Л.М. Бреховских, В.В. Гончаров - Введение в механику сплошных сред (1119112), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Теизор деформаций. Опишем теперь деформации в упру- гом теле, возникающие при действии внешних сил. Для этого нужно знать, как сместились все точки тела при деформирова- нии. Положение каждой из них до деформации определялось в некоторой системе координат радиус-вектором г=(х,„х„х,), после деформации — радиус-вектором г'=— (х,', х,', х,'). Величи- на н=г' — г (и,=х,' — х,) называется вектором смещения. Дефор- мация тела будет полностью определена, если известна вектор- функция п(г). Последняя, безусловно, зависит от г, так как толь- ко в этом случае в упругом теле возникают напряжения (снлы), Если и не зависит от г, то происходит перенос тела как целого, не сопровождающийся внутренними напряжениями. При известном векторе смещений п(г) не составляет труда рассчитать изменение расстояния между произвольными, в част- ности близкими, точками.
В самом деле, пусть х, и х,+дх; — две бесконечно близкие точки, квадрат расстояния между которыми до деформации был с(Р= ~~ з(х,'=с(х;Их~ — — с(хд. После деформат з ции координаты этих точек соответственно будут' х,'=х~+и,(х,) н х,+с(х,+и,(ха+с(хз) тх,+с(х,+и,(хз)+(ди(дх,)с(хз. Следова- тельно, квадрат расстояния между ними после деформации будет диз (Ж')' = тЛхз+ — с(х ~1 = с(х,'+ дха ди; дит ди, + 2 — т с(х;с(ха + — — ' с(хас(х„. дхе дха дх '3 Здесь н ниже под и;(хз) подразумевается и~(хь «з, хз). 41 Используя далее очевидные соотношения ди, ди, ди„ 2 — Мхи)х» = — йхи1х» -1- — г(хл)х», дх» дх» дх~ ди~ ди ди ди — ~ — ' Дх1 дх = — — охи(х», дх» дх дх~ дх» (3.5) запишем (сИ)' в виде: (Ж')» =,б)»+ 2емйх»й гь / ди~ ди» ди ди,„ ~ и»=-~ — + — + —.— ) 2 1,дх» дх, дх, дх» ) Поскольку (г(1')' — ПР— скаляр, а Нх, и г(х» — векторы, то в силу теоремы 2' приложения величина е„является тензором второго ранга, называемым тензором деформаций.
Его компоненты в общем случае являются функциями координат и постоянны лишь в частном случае однородной деформации. Симметричность тензора е„(си=ем) очевидна. В случае малых деформаций в (3.5) можно ограничиться линейными по отношению к и; членами, тогда / ди; ди» '1 см = — ~ — '+ — ) (3.6) 2 ~ дх» дх~ ) 40.3. Физический смысл компонент тензора деформаций. Вначале рассмотрим диагональные элементы, например е„=ди,/Ихь Пусть х, и х,+Лх,— две близкие точки, лежащие на оси х,. После деформации эти точки могут сойти с оси х„но их координаты по этой осн соответственно будут х,+ и,(х„ х„ х,) и х,+ +Лх,+и,(х,+Лх„х„х,). До деформации расстояние между точками было Лх„после деформации расстояние вдоль оси х, будет Лх,+и,(х,+Лх,) — и,(х,) жЛх,+(ди,/дх,)Лх,.
Для прирашения расстояния имеем (ди,/дх,)Лх,. Если последнее отнести к первоначальному расстоянию Лх„то мы получим относительное удлинение вдоль оси х,. Аналогично и по другим осям, так что диагональные элементы тензора деформаций ео=ди,/дх„ ем=ди,/дхь с„=ди,/дх, дают относительные удлинения (сжатия) вдоль координатных осей. Найдем изменение объема У=Лх,Лх,Лх, элементарного параллелепипеда с длинами ребер, равными до деформации Лх„ Лх„Лх,. После деформации, как мы видели, длины ребер соответственно будут (1+с„)Лх„(1+со)Лх„(1+а„)Лх,, Если не учитывать квадратичные и кубичные по и, члены, то объем параллелепипеда после деформации определится как У'= = (1+во+ем+си) Лх,Лх,Лх,.
Для относительного изменения объема имеем (У' — У)/У» во+ем+е„=в»», (3.7) 42 е. след тензора е<,. Последняя величина согласно теореме 3 приложения является инвариантом, следовательно, относительное изменение объема, как это и должно быть, не зависит от выбора системы координат. Перейдем теперь к выяснению физического смысла недиагональных элементов тензора деформаций и рассмотрим, например, компоненту е„. Возьмем снова элементарный параллелепипед с ребрами длиной Лх„Лх„йх„параллельными осям координат.
На рис. З.З изображена грань параллелепипеда, лежащая до деформации в плоскости х,х,. В результате деформации верщины О, А, В, С смещаются, выходя в общем случае из плоскости х,х,. Обозначим через О', А', В', С' проекции новых положений соответствующих точек на плоскость х,х,. Учитывая малость деформаций и, следовательно, углов Ть Т, (рис. 3.3), имеем: Ьх1 дх1 Ьхх дхх так что дих ди1 2ем = — + — = у, + у, = ам + ем.
(3.8) дхд дхх Таким образом, сумма симметричных недиагональных компонент тензора деформаций'е„+е„определяет изменение угла между соответствующими гранями параллелепипеда. Как мы знаем (см. п. 2.3), перекос углов означает сдвиг. Следовательно, недиагональные элементы тензора деформаций ев описывают сдвиговые деформации.
Соответствующим поворотом системы координат всегда можно привести тензор деформаций к диагональному виду в любой фиксированной точке. Поэтому в такой системе сдвиговых деформаций не будет, а будут только удлинения и сокращения вдоль осей. В частности, мы видели (см. рис. 1.7), что однородную сдвнговую деформацию куба можно рассматривать как совокупность сжатия вдоль одной из диагоналей и растяжения вдоль другой.
5 11. Уравнения равновесия и движения сплошной среды 11.1. Вывод уравнения движения. Выделим в упругой среде некоторый объем У, частицы которого, вообще говоря, могут находиться в движении. По второму закону Ньютона сила инерции в этом объеме ~ рог' (р — плотность вещества, точки сверху означают дифференцирование по времени) должна уравновешиваться: а) силами Г, приложенными к его поверхности и возникающими вследствие влияния соседних частей тела; б) объемными силами ~1,хаг'. К последним относитсЯ, напРимеР, сила 43 тяжести с объемной плотностью ря. В результате равновесия этих снл имеем уравнение движения (3.9) Воспользовавшись выражением (3.3), выразим поверхностные силы через тензор напряжений осс.' Рс = ') ~сс(В = ) вскнкс(Б где 8 — поверхность объема У; п=(я,) — внешняя нормаль к ней.
В приложении (теорема 4) доказана теорема Гаусса — Остроградского для произвольного тензора, так что (3.10) можно записать в виде Рс — — (доск/дк,)с(У. В результате для с-й компоненты уравнения (3.9) получаем (3.10) 'рйс — (г;в)с — — 1 с(У = О. двск с дкк ~ Отсюда в силу произвольности объема У следует равенство нулю подынтегрального выражения, что и является искомым уравнением движения: Рис = (с'св)с + — ° (3. 11) дк Если деформированный объем находится в равновесии (и, не зависят от времени), то следующее нз (3.11) уравнение — '"+(~м)с =0 (3.12) дкк 44 является уравнением равновесия деформированного гела, Отметим, что в равновесии деформированное состояние упругого тела может поддерживаться только внешними силами, в чзстности приложенными к его поверхности. При этом последние войдут в граничное условие к уравнению (3.12), а именно: если р, есть поверхностная плотность внешних сил, то в соответствии с (3.3) рс — -Оссяс~ к.
(3.13) 11.2. Тензор модулей упругости. Теперь, для того чтобы иметь возможность решать уравнение (3.11), необходимо выразить тензор напряжений через тензор деформаций, к чему мы сейчас и перейдем. В общем случае при упругих деформациях между тензорами напряжения и деформаций должна существовать взаимно-однозначная связь типа асс=6,„(есс).
Прн достаточно малых деформациях разложением функций Оа в ряд Тейлора получаем ли- нейные соотношения между о„и е„— обобщенный закон Гука: о< = Саке<о (3.14) где С<„„=(дб«/дея),— тензор четвертого ранга, являющийся хаРактеристикой вещества. Он называется гензором модулей упругости. Поскольку каждый индекс в Сщ, принимает три значения, тензор модулей упругости не может иметь более 81 независимой компоненты. В самом же деле нх существенно меньше. Действительно, воспользовавшись симметрией тензоров а,„ н е<ь установнм свойства симметрии тензора С«я.
Для этого запишем цепочку тождеств ам =Сиу<ег< = С<анен = Смиеи = пи =Ски<ег< Если теперь попарно прнравнять подчеркнутые члены (С „— Сээ)е«=О, (Сэк — С„„)е„=О, то нз произвольности тензора ея следует равенство нулю выражений в скобках, т. е. С<<« = С<и<, С«<к = Ск<е. (3.15) Следовательно, тензор модулей упругости симметричен относительно перестановки индексов в первой и второй парах.
Теперь не составляет труда подсчитать, что число независимых компонент тензора упругости не превышает 36, Действительно, прн фиксированных < н й имеется лишь шесть независимых величин С«к. В свою очередь, к независимым С««приводят лишь шесть нз возможных девяти комбинаций индексов < н й. Более того, можно показать, что число независимых компонент тензора С;~, должно быть фактически еще меньшим. Для этого следует васпользоваться энергетическими соображениями.
5 12. Энергия деформированного тела 12.1. Плотность энергии. Для того чтобы деформировать упругое тело, нужно совершить определенную работу. Рассчитаем эту работу в предположении, что деформация тела совершается квазистатнческн, т. е. настолько медленно, что в каждый момент ВРемени тело находится как в механическом, так н в термодннамнческом равновесии. Выделим некоторый объем тела у, ограниченный поверхностью 3 с внешней нормалью и. На этой поверхности в соответствии с (3.4) распределены силы о.<п„, действующие на наш объем. Пусть вектор смещений и,(г) получает "Рнращение би,(г).
Работа поверхностных снл, совершенная над ~слом прн этом переходе, будет бА= ~ о<п<би<й5. По теореме < аусся — Остроградского для вектора о би, получаем бА = ~ — (амби<)йУ= ) — <би<йУ+ ~ огяб — йУ. г дке ' ' г дкк ' ' дка г г г 45 При квазистатическом процессе первый интеграл справа обращается в нуль согласно (3.12) и предположению об отсутствии объемных сил (/„=0), Второй же интеграл выражается через тензор деформаций, так как в силу симметрии тензора ои опб (ди</дх„) = (о„/2) 6 [ (ди,/дх ) + (ди„/дх,) ) = о„бе„. С другой стороны, работа 6А изменяет |внутреннюю энергию выделенного объема.
Если также учесть возможное изменение энтропии, то по известному термодииамнческому тождеству имеем ) бейт' = 1 Тбз<Я + ) омбемй$', г 9 где е и э — внутренняя энергия и энтропия единицы объема соответственно; Т вЂ” температура. В силу произвольности объема $' последнее соотношение может быть записано в дифференциальной форме де= Тйэ+ояде„,. (3.16) Если вместо внутренней энергии е ввести свободную энергию /=е — Тэ (й/=де — эиТ вЂ” Тйэ), то выражение (3.16) примет внд й/= — эйТ+ о„йе„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
