Л.М. Бреховских, В.В. Гончаров - Введение в механику сплошных сред (1119112), страница 20
Текст из файла (страница 20)
$22. Гидростатика 22.1. Основные уравнения. Рассмотрим теперь случай покоящейся жидкости. Положив в (6.14) ч=О, получаем уравнение гидро- статики Чр=рй (6.21) Важным является случай, когда внешние силы имеют потенциал и: 1=: — Чи, тогда (6.21) запишем так: Чр= — рЧи. (6.22) Последнее уравнение далеко не всегда имеет решение.
Действительно, слева стоит градиент р, правую же часть можно будет представить в виде градиента только прн определенной зависимости р от координат. Действительно, применив к правой н левой частям уравнения (6.22) операцию го(, получим ЧрХЧи=О Следовательно, векторы Чр н Чи должны быть параллельными. Рассмотрим подробнее случай жидкости (газа) в поле силы тяжести. Прн этом и=ух (ось г направлена вертикально вверх) н уравнение (6.22) примет внд др/дх=др~ду=О, др/дх=' — ру.
(6.23) Отсюда следует, что р=р(х) — функция только х, и если предположить, что р постоянно, то р= — рух+ сопя(. Постоянная интегрирования определяется нз условия на границе; если прн х=г, задано р=р„то прн произвольном х р=р — ру(х — .). (6.24) Однако, если рассматривать большие перепады высот, плотность р уже нельзя считать постоянной. Температура также может зависеть от г. Рассмотрим для примера случай изотермнческой атмосферы. Уравнение состояния (считаем газ атмосферы идеальным) имеет внд р= Р~р) рт, (6.25) где Й вЂ” унлверсальная газовая постоянная; р —.молекулярная масса газа. Подставляя (6.25) в (6.23), находим: кт гр р ря й'р (п — = — — г р Иг рг КТ где р, — значение плотности прн а=О.
Таким образом, мы полу'чили известную барометрическую формулу р=р ехр — — г (6.26) описывающую изменение плотности с высотой в нзотермической атмосфере. В случае, когда в атмосфере Т=Т(г), соответствующая формула для р(г) получена в задаче 6.9. Аналогично можно рассмотреть и случай баротропной жидкости (нли газа), описываемой уравнением р=р(р), что имеет место, например, для нзэнтропнчеСкой атмосферы (р=рг(р!р0)'). 22.2. Условне гндростатического равновесия. Частота ВяйсялЯ. Выясним теперь, прн каких условияхвполесилы тяжести состояние равновесия будет устойчивым для общего уравнения состояння р=р(р, з).
Подставив его в (6.23), получаем — ру= — =с' — + у— ар ар дг (6.27'р Нг аг дг 93 где У= (др/дз)в. Рассмотрим частицу жидкости объемом Уь на. ходяшуюся в точке з. На зту частицу действуег сила тяжести — др(з) У, и (если жидкость находится в равновесии) равная ей, но направленная ~в противоположную сторону сила Архимеда. Если теперь аместить частицу на расстояние ь по вертикали, то нз-за сжимаемости изменится ее объем ~на величину ДУ, в то вре- мя как ее масса и энтропия сохраняются.
В,результате сила, дей- ствуюшая на смещенную частицу, будет Р= — И ( ) У.+И( +~) (У.+ДУ) — снова вес и сила Архимеда. Разложив р(г+ь) в ряд и ограни- чиваясь линейными по ь и ДУ членами, получим Р = йр(г) У.~ — — 1+— ер Р (г) сг Ув Изменение объема можно подсчитать, воспользовавшись уравне- нием состояния, примененным к нашей частице. С учетом Де=О с точностью до малых первого порядка имеем Др=с'Др=с'Д(т/У) =свр(з) У,Д(1/У) = — с'р(з) ДУ/У,, где т=р(з) У, — масса частицы жидкости.
Отсюда ЬУ 1 пг — др, но др = — ~ = — р (г) й4 свр (г) в(г Следовательно, ДУ/У,=(й/св)ь, и окончательно для силы, дей. ствуюшей на смещенную частицу, получаем г' = др(г)У ~ — — + д/сг)ь = — тд(гь, с 1 ф ~р в(г где й/г = — й(! — — + 87~) (1 ф р в(г (6.28) — так называемая частота Вяйсяля, имеющая важное значение, в теории внутренних волн. Состояние равновесия будет устойчи- вым только в том случае, если сила противоположна смещению, для чего необходимо /!/г,в О или — — + и/сг (О, 1 в(р (6.29) р в(г т. е. плотность должна достаточно быстро уменьшаться с высо- той. Точнее, если др/вгг) — др/св, то состояние равновесия будет неустойчивым, возникнут конвективные движения. Заметим также, что в выражении для частоты Вяйсяля мож- но исключить член р-'в/р/с(з, воспользовавшись (6.27): 1 Лр 'в' в(г — — = — д/сг — — —, р сг рс' лг ф 23.
Теорема Бернулли и закон сохранения энергии 23.1. Теорема Бернулли. Эта теорема имеет место для стационар- мого (ч не зависит от 1) течения идеальной баротропной жидкости, уравнение состояния которой р=р(р). Обратимся сначала к уравнению Эйлера (6.14), где в этом случае член дч/д1=0, а член (чЧ)ч запишем, используя известное векторное тождество (ч Ч) ч = — Ч (пФ) — ч х го1 ч. 1 (6.31) 2 Кроме того, предположим, что внешние силы имеют потенциал 1= — Чи, и введем новую функцию в, называемую энтальпией и определяемую в термодинамике как в=е+рУ=е+р/р, или в дифференциальной форме йв = де+ — — — йр.
Мр Здесь в и внутренняя энергия е относятся к единице массы жидкости. Дифференциал внутренней энергии йе=тйз — рйУ в нашем случае изэнтропнческих процессов (из=О) упрощается н равен йе = — рй У = р/р'Ир (6.33) В результате для дифференциала энтальпии имеем ив=йр/р. Уравнение Эйлера теперь запишем в виде. Ч(э'/2+в+и) =чХго1ч. (6.35) (6.32') (6.34) Назовем линией тока линию, касательная к которой в каждой точке совпадает по направлению с вектором скорости ч в этой точке.
В общем случае линии тока изменяют свое положение со временем. В случае же стационарного движения линии тока неподвижны и совпадают с траекториями частиц жидкости. ВыбеРем какую-либо лини о тока и спроектируем уравнение (6.35) на направление касательной к этой линии в произвольной точке. Векторное произведение чХго1ч всегда нормально к ч и поэтому при проектировании даст нуль. Проекция градиента дает производную й/й/, где й1 — элемент длины линии тока.
В пезультате при этом Чэ= — У вЂ”, ~6 (6.30г Вк~ иг н если энтропия постоянна во всем пространстве (йз/йг=О), то состояние равновесия становится безразличным. имеем й(о'/2+та+и)/й(=О, или о'/2+ гн+ и= Сь (6.36) Таким образом, величина о'/2+си+и постоянна вдоль линии то.
ка. Это и есть содержание теоремы Бернулли '. Выражение (6.36) называют интегралом Бернулли. Постоянная С, в общем случае будет разной для различных линий тока. Однако в частном случае безвихревого движения (го1 ч=О) из (6.35) имеем 7(п'/2+та+и) =О, так что е/2+ .1. (6.37) где постоянная уже одинакова для всех точек жидкости.
В случае течения несжимаемой жидкости (р=сопз1) из (6.34) следует, что с точностью до постоянной гн=р/р, поэтому (6.36) записывается в привычном виде о'/2+ р/р+ и Сь (6.38) 23.2. Некоторые применения теоремы Бернулли. Рассмотрим течение несжимаемой жидкости в трубке с сужением (рис. 6.1). Где давление больше, в широком месте А или в узком В? Ответ иа этот вопрос непосредственно следует из теоремы Бернулли. В самом деле, поскольку в узком месте скорость о больше (через поперечное сечение трубки и А и В протекает одинаковая масса жидкости в единицу времени), то согласно (6.38) давление в В будет меньше (и при этом можно считать постоянным). Сделав в А и В небольшие отверстия и соединив их стеклянной трубкой с ртутью внутри, мы по разным уровням ртути в правой и левой частях трубки определим разницу давлений в А и В.
Устройство, изображенное на рис. 6.1, служит для определения скорости течения жидкости и называется трубкой Вентури. Присвоим величинам р, и в А индекс 1, а в точке  — индекс 2. Тогда по теореме Бернулли Рг/р+ г>г /2= ра/р+ в. /2.
Кроме того, о, и о, связаны соотношениями о,5,=п,5„где 5, и 5, — площади поперечных сечений трубки в А и В соответственно. Из двух получающихся равенств находим п,=[2(р,— р,)/р(5,'/5,' — 1) )'". Таким образом, зная разность давлений р,— р„находим скорость в широкой части трубки и,. Пусть теперь плоский поток жидкости обтекает два близко расположенных друг к другу цилиндра с осями, перпендикуляр- ' Вообще говоря, эта величина постоянна и вдоль линии, касательная к которой совпадает с направлением вектора гог т (линия вихря). Мы ограничя лись лишь наиболее распространенной формулировкой теоремы Бернулли. ными скорости потока (рис.
6.2). В пространстве между цилиндрами имеется повышенная скорость (сгущенне линий тока). По теореме Бернулли это вызовет уменьшение давления в этом месте н, как следствие, появление силы притяжения цилиндров. В практике судовождения хорошо известно, что два идущие параллельным курсом и близко друг к другу корабля испытывают силу взаимного притяжения. Были случаи, когда это приводило к столкновению судов.
Рассмотрим истечение жидкости из сосуда через отверстие (рис. 6.3). Пусть уровни свободной поверхности и отверстия будут соответственно г, и г,. Применим теорему Бернулли к какой- нибудь линии тока, соединяющей поверхность с отверстием (пунктирная кривая). На поверхности имеем х=гь о,=О (площадь свободной поверхности жидкости считаем большой по сравнению с площадью отверстия), р=р,— атмосферное давление. В отверстии имеем з=г„о=о„р.=р, (перепадом атмосферного давления при переходе от га к г, пренебрегаем), Равенство выражений (6.38) при и=яг в этих двух точках линии тока дает о*(2+ да,= аг,.
Отсюда для скорости истечения получаем известную формулу ов = ~2д(га — гв). (6.39) 23.3. Теорема Бернулли как следствие закона сохранения энергии. Назовем трубкой тока трубку, образованную множест- 4 Л. М. вреховеннх, З. В. Гончаров 97 вом линий тока, проходящих через произвольный замкнутый контур. Рассмотрим участок трубки тока, ограниченный двумя сечениями площадью 5, и 5,. Предполагая в этих сечениях давление, скорость жидкости, ее плотность и потенциал внешних сил постоянными, обозначим нх через Р„о„р„и, и Р„о„р<, и, соответственно. Пусть поток жидкости направлен от 5, к 5,.
За некоторое время М в рассматриваемый участок трубки тока войдет масса жидкости р,5<о,Л<. За это же время через 5, выйдет из этого участка масса жидкости р<5,о<И. В случае стационарного течения эти массы равны между собой: /зМ=р<5<о<И= р<5<оМ. (6.40) Давление р, на входе нашего участка трубки тока производит над втекающей через 5, жидкостью работу, равную Р,5,о,Л<. Наоборот, в 5, вытекающая жидкость производит над внешней средой работу Р<5,о,М. Разница этих работ должна по закону сохранения энергии равняться увеличению энергии количества жидкости, протекшего за время И через трубку, т.
е. Р<5<оМ вЂ” Р<5<о<Ы= ЛМ (Е,— Е,), (6.41) где Е, и Е, — энергия единицы массы жидкости в сечениях 5, и 5,. Эта энергия в любой точке жидкости складывается из кинетической о'/2, потенциальной и и внутренней е энергий: Е= о</2+ и+ е. Подставляя это выражение в (6.4!) с учетом также (6.40), нетрудно получить Р< Рв 1 — — — = — о<+ ие+ е,— — о' — и,— е,. 1 р< р< 2 2 1 Вводя теперь по (6.32) энтальпию в сечениях трубки ш< — е<+ +Р</р<, вновь приходим к теореме Бернулли (6.36), которая, как мы видим, является следствием законов сохранения энергии и массы жидкости, протекающей по трубке тока.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
