Л.М. Бреховских, В.В. Гончаров - Введение в механику сплошных сред (1119112), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Смещения в направлении оси х, обозначим через и без индекса, так как остальные компоненты равны нулю. Волну будем считать гармонической с частотой в. Смещение и в каждой из сред должно удовлетворять своему волновому уравнению, которое получается из уравнения (4.4) для ер применением операции го1: Ли+мхи=О, и'=рв'/р, — Н..=х,(0, (4.35) йи+ х,'и = О, н,*=р,в*/рь х,) О. В качестве граничных условий нужно потребовать: а) на свободной границе х, — Н условия типа (4.12), из которых для горизонтально поляризованной волны остается только второе; б) предполагая контакт сред при х,=О жестким («склейках), потребуем непрерывности смещения и и составляющей те"зори напряжений а„=2ие„=иди/дх,. В результате получим и врехоескнх. в. в.
гончаран 66 3 л. следующие граничные условия для смещения и: (4.36] Выражения для и как в слое, так и в упругом полупространстве будут содержать один и тот же фактор ехр[1($х, — ыг)), который, как правило, для сокращения записи мы опускаем. При этом систему уравнений (4.35) с учетом д/дг= — /а, д/дх,=(й пеоепишем в виде: — +у*и =О, уз =ха — Р, — Н(ха<0, Вки дк' (4.37) — — [Ри =О, р' =$' — хо ха)0. д'и дк в Очевидно, что мы получим поверхностную волну лишь в том случае, если смещение и с ростом х, будет экспоненциально убывать в однородном полупространстве, Для этого необходимо, чтобы [)'>О, или, что то же, ~'>х,*, при этом и=В ехр( — рх,), х,>0. (4.38) Для однородного слоя общее решение уравнения (4.37), удовлетворяющее условию при х,= — Н (4.36), имеет вид и=А сов[у(х,+Н)), — Н(хз~ О.
(4.39) (4.41) 66 Подставляя (4.38) и (4.39) в граничные условия (4.36) при х,=О, получаем: А соз ОН=В, — рАуз(п 7Н= — 1к,рВ. (4.40) Выразив отношение А/В из первого соотношения и подставив его во второе, находим 1яуН = и' —. М1 Р у Введя новую переменную и =уН, причем ~'=х* — (и/Н)', РН=~(хН)' — (х,Н)' — т)', уравнение (4.41) запишем в виде 1и и= (и,/и) [(хН)* — (х,Н) 1 — и') и/т1. (4.42) Корни п„этого уравнения и соответствующие им значения С„ будут определять параметры поверхностных воля Лава. 16.3. Свойства волн Лява.
Проанализируем возможность существования корней т1„графически. В случае, когда т1 действительно, т, е. х*>$*, очевидно существование во крайней мере одного корня Ч, (рис. 4.4. а, где изображены две ветви функции — Н< ха(0, ха)0, (4.44) где А„— постоянная, характеризующая амплитуду а-й волны.
На рис. 4.5 схематически изображены смещения и„в трех первых волнах Лява при Нум* — и,з/зт=2,5 в зависимости от координаты х,. Смещения равны нулю на узловых плоскостях: Т.(х,+Н) =и/2, Зя/2, Задачи 4Л. На плоскости х,=о задано распределеиие смещений и,=А ехр[1($»,— ы1)], из=В ехр[1(ях,— ыз)], из=С екр[1($»,— оМ)]. Найти волновое поле в упругом полупростраистве хз)0. Р е ш е и и е. Смещение из[ соответствует поперечной волне горизоитальиой полЯРизации вида из — — ВехР[1(вяз+Ух' — Язхз — юг)], совпадающего с задакиым распределением из при »,=О. Смещения из[ з и из[» з определяют Волны вертикальной поляризации с потенциалами: Чз=лзехр[~(ахз+йзхз — юг)], зрз зр=А»сир[1(тхз+иьсз — ю1)], й =у~~=аз, и =)и' — сз У~итываи выРажеиии (4.17), потРебУем выполиеииа Условий пРи хз О: 14Аз — ЬззАз=А, 1йзА~+1$Аз=С.
, и правая часть уравнения (4.42)). Если же хз<$з, то т*<0 ип= „-зт)' — чисто мнимая величина (неоднородная волна в слое), к что (4 42) перейдет в уравнение [)з т)'= ( — )з,/[х) [ (мН) з — (м,Н) '+ т) *] "/т)', (4.42') не имеющее корней (рис. 4.4, б, верхняя кривая представляет обой []1 т)', а нижняя — правую часть уравнения (4.42')).
Таким образом, для существования поверхностных волн Лява необходимо, чтобы м,<3<и. (4.43) Прн этом конечное число Ф волн Лява определяется соотноше- нием М=[НУм' — и,з/гз]+1. Здесь [а] означает целую часть а. Величина о„=ю/$., равная фазовой скорости распространения волны Лява вдоль границы, очевидно, будет зависеть от часто- ты, т. е. волна Лява обладает дисиерсией. Из неравенства (4.43) также следует, что фазовая скорость волны Лява больше ско- рости сдвиговых волн в слое, но меньше скорости аналогичных волн в полупространстве: с„)о„)с,. Рассмотрим структуру волны Лява номера и с т„=ты/Н.
Из (4.38) и (4.39) с учетом (4.40), а также множителя .ехр[[(5„х,— со/) ] имеем: А„соз [у„(хз + Н)] ехр [[(цчхз — озг)], ие = А„соз У„Н ехр [ — р,хз + 1($„хз — от[)], Отсюда определяются амплитуды волн: . «»А+»с«С . — й 4+«ьС Ас= — с Аз= — 1 »з + хзйз ьз + хзйз 4.2. Найти коэффициент отражения У горнэонтально полярнэоаанной волны от абсолютно твердой стенки в условиях «склейкн». Р е ш е н н е.
Для горизонтального смещения и = и,(хс, х«) имеем волновое уравнение дзи/д/з=ссзби. Его решением будет сумма зсадающей н отраженной гармонических волн вида и = А»ехр [с(ахг+хзхз — ы/) ]+А» Уехр[!(Чхс — хзхз — ю/) ], где хз=уыз/ссз — $з. На абсолютно твердой стенке смешение равно нулю: и], =О, что дает 1+ У=О, откуда У=- — 1. 4.3. Рассмотреть отражеяне гармонической вертикально поляризованной поперечной волны от абсолютно твердой стенки в условиях «смазки» (проскальзывание).
Решен не. Потенциалы ф и ф (О, ф, 0) удовлетворяют волновым уравнениям: — = сз сзср, — = с» Лф дзср д ф д/з с ' д/з с Их решеннем для падающей плоской гармонической поперечной волны будут функции; ср = ВУи ехр [с (ахс — йахз — ы/)], ф = В ехр [с ($хс + хзхз — ы/)! + ВУсс ехр [с (ахс — хзхз — ы/)], где Сс»=У(ы«/ссз) — аз, х»=У(ыз/ссз) — Эз. Поскольку прн х,=О имеется проскальзывание, то граничными условнямн будут равенства нулю нормального смешения н касательного напряженна: "[==®+ — ") =' дхз дх,,=о а [ =2)зе ! =2)з — + — — — — — =О. дзф 1 дзф ! дзф1 13 ««=о сз «з=о х, хз 2 з 2 з) дх дх ) 1 з «=о 3 Подставив в этн условия выражения для со н ф, находим 1$(! + Усс) — сй»1«и —— О, гаусс — Дз — с/зхз) (1+ !си) =О.
Отсюда легко получить, что Ус~ = — 1 в Уи=О, т. е, имеем полное отраженне с обращением фазы. 4.4. Выяснить качественно, какнсь волны н с какими волновыми векторами возникают прн отражении продольной волны от плоской границы раздела двух упругих сред, Р е ш е н н е. Будем обозначать величины, характернэующне среду прн хз>0, индексом 1, а прн хз<0 — индексом 2. Для выполнения граничных условий во все моменты времени н на всех точках границы необходимо, чтобы частоты волн е и проекции их волновых векторов на граннцу совпадалн, Теперь не составляет труда по заданному волновому вектору падающей волны йс построить волновые векторы как отраженной, так н прошедших в другую сре- (]8 ду волн что н представлено на рис.
4.6. Концы волновых векторов всех волн лжны лежать на одной прямой, перпендикулярной оси х, и проходшцей через точку (ь, 0) . Кроме того, все возникающие при отражении волны должны уходить от границы. Длины волновых векторов соответственно равны: /г' = йз = ы/с , йз = ы/с , к = ш/с / ) й/, / = 1, 2. Нэ условия равенства горизонтальных проекций волновых векторов можно также найти соотношения между углами падения Оь отражения О~', у~ и преломления Оз уз: О',=Оь й, зш О, н~ шь /, йз шп От=не з1п уз. гзь 4.7 4Л.
Найти коэффициенты отражения и преломления при падении продольной гармонической волны на границу раздела между двумя одинаковыми упругими средами с проскальзыванием. Решение. Совокупность возникающих волн изображена на рис. 4.6. Решение соответствующих волновых уравнений имеет вид (общий множитель ехр(1($х,— шг)) опущен): ~рз=А,(ехр( — (йзхз)+Упехр(йзхз'], О,=А,Ун ехр'уххз1, кз)0, 4Ч=АзйтцехР( — Изхз1, фа=А,ЯГ ехр( — (хх1, х,(0, где аз=уз' — йз, й=е/сь нз-у~~~ — $з, и ы/сь В качестве граничных условий "Ри аз=0 нужно взять из!ю +з — — из(,,= „пзз(з,=„= пзз(з,= з озз)з,= э=паз(,, з=0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
