Л.М. Бреховских, В.В. Гончаров - Введение в механику сплошных сред (1119112), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Выражая последние через потенциалы рз и фь получаем: йз (1 — 1'и) $УР = йзВ'я зь(рп Р (1+ Уя) — ХзУц = РУРя +ХзВц, йз (1 — Уп) = Р1/и, йз(рп = Рйтп, Р = 14 1О' — н".2.' решая эту систему алгебраических уравнений, находим: йзхз Рз йзр (Уи —— Уи=, = йгп. Р + йзна Р + йзнз рз + й.к, 4.6.
В п. 15.2 было показано, что при определенных условиях (4.27) в слупадающей на свободную границу упругого полупространства продольной волны существует только отраженная поперечная волна и нет отраженной продольной. Показать, что эго возможно только прн коэффициенте Пуассона т(ти,ю н найти ти„. Решение. Условие (4.27) записывается также в виде (4.31) илн (4.33), Следовательно, требуется показать, что при достаточно больших т уравнение (4.33) не имеет корней, больших единицы, соответствующих однородным вол. нам. На рис. 4.7 представлен график функции /(з). Очевидно, что для существования корней зь з..
1 полинома /(з)=зз — Зле+16(з/г — дз)з — 16(1 — дз) иеоб. ходнмо, чтобы при з)1 имелось два экстремума функции /(з). Поскольку /'(з) =Зз' — 16з+!6(з/г — чз), то выРажение дла точек экстРемУма бУдет за~ ('/з)(2ФУЗдз — '/В: Отсюда следУет, что длЯ оУществованнЯ коРней за з)1 необходимо, чтобы дг=сгз/сд)'/з. ВыРажаЯ тепеРь отношение сР/сд = =гг/(1+2)г) через Е н т по формулам (3.26), получаем (1 — 2т)/(1 — т)ж'/ь влн э<0,4. Однако, как видно из рнс. 4.7, условие наличия экстремума не является достаточным для существования корней зьг)1. Для этого нужно также потребовать, чтобы /(з+)~0.
Вводя параметр а=!Зф' — '/с йз (1+2а')/6, э+ = 4 (2+ а) /3 и вычисляя /(з+), последнее условие запишем в виде 19 — ЗОа' — 16а'(О. Отсюда находим предельное значение аеяэ068. Корни зьз сУществУют только пРи а>ае. Это дает чз>0,32 и окончательно т(тв„щ иг 0,26. 4.7. Рассмотреть собственные горизонтально поляризованные волны в слое с одной свободной и другой абсолютно жесткой границей. Решение. Абсолютно жесткая граница соответствует полупространству с бесконечно большой скоростью распространения воли.
Следовательно, решение задачи можно получить предельным переходом )гг-ьсо в выражениях для волн Лава (442), (444). При этом !8т)-ьсо и т1 (2л+1)я/2 (л 1, 2, ...),. $„=7кз — (2л — 1)знг/4Н'. Смещение (4.44) перепишем так: и„= Аа сох [ 2л — 1) я (ха + Н)/2Н] ехр [1 ф„хт — в/)].
Узловые плоскости задаются уравнениями к,/Н= — 1+1/(2л — 1), — 1+3/(2л — 1), ..., О. Всего л плоскостей, последняя совпадает с нижней границей слоя хз — О. 4.8. Определить параметры гармонических, горизонтально поляризованных~ волн, которые могут распространяться в слое упругого материала толщиной со свободными границами. Р е ш е ни е. Для горизонтального смещения щ=и(хь хз, !) имеем волне-!~ вое уравнение д'и/ды=с,зЬи с граничными условиями на свободных стенках! (ди/дхз).
ем — — О. Решение ищем в виде и Ф(хз)ехр[/($х,— в/)]. Для функ-, ции Ф(хз) получаем обыкновенное дифференциальное уравнение Ф" + ] +(кз — Зз)Ф=О, к=в/с, н граничные условия Ф'] = Ф' ] и — — О. Удое-] летворим как уравнению, так и условию при хе=О, выбрав решение в виде Ф=Асозухз, у=Ух' — йз. Подставив это решение в условие при х,=Н, цолучаем уравнение для определения возможных значений у: з)пу Н=О. Теперь находим допустимые значения т„ля/Н (л О, 1, 2, ...), а также ь-г — твтк и ° ---- --..~.нь ° шихся вдоль слоя.
При л)ли1* величина $ чисто мнимая, что соответствует колебанняьг с экспоненциально убывающей вдоль х~ амплитудой. Смещение, 1 / лл „(х, х,, () запишем так; ил — — Ал сов ( — хз) ехр 11(алхд — еМЦ. В частно- сти, „ при л=б получаем волну с постоянной амплитудой поперек слоя и распро остраняющейся вдоль к, со скоростью сь Прн л=1, 2, амплитуды воли „маются по толщине слоя, имеется л узловых плоскостей, на которых и„=а 4,З. Найти групповые скорости горизонтально поляризованных волн в слое са свободными граннпамн. рею е н не.
В задаче 4.8 было найдено горизонтальное. волновое число л.й волны Ь=унз — лент///т. Будем рассматривать случай л(ллзю дхя фазовой скорости имеем "л = ы/сл = с~/У1 — (лл/н//) ° ) с для групповой— ) '='~("~ ~"и) '= сеУ1 —,лл/хн з(,. дая волны любого номера л имеем простое соотношение с,»о =сР. Глава 5 волны в пллстинКАх 71 Упругий слой с плоскопараллельными свободными границами называют пластинкой. Горизонтально поляризованные поперечные волны в пластинке (смещения параллельны границам) были рассмотрены в задачах 4.8 и 4.9 предыдущей главы. Однако основной интерес представляет случай вертикально поляризованных волн в пластинках (смешения лежат в «вертикальной» плоскости, образованной направлением распространения волны и нормалью к границам).
В этой главе мы проведем классификацию основных типов волн, встречающихся в пластинках. Проанализируем ряд особых случаев их распространения, а также осуществим предельный переход к волнам в тонких пластинках. 5 17. Классификация волн 17 1 Дисперсиоиные соотношения. Пусть пластинка имеет толп(ину 2/г, а ее границы х,=.+л. Как уже отмечалось выше (см. 15.1), смещения в вертикально поляризованных волнах при соответствующем выборе осей координат можно описать двумя ие зависящими от х, скалярными функциями: скалярным потенциалом у(х„х„ /) и компонентой ф(х„хм 1) векторного потен"иала ф=(0, ~, О). При атом для компонент вектора смещений "=(н,', им из) имеем (см. (4.17)): и,= цз 0 дт дФ (5. 1) дх, дхз с 0з с, 0д Здесь элементы матрицы А=(а„) (д, й=1, 2, 3, 4) имеют видд ап = азд = адьдп аь ам = адз = 1рй ь(п аь а„= а„= ад соь ад а„= а„= дрй соь аь а„= а„= — 1рйсоьоь а„=а„= адсозад азз = — а,з = — дрй здп аь азз = — а, = а, ь(п аь где а,=йзй= 1й' — Ь.'й, а,=к,й= 1'х' — 5'й, р=(5з — я'/2)/$.
Сложим и вычтем почленно друг из друга первые два уравнения, затем проведем аналогичную процедуру и со второй парой уравнений. В результате получим эквивалентную систему вида с 0з с, О, ад з! и а, — дрй Мо оз — 1рй соз ад ад соз ад О О О О О О О О а~ соз ад дрй соз а фй з!о од од здо од (5.31 Представляет интерес ненулевое решение этой системы, услови. ем существования которого будет равенство нулю ее определи. теля: (ахзд ь(п ад сов ад+ рзйз соь а! ьйп ад) (азад соз аг зйп аз+ + рзйзь(п адсоьа,) = О. При фиксированной частоте од и, следовательно, фиксированных й=од/с, и дс=од/с, выражение (5.4) можно рассматривать как уравнение для определения возможных значений проекций Функции у и зр удовлетворяют волновым уравнениям (4.4). ПрД отражениях на границах сохраняются частоты волн и проекцнц~ их волновых векторов на границы.
Поэтому зависимость ~р и зд вт х, и 1 примем в виде фактора ехр[1(5х,— од1)], В результат получаем уравнения (4.19) для др и др с общим решением (4.20) которое, переопределив произвольные постоянные, можно запи сать так: ~р= (С, соь й,х,+С, ь)п й,х,) ехр[1($х,— од1) ], зр = (Р, соь к,х, + Р, ь)п дс,х,) ехр [1($х,,— —до1) ], (5,2) йз = у'йз — $з, й = од1сь яз = ]/хз — $з, и = ы1сь Подставляя теперь эти выражения в граничные условия (4,19) при х,=з-й, получаем однородную систему уравнений относи тельно постоянных ффЄР,: и,( — х,) = и,(х,), (5.7) из( Ха) = иа(Хв), ив= — нзСв 51п Йзхз+1ьРв з)п каха, откуда и следует симметрия нормальной волны относительно плоскости х,=О. 2. Антисимметричные нормальные волны с дисперсиоиным уравнением овов 1П о, + РзИз 1д Ов = О, (5.8в) потенциалами (С,=О,Р,=О, Р,=((о,созо/рйсозо,)Сз) ф=С, з(п йзх„ф=Рв сов каха (5.з1 и аитисимметричным относительно плоскости х,=О смещением: и,=(3С, з(п йх,+н,0, з!п хх„и,( — х,) = — и,(х,), (5.10) из=й С соей х +взеР сов каха, из( ха) =иа(хз) ° Воспользовавшись периодичностью тригонометрических функ"нй в днсперсионных уравнениях (5.5) и (5.8), можно показать, что прн любом фиксированном $ имеется счетное число собственных значений ьв„Ц) (и= 1, 2, ...).
Если же фиксировать частоту ьв, то дисперсионные уравнения будут иметь лишь конечное ""ело вещественных корней $„(ьз). действительно, пр~и $з)ьвз/св* величины о, и о, становятся чисто мнимыми, а тригонометриче- 73 вол но лиовых векторов на ось х,: $=$„(ьв).
Напротив, при фиксированн ином значении $ это уравнение определяет возможные частоты в волн ьв=ьв ®. Волны такого типа называются собственныи нли нормальными, волнами (или также модами), а соответующие им значения $„или ьв — собственными значениями Выражения ьв=ьв ($) можно рассматривать как дислерсионные оотношения для мод.
При этом величина (сь)„=ьв/й имеет „ысл фазовой скорости волны, а (с„в)„=вввь٠— ее групповой скорости. 17.2. Симметричные и антисимметричные нормальные волны. Полную систему нормальных волн в свободном упругом слое можно разбить на два класса, отвечающих обращению в нуль по отдельности каждого из сомножителей дисперсионного уравнения (5А). 1, Симметричные нормальные волны с дисперсионным уравнением о,о, 1п о,+р'/в*1п ов О. (5.5) При этом из (53) следует, что С,=Р,=О н .Р,=а(расово/ /о, соз о,) Св. Поэтому согласно (5.2) ф= Сз ГЗЗ ваха ф=Рз 51П ВззХз.
(5.6) Здесь и, как правило, ниже множитель ехр(1($хв — ьв1) ) опущен. Теперь с учетом (5.1) легко найти и, = в$Сз соз й,х,— н,Рз соз нзх„ скне функции переходят в гиперболические, непериодические н', вещественных корней $„в (5.5) и (5.8) будет не более чем по! одному. Однако и в этом случае существует бесконечное число! корней й„д(0, которые уже не соответствуют распространяю.[ щимся волнам, а представляют собой колебания с одинаковой фазой вдоль слоя и экспоненциально меняющейся амплитудой' у, др ехр(+.[$„[х, — ед) — разновидность неоднородных волн, 17.3.
Критические частоты волн. С уменьшением частоты число распространяющихся волн, для которых $.д)0, становит ся все меньше и меньше. Граничная частота (е„,)„, на которой и-я мода становится нераспространяющейся, называется ее кри тической частотой. На частотах ниже критической собственн значение $.(е) становится чисто мнимым. Ввиду непрерывност перехода от вещественных $„к чисто мнимым $.[(е„р).1=0, а фазовая скорость волны св=е/$„равна бесконечности. Этим об стоятельством можно воспользоваться для определения критн ческих частот упругого слоя.
Действительно, переходя в (5.5) пределу при $-~-0, перепишем его в виде !як/д/!я й/д=О, откуда' для симметричных волн непосредственно следует: рд ас кй = — /д = лдк, (екр)ч = ад — , лд — — О, 1, 2, сд Ь (5.!1 й/д = — Ь = — (2а, — 1), (ечр)ч = — — (2а, — !), ар = 1, 2,... Прн е=(е„,)., из (53) и (57) имеем С,=О, и,=О, и,— = — Р,ксоз кх,ехр( — де/), т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
