Л.М. Бреховских, В.В. Гончаров - Введение в механику сплошных сред (1119112), страница 10
Текст из файла (страница 10)
(3.16') Последняя запись более удобна для изотермических процессов. Таким образом, если известны а или / как функции э, е,„или Т, е„, то компоненты тензора напряжений о„могут быть найдены из соотношений оп= (де/де„),= (д//дея),. (3.17) Если в процессе деформирования тела мы все время остаемся в рамках адиабатического или изотермического процесса, то дифференциал ййт=опйея имеет смысл дифференциала запасаемой в теле энергии. Функцию Ит(ея) называют, может быть несколько условно, потенциальной или упругой энергией.
Соотношение (3.17) в этих обозначениях записывается в виде о„= д%'/дея. (3. 17') В соответствии с обобщенным законом Гука (3.14) о<„— линейная функция еп. Следовательно, Ят(е„) должна быть однородной квадратичной функцией компонент тензора деформаций: йт= '/э С,„„е;,ея. (3.18) Нетрудно видеть, что из (3.17') и (3.!8) с учетом соотношений симметрии (3.15) следует (3.14). Компоненты тензора модулей упругости Сцэ будут разными в зависимости от конкретного термодинамического процесса, поскольку 1г'= е для адиабатического процесса и Я7=/ для изотермического. В соответствии с этим вводят адиабатические и изотермические упругие постоянные.
12.2. Число незавнснмых компонент тензора модулей упругости. Воспользуемся выражением (3.18) для подсчета незавнснмых компонент тензора С<и,. Прежде всего заметим, что этот тензор всегда можно определить так, чтобы он был снмметрнчен по перестановкам пар индексов Й н 11: Саь =С; действительно, учитывая, что немые индексы можно переставлять как угодно, имеем ! 1 ! ]та = -С<зг<е<ае!< = — (С;з!<е<зе!< + С!ьзе!<Е<з)/2 = — С<зле;аеГь где тензор С'<а<<=(С<а«+С<на)/2 уже удовлетворяет требуемым свойствам симметрии. Подсчитаем число связей, даваемых соотношением (3.19). Число независимых пар Й, как н пар 11, равно шести, а не девятн в силу снмметрнн зто отношению к индексам внутри каждой пары. Очевидно, что число уравнений (3.19) равно числу сочетаннй нз шести пар по две, т. е.
(6Х5)/2=15. В результате заключаем, что максимальное количество упругих постоянных кристалла самой сложной симметрии не может превышать 36 — !5=21. Чем выше симметрия кристалла, тем меньшим колнчеством различных упругих постоянных он описывается. Рассмотрим, например, кристалл с кубической решеткой. В нем направлення х„х, н х, равноправны.
Поэтому Са«а = Сама = Сазаз. (3.20) Далее, нмеется зеркальная симметрия, т. е. если заменить х, на — х< (и;~ — и<), то ничего не должно измениться. Но прн этом согласно (3.6), например, е„-а.— еаь В этом случае величина %' не изменится, если члены типа С„„е„е„ будут отсутствовать. Обобщая это утверждение, можно сказать, что Сзз< — — О, если какой-лнбо индекс в четверке встречается нечетное число раз (однн нлн трн раза).
В результате наряду с (3.20) остаются отличными от нуля компоненты С„„=С„„=С„„=С„„= Сааза Сззаз, Сом= С„„= С„„= С„„=... = С„„. С учетом этнх соотношений плотность энергии (3.18) для кубического крнсталла запишем в виде ! ПУ = (Смм(ем+ е*„)- ем)+ 2С„М(е„е„+ еааезз+ еззезз)+ +4С„„( м+ и+е'„)) (3.21) в 13. Упругое поведение изотропных тел !3 1. Обобщенный закон Гука для нзотропного тела. Выражение для энеРгии в нзотропном упругом теле не должно меняться прн любом вращении системы координат. Это означает, что в него должны входить лишь инварианты тензора еи (см.
прнложенне). !'ак как, с другой стороны, Ва является однородной квад- ратичной функцией е, то ее экя определяется однозначно: !У = — (е„+ гы + гвв)'+ Р(ем+ евв+ евв+ 2гвв+ 2еввв+ 2евв)в 2 где Х и )в — два скаляра„так называемые упругие постоянны Ламе. Теперь по формуле (3.17') находим аа — — дйт/де„=Хеиб<в+ 2)веа, (3.22) что и является обобщенным законом Гука для изотропной среды. Сравнивая (3.22) с обшей формулой (3.!4), получаем: Со„=Х+2)в, Свввв=2)в, Савв=А. (3.23) Остальные, отличные от нуля компоненты тензора модулей упру гости получаются циклической перестановкой индексов с учетом свойств симметрии. Отметим, что имеется равенство С„„= =С„„+С„„. 13.2.
Связь постоянных Ламе с Е и ч. Очевидно, что постоянные А и )в должны выражаться через введенные в $1 модуль) Юнга Е и коэффициент Пуассона ч. Для того чтобы найти со-! ответствующие выражения, рассмотрим два простейших вида' деформации. 1. Растяжение стержня при запрещенных боковых смещениях„Эффективный модуль Юнга Е,в=(1 — ч)Е/[(1+ч) (! — 2ч))' для этого случая получен в задаче 1.3. Выразим его через постоянные Ламе. Здесь деформация будет однородной, причем ив=и,=О. Согласно определению теноров напряжения и деформации имеем а„=р,/Якч Л1/1= [и,(х,+Лх,) — и(х,) )/Лх,= =ди,/дх,=е„. При вычислении Л!/1 учтено, что вследствие однородности деформации относительное удлинение всего стержня такое же, как н бесконечно малого его отрезка. В результате с учетом (3.22) и выражения для Е,в получаем Г а! (! — ч) е — ' = ам — — (Х+ 2р)е„= Е е — = е„.
~в, (1+ ч) (! — 2ч) Отсюда следует соотношение 1+2)в= (1 — ч) Е/[(1+ч) (1 — 2ч) ). (3.24) 2. Всестороннее сжатие. Объемный модуль сжатия К дается выражением (1.5). В этом случае о„=о„=о,.= — р, ЛУ/У= =е„+е,в+е„=Зе„. Из (3.22) имеем а„=(2)в+ЗА)е ь следовательно, р= — [(2)в+ЗА)/3) (ЛУ/У). Сравнивая последнее выражение с (1.5), находим 2)в+ 3)ч= Е/ (1 — 2ч) . (3.25) В результате из (3.24), (3.25) получаем искомые выражения: )в =, 11 =, Е = 1' (2)в+ ЗЛ), (1+ч) (! — 2ч) 2(1+ч) Х +)в ч=— (3.26) 2(Х+)в) 48 (3.27) нлн в векторной форме, поскольку О=с((ун, а дО/дхс — с-я компонента градиента: р —" =р()н+(Л+ р)штабс)(чн+1,. дп (3.28) Уравнения равновесия получаются автоматически, если положить в (3.27) нлн в (3.28) левую часть равной нулю: )ссЛн+ (Л+ )с) йтас( с) (у и+ 1„= О.
(3.29) Прн решении конкретных задач часто бывает полезным нспользовать иную форму уравнений, которая получается нз (3.27) — (3.29) с учетом известного векторного тождества Ьн= =пгас) с((ум — го1 го1 и. Тогда, например, (3.29) запишем в виде (Л+ 2)») Отас( с((ч н — )с го1 го1 в+ 1„= О. (3.30) Задачи З1. Кзкому виду деформации соответствуют следующие тензорм напряженим: 1. ос»=о при С=а, ос» О при 1*д Решение. Напряжения по всем осям одннлконы, следовательно, иссссороинсс сжатие 2. ось=о при й »=1, 2, 3. Р с ш с н и с. Найдем нид тензорл в главных осях.
Характеристическое урззненне (см. приложение) (о — Л)з+2о' — За'(о — Л) =О имеет корни Лс=за, с=)и=о. Следовательно, н глазных осях отлична от нуля только компоиснтзо '=, з осс'= во, что соотистстнуос растяжению (сжатню) вдоль оси хс'. 49 Отсюда видно, что постоянная Ламе )» совпадает с модулем сдвига, определяемым выражением (1.9). 13.3. Уравнення движения для нзотропной среды. После того „ак найдена связь между тензорамн напряжений н деформаций в виде формулы (3.22), не составляет труда конкретизировать уравнения движения (3.11).
Из (3,22) находим де,„деСС д / ди, ди» '1 де — 2р — + Л м — = р — — + — -)- Л вЂ”, дх» дх» дх» дх» ~ дх» дх, ) дх,. но стен/дхс=де»»/дхс=д(дис/дх»)/дхо где ди»/дхл=а =Π— отно- снтельное изменение объема. Теперь дос дсис . дв — =)ь — + (Л+ р) —. дх» дх' дхс ' УчитываЯ также, что дзис/дх»'=С1и,, где Л вЂ” опеРатоР Лапласа, уравнение (3.11) запишем в виде дзи дв р — =)» сзи + Р + )ь) — +(/ ) д(з дх, 3. оп=пи =о, остальные а»»=0.
Предполагая все Л» различными, получаем решения системы: а) л, +1, лз лз О, Р Лз, »(Ф 2(Л» — Лз)»(л,'+ + 2 (Лз — Лз)»(л~~, з) з, », О, л, .й 1, Р„Лз, »(Э„'= 2 (Л, — Лз)»(л»+ + 2 (Лз — Лз) Илззю в) лз лз О, лз +1» Рл=Лз, »(Ф„2(Л» — Лз)»зл + +2( — Лз)»/лз. Если для определенности Л»>Лз>Ле и (Л»(>[Л»(, то пзах[Р [= [Л»[. Аналогичная система уравнений для тангеициальных напряжений имеет :еид: лз [Лз — 2Л» (Лзла + Лзл~ + Лзлз) + у] = О, лз [Л' — 2Лз (Лзлз + Лзл~ ~+ Лзлз) + У] = О, лз [Лз — 2Лз (Л зле + Лзлз + Лзлз) + у[ = О, лз = 1, с .решением которой, соответствующим минимуму тангенциального напряжения (РР=О), будет направление главных осей. Максимум РР достигается в точ- ках: лз=л = -ь Л(2, Р,=(Л» — Лз)/2, лз =лз = '+ 3%2, Рз — — (Лз — Лз)/2» лз = лз = + $"2/2, Р = (Лз — Лз)/2. лз= О, лз = О, лд — — О, Следовательно, максимальное тангенциальное напряжение достигается нв пло.
~шавке, делящей пополам утол между направлениями максимального н мини- »мального главных напряжений. 50 Решение. Поскольку отличны от нуля н равны друг другу лишь два недиагональных элемента тензора напряжений, то он соответствует чистому сдв»»гу. В главных осях о»»'= — ом'=о и оз,'=О (см. также п. 2.3). 3.2. Определить максимальные нормальное и тангенциальное напряжения в ъекоторой точке, напряженное состояние которой описывается теизором о»з.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
