е и ч. Очевидно, что постоянные А и )в должны выражаться через введенные в $1 модуль) Юнга Е и коэффициент Пуассона ч. Для того чтобы найти со-! ответствующие выражения, рассмотрим два простейших вида' деформации. 1. Растяжение стержня при запрещенных боковых смещениях„Эффективный модуль Юнга Е,в=(1 — ч)Е/[(1+ч) (! — 2ч))' для этого случая получен в задаче 1.3. Выразим его через постоянные Ламе. Здесь деформация будет однородной, причем ив=и,=О. Согласно определению теноров напряжения и деформации имеем а„=р,/Якч Л1/1= [и,(х,+Лх,) — и(х,) )/Лх,= =ди,/дх,=е„. При вычислении Л!/1 учтено, что вследствие однородности деформации относительное удлинение всего стержня такое же, как н бесконечно малого его отрезка. В результате с учетом (3.22) и выражения для Е,в получаем Г а! (! — ч) е — ' = ам — — (Х+ 2р)е„= Е е — = е„.

~в, (1+ ч) (! — 2ч) Отсюда следует соотношение 1+2)в= (1 — ч) Е/[(1+ч) (1 — 2ч) ). (3.24) 2. Всестороннее сжатие. Объемный модуль сжатия К дается выражением (1.5). В этом случае о„=о„=о,.= — р, ЛУ/У= =е„+е,в+е„=Зе„. Из (3.22) имеем а„=(2)в+ЗА)е ь следовательно, р= — [(2)в+ЗА)/3) (ЛУ/У). Сравнивая последнее выражение с (1.5), находим 2)в+ 3)ч= Е/ (1 — 2ч) . (3.25) В результате из (3.24), (3.25) получаем искомые выражения: )в =, 11 =, Е = 1' (2)в+ ЗЛ), (1+ч) (! — 2ч) 2(1+ч) Х +)в ч=— (3.26) 2(Х+)в) 48 (3.27) нлн в векторной форме, поскольку О=с((ун, а дО/дхс — с-я компонента градиента: р —" =р()н+(Л+ р)штабс)(чн+1,. дп (3.28) Уравнения равновесия получаются автоматически, если положить в (3.27) нлн в (3.28) левую часть равной нулю: )ссЛн+ (Л+ )с) йтас( с) (у и+ 1„= О.

(3.29) Прн решении конкретных задач часто бывает полезным нспользовать иную форму уравнений, которая получается нз (3.27) — (3.29) с учетом известного векторного тождества Ьн= =пгас) с((ум — го1 го1 и. Тогда, например, (3.29) запишем в виде (Л+ 2)») Отас( с((ч н — )с го1 го1 в+ 1„= О. (3.30) Задачи З1. Кзкому виду деформации соответствуют следующие тензорм напряженим: 1. ос»=о при С=а, ос» О при 1*д Решение. Напряжения по всем осям одннлконы, следовательно, иссссороинсс сжатие 2. ось=о при й »=1, 2, 3. Р с ш с н и с. Найдем нид тензорл в главных осях.

Характеристическое урззненне (см. приложение) (о — Л)з+2о' — За'(о — Л) =О имеет корни Лс=за, с=)и=о. Следовательно, н глазных осях отлична от нуля только компоиснтзо '=, з осс'= во, что соотистстнуос растяжению (сжатню) вдоль оси хс'. 49 Отсюда видно, что постоянная Ламе )» совпадает с модулем сдвига, определяемым выражением (1.9). 13.3. Уравнення движения для нзотропной среды. После того „ак найдена связь между тензорамн напряжений н деформаций в виде формулы (3.22), не составляет труда конкретизировать уравнения движения (3.11).

Из (3,22) находим де,„деСС д / ди, ди» '1 де — 2р — + Л м — = р — — + — -)- Л вЂ”, дх» дх» дх» дх» ~ дх» дх, ) дх,. но стен/дхс=де»»/дхс=д(дис/дх»)/дхо где ди»/дхл=а =Π— отно- снтельное изменение объема. Теперь дос дсис . дв — =)ь — + (Л+ р) —. дх» дх' дхс ' УчитываЯ также, что дзис/дх»'=С1и,, где Л вЂ” опеРатоР Лапласа, уравнение (3.11) запишем в виде дзи дв р — =)» сзи + Р + )ь) — +(/ ) д(з дх, 3. оп=пи =о, остальные а»»=0.

Предполагая все Л» различными, получаем решения системы: а) л, +1, лз лз О, Р Лз, »(Ф 2(Л» — Лз)»(л,'+ + 2 (Лз — Лз)»(л~~, з) з, », О, л, .й 1, Р„Лз, »(Э„'= 2 (Л, — Лз)»(л»+ + 2 (Лз — Лз) Илззю в) лз лз О, лз +1» Рл=Лз, »(Ф„2(Л» — Лз)»зл + +2( — Лз)»/лз. Если для определенности Л»>Лз>Ле и (Л»(>[Л»(, то пзах[Р [= [Л»[. Аналогичная система уравнений для тангеициальных напряжений имеет :еид: лз [Лз — 2Л» (Лзла + Лзл~ + Лзлз) + у] = О, лз [Л' — 2Лз (Лзлз + Лзл~ ~+ Лзлз) + У] = О, лз [Лз — 2Лз (Л зле + Лзлз + Лзлз) + у[ = О, лз = 1, с .решением которой, соответствующим минимуму тангенциального напряжения (РР=О), будет направление главных осей. Максимум РР достигается в точ- ках: лз=л = -ь Л(2, Р,=(Л» — Лз)/2, лз =лз = '+ 3%2, Рз — — (Лз — Лз)/2» лз = лз = + $"2/2, Р = (Лз — Лз)/2. лз= О, лз = О, лд — — О, Следовательно, максимальное тангенциальное напряжение достигается нв пло.

~шавке, делящей пополам утол между направлениями максимального н мини- »мального главных напряжений. 50 Решение. Поскольку отличны от нуля н равны друг другу лишь два недиагональных элемента тензора напряжений, то он соответствует чистому сдв»»гу. В главных осях о»»'= — ом'=о и оз,'=О (см. также п. 2.3). 3.2. Определить максимальные нормальное и тангенциальное напряжения в ъекоторой точке, напряженное состояние которой описывается теизором о»з.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
6,15 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6392
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее