Л.М. Бреховских, В.В. Гончаров - Введение в механику сплошных сред (1119112), страница 18
Текст из файла (страница 18)
так как в противном случае в соот- 83 Отсюда имеем ою+ о, лп и (с учетом также ою (ыЛ/сг) соз Оз, о~ = (ыЛ/с~) соз уз) ы „= (ип/Л) с~с /(с~ соз уз+с, соа Оз). 5.4. Тонкая пластинка лежит на параллельных линейных опорах, расстойкие между которыми 1 Определить форму, которую оиа принимает под действием собственного веса. Решение. Если толщина пластинки 2Л, плотность материала р, то ни единицу площади будет действовать поперечная сила д= — 2рйй, Направив. ось х~ перпендикулярно опорам, запишем ураинение С. Жермен ба~ грЛΠ— а бх' /7 г ветствни с (5.25) напряжение оы[, а=со. Интегрируя еще 2 раза по г, на.
ноднм ь= — ссгг/64+Ьгз/4+с!п(г//7)+д. Вновь из условия конечности ь(0) по. лучаем С=О. Кроме того, в случае заделанных краев пластинки имеем ь(/7) =~Пг/г[в=О, что дает — чх/(з+ОЬ/1=0, — и/(з+16Ь/тт+64г(=-0, откуда находим Ь=ссйз/8, б= — ст/74/64 и ~= — (и/64) (гч — 2/7згз+Ез) = — (!з/64) (/(з — гз)з, 6.6.
В условиях задачи 5.5 считать, что пластинка невесомая, а к ее центру приложена сила Гз. Решение, Из условий равновесия на пластинку при г=/! действует сила реакции с плотностью на единицу длины — Ез/2п/7. Следовательно, на а краю пластинки действуют касательные напряжения о,з, такие, что ) о, пхз Л = — Ез/2п)7. С учетом формулы (5.25) имеем Е~ Е оЛ Ь! 1' г(й Ь[ — — ~~гй — ,') Ь, =/)=~ 2Е 2(1 — ) б. ~,/ ' ' Д.~, г=д а Всюду, кроме точки г=О, длн деформации пластинки справедливо уравнение Ат-Б=О (см. уравнение (5.26)) илч в случае цилиндрической симметрии г- [г(о-ь)'['=О. Отсюда (о-ь)'=а/г.
В частности, /)(/з ь)', в-а/7//т= =Еа/2п/1 или а/ Ез/2п0. Проводя следующие интегрирования по г, получаем г ь = — — г' 1и — + Ьге + с !п — + б. Опв Е Я Из условия конечности 1,(О) имеем с=О, Условия Ь(/7) =с(Ь/г(г[в=О дают ЬЕз+с( О, 2ЬР+Гзй/Бп0=0, откуда Ь= — Ео/16л/), б=рз/7т/16п/) н 4= (Еа/!бпО) [2гз1п (г/Е) +/7з — гз[. 5.7. Показать, что дисперсионное уравнение (5.31) для изгибных волн в тонкой пластинке совпадает с уравнением (5.20) для антисимметричной нормальной волнм наименьшего яомера на низких частотах. Решение.
Учитывая соотношения х=ю/сь Ь=ы/сь сР=Р/р, сР=(Х+ +2н)/р, запишем выражение (5.20) в ниде ЬгЗ сг е ЬгЗ ч /р (Х+ 2р) йз = -~- — — = -'г — ы гаг 2Ь с, ~/са сз 28 г р(Х+р) Теперь выразим Х и р через Е и т с помощью (3,26). В результате получим выражение Р 3 .з /Р (1 — тз) ° /2РЬ $з — .( — ю 28 Е /) совпадающее с (5.31) . 5.8. Решить задачу об отражении гармонической изгнбной волны Аехр [1(й~х,+т)хз — е/) [, падающей на опертый при к,=О край пластинки, Р е ше н и е. Найдем вначале общее решение вида ь=ехр [1($х1+т)хз — ы/) ) для уравнения (5.29).
Подставив зто выражение в уравнение (5.29), получив 84 ~едующую связь межлу $, Ч и ок Кд+д!д) =»д, гле»д=йр»юд/Тд, Отсюда инеем четыре возможных значения С: $д = »д = У »э — Ч' $д = — »д, $з = !хд, мд = У »д + Чз, Ц = — днд. В нашем случае, исключая растущую при кг-о — оо волну н опуская множитель „р [!(Чхд — ю!) [, запишем г = А[ехр(!»дхд) + Уехр( — йдхд) +йгехр(мдхд)[.
удовлетворим теперь граничным условиям на краю пластинки: , д*~ д [, "д х,=о что дает 1+У+В'=О, — »1д(1+У)+к~дйт=б и окончательно У= — 1, От=О. 8.9. В условиях задачи 5.8 край пластинки считать свободным. Решен не. В этом случае изменятся только граничные условия, в качестве которых следует потребовать при х1=0 равенства нулю касательного напряжения н момента: дх' В результате для коэффициентов У и йг получаем снстему уравнений: йд(1 — У)+ядйт =О, — (»'+тд!з)(1+ У)+(хо — тчддйт= О. Отсюда легко находим; д У й -- Чд [»2+11 — т) Чд[ — М»з+ Ч [»д (! т) Чд[ У вЂ” [У[ — 1 У'»' — ч*[»'+(1 — ) ч'[+ У'»'+ч*[»' — (1 — ) чЧ ' й! рг»~ Ч~[» (! е) Ч ) ! У»' — ч' [»'+ (1 — ) чЧ + У»'+ ч' [»' — (! — ) чЧ бЛО.
Показать, что вдоль свободного края пластинки может распространяться волна, возмущения в которой отличны от нуля лишь в окрестности края. Найти фазовую скорость этой волны. Р е ш е н и е. Будем считать падающую волну в предыдущей задаче неоднородной, т. е. Ч>», », =!у, у=уч' — 1'.
Тогда отраженная волна У=ехр( — й,х,) возрастала бы экспоненциальио при к~-ьоо. Следовательно, должно быть У=О или У'ч' — »'[»'+(! — ) чЧ = У'» »-[-ч [» — (1 — ) ч*!. Возводя обе части этого равенства в квадрат, легко находим Чд=»д/(1 тд) =Ърад)Е»д, откуда для фазовой скорости волны имеем со =ы)ч ТЕ~Зри~». заметим, что прн этом формула для ят, выписанная в предыдущей задаче, дает йт=1. Таким образом, общее выражение для смещения (, (см. задачу 5.8) в рассматриваемом случае, если учесть также фактор ехр [!(Чхд -ю!) [, дает Ь А [ехр ([/ Чд — »з яд) + ехр ([/Ч~+»д яд)[ ехр [! (т!хз — ю!)[. Часть вторая ГИДРОДИ НАМИ КА Глава 6 ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ГИДРОДИНАМИКИ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ Движение жидкостей и газов (в дальнейшем мы будем говорить чаще о жидкостях, хотя все сказанное относится и к газам), являющееся предметом гндродинамики, отличается от движения твердых упругих тел следующими особенностями: !) жидкость (без учета вязкости) не оказывает сопротивления сдвигу; 2) смешения точек жидкости в результате ее течения могут быть не малы даже при малых силовых воздействиях; 3) на характер движения жидкости существенным образом может влиять внутреннее трение (вязкость).
Если первая особенность ведет к упрощению уравнений движения по сравнению со случаем твердого тела, то две другие— к их усложнению. Усложнение существенно пересиливает упрощение, и в результате гидродинамика оказывается весьма сложной наукой. Некоторые ее аспекты, например теория турбулентности, не до конца разработаны даже в настоящее время, хотя основные принципы гидродннамики, с которых мы начнем, были установлены еще Эйлером, Бернулли и Лагранжем.
Вначале будем рассматривать идеальную жидкость, т. е. жид. кость без внутреннего трения и, следовательно, без перехода механической энергии в тепловую, Будем пренебрегать также теплообменом между различными объемами жидкости. Это означает, что все процессы протекают пря постоянной энтропии и напряженное состояние жидкости характеризуется одной скалярной величиной †давлени р. ф 20.
Способы описания движения жидкости 20.1. Эйлеров и лагранжев способы задания движения жидкости. Движение жидкости будет вполне определено, если все величины, характеризующие жидкость (скорость движения частиц ч, давление р, плотность р, температура Т н т. п.), будут заданы 86 „ак фУнкции кооРдинат и вРемени. Это способ заданиЯ движенил жидкости по Эйлеру.
При этом, фиксируя некоторую точку простраис1 ва, мы следим за изменением во времени соответствующих величин в этой точке, а фиксируя момент времени, мы знаем изменение этой величины от точки к точке. Однако никакой информации о том, какая именно частица жидкости находится в данной точке в данный момент времени и как она перемещается в пространстве, мы непосредственно не имеем. другой способ описания течений, в основу которого положено описание движения отдельных жидких частиц, называется лагранжевым. При этом все величины, в том числе и координаты движущейся частицы жидкости, определяются как функции времени 1 и некоторых переменных Ц» (1=1, 2, 3), идентифицирующих определенную частицу: х» — — х»(яь 1), р=р(5ь 1), р=р(фь 1) н т. д.
В качестве переменных.$„обычно используют начальные координаты частиц жидкости, так что ~»=х»($ь Г,). Таким образом, при лагранжевом описании фиксируется внимание на определенных частицах Жидкости и прослеживается, как изменяются со временем нх местоположение, скорость, а также давление, плотность, температура и другие величины в их окружении. Эти два описания движения вполне равноправны, и выбор одного из них в каждом конкретном случае диктуется только соображениями удобства.
Так, например, большинство приборов измеряют характерпспнки жидкости (в фиксированной точке прибор стоит на месте), т. е. дают эйлерову информацию. Если же покрасить (пометить) часть жидкости, то по растеканию краски получают лагранжеву информацию о движении. Способ Лагранжа также проще описывает процессы диффузии, связанные с непосредственным йеремещением частиц. 20.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
