Л.М. Бреховских, В.В. Гончаров - Введение в механику сплошных сред (1119112), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Далее прн 1<2!/с нмеем П(1 — 2!/с) . О, прн 1<!/с о(!, 1) =0 =Рос[сею(1) — П(!)]/ЕЯ, т. е. а,(1)=П(!) прн !<!/с, Но тогда о(0, 1) =РзсП(!)/ЕЕ=О прн т<1<!/с, следовательно, в(0. !) =О я нрн т<1<Й/с, так как отраженный импульс еще не добежал до левого конца стержня.
Поэтому се~(1) =О для !/с<1<2!/с и окончательно прн 0<1<2!/с в(х, 1) = — [П (1 — х/с) + П (1+»/с — 2!/с)). Р,с ЕЗ Отсюда следует, что каждый элемент стержня за отрезок времени 0(1(21/с будет дважды иметь скорость по=' Рос/ЕБ в течение времени т (элементы ержня, близкие к его правому концу, часть времени т будут двигаться с удвоенной скоростью, а оставшуюся часть — покоиться). В результате любой произвольный участок стержня за время 21/с сместится на расстояние по= 2оот=2(Рос/ЕЗ)т. В дальнейшем после отражения импульса от левого, уже свободного конца стержня' этот процесс повторится и т. д. Таким образом, движение каждой точки стержня будет состоять нз быстрого перемещения в течение времени т, затем покоя и т. д.
ай. Показать, что рассмотренное в предыдущей задаче движение упругого стержня после кратковременного удара удовлетворяет законам сохранения импульса и энергии. Решение. Импульс внешней силы Рот долж б уносимому волной сжатия: У роо, где р р8ст — масса возмущенного участка стержня. Непосредственной подстановкой в У=)ооо выражения оо через Ро убеждаемся в сохранении импульса: Рос Зо = роост — = Рот. ЕЯ Если ввести среднюю скорость перемещения стержня как целого и, оот Росах Реч Рот о — с= — с=— 21 1 ЕЯ рб/ ш где ш — массастержня,то получим классический закон сохранснна количества движения в механике твердого тела: Рот гло. Вычислим теперь энергию, уносимую импульсом сжатия.
Для кинетической энергии имеем В'о=рсоа/2, потенциальная энергия в соответствии с задачей !.й будет ! ! /Ро'1з .! ! Ее ! К = — Яст — )( — ! — Ест — — о' = — )мР М . е — 2 Е(ч! 2 Ее о — 2 е Таким образом, полная энергия импульса равна Р,с ив+ ии р""е = РоспРе Рост оо ! еоег С другой стороны, при действии силы Ро в течение времени т левый конец стержня смещается на расстояние ио/2 оот, т. е. работа силы А Ропот=д'.
Закон сохранения энергии также выполняется. Заметим, что кннетнческая энергия средиеге движения и т -Рот 1 о ! тс е — ое = — о —. = — Р о т — — — й сэ 2 — 2 ш — 2 ео значительно меньше полной энергии Ю. 2.11. Определить коэффициенты отражения и прохождения изгибной волин от сосредоточенной в сечении х=О массы ль решение. Имеем при х Л и х)0 соответственно: ьо (х1) = ехр (1(йх — ю/)) -)- )г ехр ( — 1(йх+ ю1)) -(- )/т ехр (йх — (ы/), Ьа (х, 1) = %' ехр [1 (йх — ы/) ) + йгт ехр ( — йя — (ы1).
37 В сечеиии х=О должны быть иепрерывиы смещения, угол наклона и момент; С,(0,1)-С.(О,!), — ~~ дСг ! дСз 1 азСз! дСз ах ~ , ах ! ,' ах ! , ахз Разность перерезывающих сил при х=О вызывает движение массы с ускореиием дзС,/д!з: е((дзСз)дхз — д'т,,)дхз)„~=т (дега)д!з) е. подставляя в зги условия выражения для С, и Сз, получаем: 1+ У+ Ут = Их+вез, ! (1 — У) + Уз = ЛУ вЂ” йгы — (!+У)+У, — )У+)Уз, !(1 — У)+Уз — ЛУ-(Уз= — (тУЕ$) юз (1+ У+ Уз), откуда шыз 4(Е( — Сшкд У В'=1+У= 4! Е! — лкез (1 + !) ' 4(Е! — шыз (1 + 1) !У = Лг. 2.12. Определить коэффициенты отражения и прохождеиия изгибиой волин от закреплеиия, запрещающего смещения, ио ие препятствующего поворотам.
Р е ш е и и е. Эта задача отличается от предыдущей только граиичиыми условяями: С,(0, Г) йз(0, Г)=0, (аС/ах)„,=(дСз(ах) в (азС,(дкз) =(аз(з/ахз) з. На перерезывающую силу условия ие накладываются. Этим условиям соответствует система уравнений 1+ У+ У~ ОГ+ ОГ~ О, 1(1-У) + У1=(йу — )рь — (!+у)+у = — йг+(у, с решением У= — (1 — !)/2, %'=(1+1)/2, У,=1У1= — йг= — (1+!)/2. 2.13.
Определить собственные частоты изгибиых колебаний зажатого с обоих концов стершие длииой!. Р е ш ел и е. Аналогично рассмотренному в п. 3.3 случаю стержня иа опорах получам уравиеиие для определения собстиеииых частот: совЫ 1/сЬй!. При й(~! имеем йш и(2+пи и ы„ээуЕтДр(лз/4!з) (2л+1)з. Глава 3 ОБШАЯ ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕНИЙ И ДЕФОРМАЦИЙ Перейдем теперь к общей теории поведения упругого тела под действием внешних сил. Наше рассмотрение в этой главе не будет ограничено изотропными телами, свойства которых одинако-~ вы по всем направлениям, но приложимо и к анизотропным.
5 10. Описание состояния деформированного тела 10.1. Тензор напряжений. При воздействии внешних сил на упругое тело произвольной формы происходит относительное пере мещение его частей, сопровождающееся появлением внутренни 38 нл между ними. Для выявления этих сил рассечем деформированное (говорят также — напряженное) тело произвольной поверхностью на две части. При этом для сохранения равновесия любой нз частей необходимо пРиложить к повеРхности Раздела 5 илы, равные действующим до разреза со стороны отброшенной части, Эти силы и характеризуют напряженное состояние материала, Для их описания выберем некоторую точку поверхности 5 ри введем декартову систему координат х„х„х, с осью д„направленной по нормали к 5 в данной точке.
Возьмем малый участок поверхности 5 площадью ЛЗ,=ЛхаЛхм включающий выбранную точку. На него будет действовать сила ЛРо величина которой пропорциональна площади ЛЗь а направление произвольно'. Обозначим проекцию этой силы на ось да (й=!, 2, 3) через Лг,а и введем не зависящую от ЛЗ, величину о,„= ЛРи/ЛЗ,. Аналогично, если брать поверхности раздела, проходящие через данную точку, но перпендикулярные осям х, и дм получим еще шесть величин, определяемых напряженным состоянием тела в точке: ом=ЬРга~АЗг, оаа=ЬГаа1АЗа, (3.2) где площади ЛЗ, и ЛЗа соответственно равны Ьх,йха и Лх,Лха. Соотношения (3.1) — (3.2) вводят девять величин о,„(1, 1=1,2,3), которые, как мы сейчас покажем, полностью определяют напря- женное состояние тела в данной точке.
Для этого достаточно показать, что, зная оео мы можем вычислить силу, действующую на произвольно ориентированную площадку (вектор нормали п произволен). Рассмотрим бесконечно малый элемент объема, изображен- ный на рис. 3.1. Он ограничен: а) гранью АВС площадью АЗ и нормалью п, на которую действует пока еще неизвестная сила ЬГ, пропорциональная ЛЗ, так что АР=ИЗ с компонентами по осям 1;ЛЗ; б) гранями ОВС, ОАС и ОАВ, внешние нормали ко- торых противоположны единичным векторам координатных осей х~ (1=1, 2, 3) соответственно, а площади равны ЛЗг= г'~, =ЛЗсоз(п, х,) =ЛЗпо где пг — проекции вектора нормали п на оси х.
Согласно определению величин а„компоненты силы, дей- ствующей на каждую из этих граней, запишем так: — омЛ5,= — о„п,АЗ, — омАЗа= — ои,паДЗ, — сааб 5, = — о,аааЛЗ. 3нак минус здесь введен с учетом, что силы противоположны на- Р "" 9 ( .г .З.Н. ' Н "а самом деле распределенне снл на Ь51 вквнвалентно свае ЬГ~ н моменту ДМо Мы предполагаем, что гнд !нп ЬМа/Лог=О. аз, е 39 Поскольку выделенный объем находится в равновесии, сумма всех поверхностных сил должна быть равна нулю. Объемные силы здесь можно не учитывать, так как они пропорциональны Лх,бя.Лх. и при Ляг-~0 становятся бесконечно малыми по сравнению с поверхностными, которые пропорциональны Ьх,Лх, и т. п.
Равенство нулю суммы проекций этих сил на ось х, дает 1~И вЂ” онл,И вЂ” амлЬБ — а.,п.И=О. Отсюда, сокращая на ЛЯ н принимая правило о суммировании по дважды встречающемуся индексу, получаем ~< = онль (3.3) Таким образом, величины о„полностью определяют напряженное состояние тела. Кроме того, соотношение (3.3) позволяет заключить (см, теорему 1' приложения), что величины а„задают тензор второго ранга, поскольку п и $ — векторы. Тензор о„называют тензором напряжений.
Докажем, что в наших предположениях (щ,=О) он симметричен (он=о ). Для этого рассмотрим параллелепипед бесконечно малого объема Л'г'=Ля,Ля,бх„ребра которого совпадают с отрезками координатных осей. На рис. 3.2 изображено сечение этого параллелепипеда плоскостью х,=О. Стрелками показаны компоненты сил, действующих на его грани. Напомним, что ЛР„означает силу, вправленную по оси х„, приложенную к площадке, ориентиро- ванной нормально оси хь Для равновесия параллелепипеда не- обходимо, чтобы суммы действующих на него сил и моментов были равны нулю. Равенство нулю суммы сил обеспечивается тем, что силы, действующие на противоположных гранях, равны по величине и противоположны по направлению. Для равенства „улю моментов, например, относительно оси х, должно быть дР„Лх,=ЬРззЛхь посколькУ моменты сил ЛР„и АР„пРотиво- положны.
Выражая здесь ЛР„и ЛР„через о„и а„по форму- лам (3 1), (3.2) и сокращая на объем Лх,Лхзбх„получаем о„= =ось Аналогично доказываются равенства о„=а„и о„=оие Следовательно, симметрия величин о;, доказана. С учетом симметрии тензора оз„равенство (3.3) можно пере- писать в виде ~,=Омах, (3.4) Компоненты тензора напряжений а„, вообще говоря, являют- ся функциями точки, и лишь в случае однородных деформаций это постоянные величины. 10.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
