Л.М. Бреховских, В.В. Гончаров - Введение в механику сплошных сред (1119112), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Интересная особенность при отражении наблюдается в случае, если е соз01йв27 = — сову, ег (4.27) ' Введение неоднородных продольных волн (ем. ниже п. 15.3) также не помо. гает, ибо при атом одна нз волн (падающая илн отраженная) будет зхепоиенциально возрастать прн удалении от границы. при этом Уп=У„=О, Ун= — с(027= — (с,соз0/с,соз7)1027. Падающая продольная волна при отражении полностью трансформируется в поперечную и наоборот.
Выразив с помощью (4.24) 7 через 6, можно получить выражение для угла падения О, при котором происходит такой переход. Оказывается, что для всех возможных комбинаций упругих постоянных угол 6 лежит в пределах 37'<0<90'. При этом соответствующий угол 7 находится в интервале 25' с.у«с.45'. Посмотрим, когда, кроме рассмотренного выше случая нормального падения, отражается только волна того же типа, что н падающая, т.
е. не происходит трансформации волны при отражении. Для этого потребуем равенства нулю коэффициента трансформации Ум=О или согласно (4.22) р=$-'(5' — и*/2) =О. Поскольку $=м з(п 7, получаем з1пь( '/з, 7=45'. Следовательно, преобразования не происходит, если угол падения сдвиговой волны равен 45' Это же в принципе могло бы быть, если при падении продольной волны отраженная сдвпговая волна распространялась под углом 45' Однако последнее невозможно при падении обычной ' продольной волны, так как согласно (4.24) и условию с,/с,> у2 имеем зйп 0= (с,/с,) ейп 7>1.
Отметим также, что выражение (4.25) для коэффициентов отражения и трансформации в случае вещественных 0 и 7 справедливо не только для гармонической, ио и для произвольной плоской волны. Действительно, представим последнюю в виде суперпозиции плоских гармонических волн, т.
е. разложим ее в интеграл Фурье. Каждая из гармонических составляющих при отражении умножается на не зависящий от частоты вещественный коэффициент. В результате после отражения получается тот же интеграл Фурье, умноженный на этот же коэффициент.
При падении на границу продольной волны всегда 0 и 7, а следовательно, и Ув, Ум вещественны, 1б.з. Неоднородные волны. Несколько иная ситуация может быть при отражении поперечных волн. Если угол падения Т достато аточно велик, так что зйп Т>с,/сь согласно (4.24) и (4.20) имеем: з(пЕ: 1, ~- й, й,= !й,1, ~вг- вв — в =»Мы''~ — Тмг. (4.28) В выражении для !й,! берется арифметическое значение корня. Потенциал продольной волны (4.20) с учетом множителя ехр(1(йх,— вГ) ) и а+ — — 0 запишем так: <Р= Уай+ехР! !йв!х,+/($х,— в/) ), (4.29) Таким образом, в этом случае возбуждается продольная волна, распространяющаяся вдоль границы со скоростью о=в/$„ с амплитудой, экспоненциально убывающей при удалении от границы (неоднородная волна).
Коэффициент отражения поперечной волны согласно (4.26) и (4.22) равен в ! ев ! ввв — Рв ° ! Ф~ 1 ив = ехр ! — (а), а = 2агс1я Г(эв!ив+ Р Рв Следовательно, отраженная волна отстает по фазе от падающей на величину а. Однако по энергии отражение является полным, поскольку !У„! =1. Это и естественно, так как возбуждающаяся вблизи границы продольная неоднородная волна (4.29) не несет энергию в направлении оси х,. Однако форма произвольной негармонической плоской волны будет при отражении изменяться из-за потери фазы а в каждой гармонической составляющей. Имеется весьма тесная аналогия рассмотренного эффекта с явлением полного внутреннего отражения в акустике или в оптике, когда волна падает из среды с меньшей скоростью распространения волн на границу со средой, где скорость волн боль ше.
Здесь вместо другой среды мы имеем другой тнп волн (отражение продольной волны при падении на границу поперечной). Для полного отражения существенно, что св>с,. Отсюда ясно, почему аналогичного эффекта не возникает при падении продольной волны. В этом случае возбуждаемая поперечная волна всегда уходит от границы и уносит с собой определенную долю энергии. Действительно, при падении продольной волны ш у в в=в.ьв. пр ю ущ 1 ' — въ в-вп,~,г — п 'в д ми а Легко видеть (см., например, (4.28)), что полное внутреннее сражение поперечной волны наступает при углах падения Т> >Ъв, где з!и Т„в=с,/с~<1/у2, т. е. Т„в<45'. При этом коэффициент трансформации 1 н= — 2квр/(увив+ р'), вообще говоря, отличен от нуля. Однако при угле падения 7=*1 =45', как показано выше, У„обращается в нуль, и неоднород.
ная волна отсутствует. В 16. Поверхностные волны 16.!. Волна Релея. При определенных условиях (см. (4.27) ) лишь две волны удовлетворяют двум граничным условиям на свободной границе. Найдем аналогичные ситуации, учитывая также и неоднородные волны. Если потребовать равенства нулю коэффициента отражения для волн того же типа, что и падающая, из (4.22) имеем й,х,— р'= О.
(4.31) Отсюда, воспользовавшись выражениями для р, й„х, из (4.19), (4.20), получаем уравнение 4ЯМ вЂ” ~ ' ~х* — $*= (2$' — х') *, (4.32) корни которого С„определяют искомые волны. Несложные преобразования приводят к уравнению третьей степени относительно величины в=х'Я'. !(е) =з' — 8з'+16(1/,— д')з — 16(1 — д') =0„ (4.33) где 4=с,/с,(1 — отношение скоростей поперечных и продольных волн. Если уравнение (4.32) имеет корень $*(х' (е>1), то для этого корня должно быть и й*(я*, чтобы левая часть (4.32) была вещественной, как и правая.
Это будет случай обычных, распространяющихся под соответствующими углами наклона к границе волн. Можно показать (см. также задачу 4.6), что при коэффициенте Пуассона ч(0,26 имеется пара таких корней, соответствующих случаю, рассмотренному в п. 15.2 (см. формуяу (4.27)). С другой стороны, уравнение (4.33) всегда имеет корень з= =е,( 1. Действительно, для функции [(е) имеем !(0) = = — 16(! — д') (О, [(1) =1>0, т.
е. на отрезке 0<е(1 функция г(з) проходит через нуль. При этом соответствующее значение $,>х>я, поэтому х, и й, чисто мнимые величины, следовательно, как поперечная, так и продольная волны являются неоднородными. В результате решение волновых уравнений (4.4), удовлетворяющее граничным условиям (4.18), запишем в виде совокупности двух волн, скалярный и векторный потенциалы которых даются соответственно выражениями; а ехр (~ й, ~ х,) ехр [1(йх,— в!) ), (4.34) ф=аУнехр()х,!х,)ехр[!(йх,— в!) ).
Совокупность последних называется поверхностной волной Релея, возмущение в которой сосредоточено в узком приповерхностном слое толщиной -1/~ й,~. Компоненты смешения и, и и, 64 волне Релея найдутся элвментарно из формулы и=Чср+го1ер, где е ар=(0, ер, 0). Скорость распространения волны Релея вдоль гра аницы, опреДеляемая выражением о=в/$а= (в/х) (х/я,) = уе,с„всегда меньше скорости поперечных и, следовательно, „родольных волн (е,(1). Мы видим также, что и не зависит частоты волны, так как коэффициенты уравнения (4.33), определяющего е., не зависят от частоты, Следовательно, волна редея распространяется без дисперсии (пронзвольный импульс охраняет свою форму). Как мы знаем, для всех упругих тел справедливо неравенство 0(с)<1Щ2.
При учете этого анализ уравнения (4.33) показывает, что 0,8741(о/с,(0,9554. Таким образом, скорость волны Релея мало отличается от скорости сдвиговых волн, но всегда меньше ее. Волна Релея играет важную роль в сейсмологии, поскольку она хорошо прослеживается на больших расстояниях от эпицентра землетрясения. Широкое применение нашли волны Релея и в ультразвуковой технике для поверхностной дефектоскопии материалов.
16.2. Поверхностные волны дава. В однородном полупространстве со свободной границей не может существовать поверхностная волна, у которой вектор смещения был бы параллелен границе и перпендикулярен направлению распространения— волна горизонтальной поляризации, Однако такие волны могут распространяться в слоистой среде, например в слое, лежащем на упругом полупространстве, изображенном на рис. 4.3. Теорию этих волн дал Ляв в 1911 г., именем которого они и названы. Пусть толщина слоя будет Н, его упругие постоянные Х и р, плотность р. В подстилающем полупространстве соответствующие величины будут ),„м, и рь Пусть волна распространяется в направлении оси х,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
