Л.М. Бреховских, В.В. Гончаров - Введение в механику сплошных сред (1119112), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Для продольной и поперечной волн одинаковой частоты й/х=с,/с,<~2/2, Х,/Х,>~2. Если совместить, например, ось х, с направлением волновых векторов, то ~р=А ехр(1(йх,— вт) ], ф= В ехр(1(хх,— вГ) ]. (4.9) Выражения для потенциалов волн, распространяющихся в обратном направлении, запишем в виде: <р=Аехр( — 1(йх,+вг)], ф=Вехр[ — 1(хх,+вС)]. (4.10) Заметим, что продольные и поперечные волны распространяются без дисперсии (скорость распространения не зависит от частоты). Именно поэтому плоские волнЫ произвольной формы (4.5) и (4.7) распространяются без искажений. 14.2. Граничные условия для упругих волн.
В безграничной и однородной упругой среде продольные и поперечные волны распространяются независимо, не взаимодействуя друг с другом. Если же параметры Л, и н р меняются в пространстве, то по мере распространения, например, продольной волны возникают поперечные и наоборот. Эти процессы проще всего проследить на примере отражения плоской волны от плоской границы между двумя различными средами. В этом случае волновые поля в каждой из сред будут описываться уравнениями (4.4) с соответствующими значениями параметров с,' и с,'.
Взаимодействие волн будет осуществляться на границе и должно учитываться в граничных условиях. Рассмотрим граничные условия на некоторых типах границ раздела. 1. Граница между двумя упругими полупространствами без проскальзывания («склейка»). При этом на границе раздела 5 должны быть равны векторы смещения и одноименные компоненты тензора напряжений, соответствующего площадке на границе: (и)о — и)х)з = 0 (о!У вЂ” оФ)з = 0 где /= 1, 2, 3;и†индекс оси, направленной нормально к 3.
56 2. Граница между двумя упругими полупространствами с проскальзыванием («смазка»). Равны нормальные смещения и напряжения, касательные напряжения обращаются в нуль: (ию — и<„'>)з =О, (о<'> — о<'>)з — — О, о<1<» з — — о<»>! =О, <чьп. Во втором выражении суммирования не происходит, несмотря на повторяющийся индекс. 3. Граница с абсолютно жестким телом при наличии «склейки»: и»,=0, >'=1, 2, 3. 4, Граница с абсолютно жестким телом прн наличии «смазки»: и„>,=0, а„>!«=О, !Фп.
5, Граница упругого тела с вакуумом (свободная граница): о„»»=0, 1=1, 2, 3. Рассмотрим, например, как будет происходить отражение упругих волн от свободной границы. Пусть уравнение граничной плоскости есть х,=О н ось х, направлена т<з упругой среды в сторону вакуума. Граничные условия будут о„~.,=, = о„) ..-. = ом1..-. = О. (4.11) Выберем направление осей х„х, так, чтобы нормаль к фронту плоской волны, падающей нз упругого полупространства на границу, лежала в плоскости х,х, (плоскость падения).
Тогда мы будем иметь плоскую задачу, причем от координаты х, никакие величины, характеризующие волны, зависеть не будут. Выразим компоненты тензора напряжений, входящие в граничные условия (4.11), через вектор смещений п, воспользовавшись законом Гука (3.22) н формулой (3.6). Тогда граничные Условия запишем так: (4.12) Учитывая, что плоскость падения волны, по предположению, совпадает с плоскостью х,х„видим, что падающей может быть одна нз трех волн: а) поперечная волна, смещение в которой перпендикулярно плоскости падения: и,чьО, и,=и,=О; в сейсмологии, имея в виду отражение волн, приходящих нз глубин земли на ее поверхность, зту волну называют горизонтально поляризованной; б) поперечная волна со смещением, лежащим в плоскости падения: и,чьО, и,~О, и,=О; в) продольная волна, смещение в которой лежит в плоскостн падения: и, чь О, и, чь О, и, = О.
57 (4.13) где Ь+ и 6 — комплексные амплитуды волн. Так как х„х, и х,', х,' — компоненты волновых векторов в падающей и отражен- ной волнах, то х', + х,' = х' = вь/е', (4. 14) Подставляя сумму выражений (4.13) в граничное, условие (ди,/дх,),=О, получаем Ь = ~ Ь+ехр [Е[(х — х,')х,— (в — в')1]], (4.15) хв что может быть выполнено при всех х, и г только в случае, если в'=в и х,'=х,. Таким образом, при отражении от неподвижной границы частота волны не меняется (в'=в, х'=х) и проекция волнового вектора на границу (ось х,) также не меняется (х,'= =х,). Согласно (4.14) это означает также и х,'=х„так что (4.16) т.
е. амплитуда отраженной волны равна амплитуде падающей. Коэффициент отражения т'=6 /6+ равен единице. Равенство х,'=х, имеет простой физический смысл. Действительно, запишем (4.13) в виде: и,+ — — Ь.,ехр ((х,х,) ехр [Ц$х,— в/) ], и, = Ь ехр ( — /х,х,) ехр [Щх,— вг) ]. 58 Волны «б» и «в» называют вертикально поляризованными волнами. В силу линейности уравнений (4.4) и граничных условий (4.12) справедлив принцип суперпозицнн, так что можно рассматривать отражение различно поляризованных волн независимо.
Заметим также, что в (4.12) первым н третьим граничными условиями взаимно связаны на границе производные от и, и и,. Эти условия не содержат и,. Наоборот, второе условие содержит только и,. Это означает, что при отражении волны типа «а» волны типа «б» и «в» не возникают. В то же время эти две последние волны на границе могут взаимодействовать и их нужно рассматривать совместно.
Другими словами, волны разделяются по принципу поляризации. Волну горизонтальной поляризации можно рассматривать независимо от волн вертикальной поляризации. В дальнейшем мы ограничимся только отражением ~ армоническнх волн. 14.3. Отражение горизонтально поляризованной волны. В этом случае смешение в падающей (+) и отраженной ( — ) волнах запишем так: и„= Ь+ехр[1(х,х~+ х,х,— в1)], и, = 6 ехр [1(х,'х,— х,'х» — в'1)], где 3=и,=и,'. Таким образом, падающая и отраженная волны имеют общую зависимость от х, и 1 в виде фактора ехр((($х,— ь|) ), т. е. скорость передвижения волн вдоль границы одна и та же, равная о =вам, Назовем углом падения т угол, составленный нормалью к фронту падающей волны и осью х, (Рис.
4.1), и углом отражения (' аналогичный угол для отраженной волны. Тогда, очевидно, $=и,=из1пт=хз!пт' н равенство х~'=и, означает также т'=т — угол падения равен углу отражения Отметим, что равенство частот и проекций волновых вектоРов на границу для падающей и отраженной волн получено из требования выполнения граничных условий для всех точек тра""пы и любых моментов времени. Это обстоятельство является 59 общим правилом при исследовании явлений отражения, а также преломления волн (исключение составляют движущиеся границы). Поэтому в дальнейшем мы всегда будем полагать в отраженных и преломленных волнах частоты и проекции волновых векторов на плоскую границу равными соответствующим величинам в падающей волне.
Провести доказательство этого факта в каждом конкретном случае не составляет труда. 5 15. Отражение вертикально поляризованных волн 15.1. Коэффициенты отражения и трансформации. В этом случае и,=О, а и, и иа в граничных условиях (4.12) целесообразно выразить через потенциалы в соответствии с (4.2): дФ дФа дФ и,= — — —, иа= — + —. дха дха ' дка дк, Из трех компонент вектора Ф здесь фигурирует лишь Фа, индекс у которой в дальнейшем будем опускать. Подстановка этих выражений в первое и третье граничные условия (4.12) дает: (4.17) 2 — + — — — ~ =О, < даФ даФ даФ х дха дка дха дка 1 а х, а 2р даФ+ дФ +Л вЂ” Ф+ — =О (4.18) (4.19) ( — + (рФ) = ( — — /рФ) = О, р = — ($а — — иа) . Если для сокращения записи опустить один и тот же фактор ехр(($х,— в1), то общее решение уравнений (4.19) примет внд: Ф=а ехР( — йаха)+ааехР(й,х,), к,= Рл' — $а, (4.20) Х,=~Х' — ра.
Ф=Ь ехр( — (и,х,)+Ь ехр(1и,х,), Здесь а и Ь= постоянные, имеющие смысл амплитуд соответственно продольной и поперечной волн, распространяющихся в сторону отрицательных х„ а а+ и Ь+ — то же, для волн, распространяющихся в сторону положительных х,. 60 Учтем теперь, что падающая и отраженные волны зависят от времени 1 и координаты х, (вдоль границы) одинаковым образом, а именно содержат один и тот же множитель ехр11($х,— вр)1. Поэтому имеем д/дх,=(й, д/д1= — 1аа, а волновые уравнения (4.4) и граничные условия (4.18) запишем так: — +(йа — Р) Ф=О, — +(и' — Д)Ф =О, я=за/сь и=в/пь даФ даФ дха дк а а Подстановка выражений (4.20) в граничные условия (4.19) ает связь между амплитудами: й,(а+ — а )+р(Ь++Ь ) =О, (4.2! ) х,(Ь,— Ь ) — р(а +а ) =О. Эта система уравнений описывает все случаи отражения от свободной границы плоских гармонических волн с поляризацией в.
плоскости падения. Так, например, если на границу падает только продольная волна (Ь+аззО), то, обозначив через Уз=а /а~ коэффициент отражения продольной волны, Уи=Ь (а+ — коэффициент трансформации продольной волны в поперечную, получаем: «зхз — Рз у 2азР ги= э Ьи азхз + рз азхз + рз Коэффициенты Ри и т'и можно выразить также через угол падения волны, Напомним, что величина $ равна проекциям волновых векторов продольной и поперечной волн на ось хь равенство которых обусловлено одинаковой скоростью распространения всех волн вдоль границы.
Обозначим через 6 угол падения продольной волны, составленный нормалью к фронту волны и осью х,. Имеем очевидное (рис. 4.2, а) соотношение й=йз)п6= з)пЪ (4.23) позволяющее найти угол отражения поперечной волны т при заданном 6. Учитывая определение й и х в (4.19), получаем зрпу =(с,(с)з)п 6= а з(п6. (4.24) х Поскольку всегда с,<сь то всегда и 1(6. Далее, нетрудно получить й, й соз 6, х,=х соз т, р= — хзс1д 2т и саз 8 18з 2т — (сз/сз) ссв т 2 соз 8 12 2т 'з'и = Уи —— соз 8 (яз 2т+ (с,(сз) соз т соз 8 18з 2т + (с/сЗ) соз т (4.25) Аналогичные формулы получаются и при падении поперечной волны (а+=0). Отраженными будут поперечная и продольная волны (рнс. 4.2, б).
для коэффициентов отражения попеРечной волны У„=Ь /Ь+ н трансформации поперечной волны в продольную У„=а /Ь+ получим: с! соз т ти=ри, У = — — 'г'и=— та. (4.26) аз сз ссз 8 16 2. Особые случаи отражения. Рассмотрим некоторые свойства коэффициентов отражения и трансформации. Так, при норм льно:.~ падении имеем О=т=О, Уз= р = — 1, Уи=р =О— "олное о:пажение с изменением фазы волны на х, трансформа- 61 ция волн отсутствует, Заметим, что случай нормального падения поперечной волны ничем не отличается от рассмотренного в и.
14.3 отражения горизонтально поляризованной волны, Однако там для коэффициента отражения получилось значение +1. Отличие объясняется тем, что выше речь шла о коэффициенте отражения для волны смещения им в то время как здесь — о коэффициенте отражения для потенциала волны зр. Поскольку и, получается из ф операцией д/дхм то это и дает разные знаки для коэффициента отражения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
