Л.М. Бреховских, В.В. Гончаров - Введение в механику сплошных сред (1119112), страница 21
Текст из файла (страница 21)
23.4. Закон сохранения энергии в нестационарном случае. Выясним теперь, как может быть записан закон сохранения энергии в общем случае нестационарного движения идеальной жидкости.. Энергия единицы объема жидкости (плотность энергии) согласно (6.42) равна Ж = рЕ = — ро'+ Ри+ ре. 1 2 Предполагая независимость от времени и(ди/д1=0), найдем изменение во времени плотности энергии <ь': М (1 1др дч д — = 11-о'+ и/1 — + р ч — + — (ре).
д1 ~2 ) д1 д1 дФ Воспользовавшись уравнением неразрывности (6.9), преобразуем 98 гервое слагаемое: (- оэ+ и) — = — ( — о'+ и)Ч (рч). Второе слагаемое преобразуется с учетом уравнения Эйлера (6.14) с потенциальными внешними силами $=.— Чи: рч — = — рч — — рч Чи — рч(ч Ч)ч. дч Чр щ р Здесь в соответствии с (6.34) Чр/р=.Чгэ. Учитывая также (6.31) н тождество ч(чХго1ч) О, получаем — рч(ч Ч)ч = — рч Р (о'/2). Группируя теперь соответствующие члены, легко находим дЖ/д/ = — (о'/2 + и) Ч (р ч) — ро Ч (о'/2 + и+ в)+ д(ре)/д/.
Вычислим теперь производную по времени от плотности внутренней энергии ре, используя выражения (6.32) и (6.33): д(ре) рде+ едр'=(р/р)др+ едр =(е+ р/р)др = ин(р. Отсюда с учетом уравнения неразрывности (6.9) имеем д (ре)/д/ = ю др/Й = — гв Ч (р ч) (6.43) и окончательно — = — (~ + ри+ ре) = — Ч ~ рч( — + и+в)] (6.44) Проинтегрируем последнее равенство по произвольному, но фиксированному объему У. Интеграл по объему от правой части преобразуем в интеграл по охватывающей этот объем поверхности 3, применив теорему Гаусса †Остроградско к вектору Ажр(о'/2+и+в)ч.
В результате получаем интегральную форму закона сохранения энергии в движущейся жидкости — ~ (р — +ри+ре)дУ= — ~ р ~ — +и+в)о„йЯ. (6.45) г йР а/.) 1, 2 ),) ~я Здесь выражение слева соответствует изменению энергии объема У. Из закона сохранения энергии следует, что поверхностный интеграл справа дает поток энергии через 5, и, таким образом, вектору й( — рч(о'/2+и+гэ) =рч(оЧ2+и+е+р/р) (6.46) можно приписать смысл гектора плотности потока энергии. ВыРажение '/,о'+и+ге при этом нужно рассматривать как количество энергии, переносимое единицей массы жидкости. Существен"о что здесь к механической энергии о'/2+и добавляется в, а не внутренняя энергия е.
Это происходит потому, что, кроме просто"о переноса энергии, в процессе движения среда производит над 99 гч Аналогично на основе интегрального закона сохранения массы (6.10), примененного к тому же участку трубки тока, имеем . р!о18! р2ойЕ2' Поделив теперь первое равенство почленно на второе, мы вновь придем к теореме Бернулли, т. е. равенству (6.36). ф 24. Закон сохранения импульса 24.1.
Тензор плотности потока импульса. Импульс единицы объема жидкости, по определению, равен рт. Найдем его производную по,времени. Учитывая уравнение неразрывности (6.9) и уравнение движения (6.14), имеем д д"~ др др д (рад) — (ро;) =- р — + ос — = — — — рп» вЂ” + Рс — пс дг дГ дС дх~ дхь дхх Объединив теперь второй и четвертый члены в правой части в д(ро,и,)~дх, и положив др(дх;=д(Ьер)дхь где 6„,— символ Кронекера, получаем д д —.(ж) = — — (рбм + ро оа) + ~ь дФ дхь Введем следующее обозначение: Пм = Рбм+ РпРь (6.48) 100 данным объемом жидкости определенную работу, например ежи. мая его. Это дает дополнительный поток энергии рч.
В самом деле, рассмотрим адиабатическое движение жидкости внутри трубки тока (см. выше). Поток энергии в сечениях 5, и о', в стационарном случае должен быть один и тот же. Но согласно (6.41) этим потоком не может быть ~величина ЛМŠ— ~масса перенесенной жидкости, умноженная на энергию единицы массы. Действительно, из-за отличия от нуля левой части (6.41) эта величина не сохраняется. Как видно из (6.36), сохраняющейся величиной является и*!2+в+и нли АМ(о'(2+и+и), поскольку ЛМ тоже сохраняется. Заметим, что в случае несжимаемой жидкости имеем да=О, в то время как согласно (6.34) Нв=р-'Нр.
Учитывая, что е и га определяются с точностью до произвольных постоянных, в этом случае можно положить а=О, в=р/р, т. е. е и и существенно различаются. Пользуясь выражением (6.45), легко получить теорему Бернулли. В самом деле, рассмотрим стационарное (д/д1=0) движение жидкости и в качестве объема У выберем участок трубки тока между поверхностями 5, и 5,. Поскольку.на боковой поверхности трубки тока о„=О, то из (6.45) получаем р,о,Я,(и,'/2+ и, + в,) = р,о,5,(о,'/2+ и, + и~а).
так что д . дПсь — (ро;) = — — + с'„ дС дкь (6.49) — )ро;аУ = — 1 — ''СУ+ ~1„(У. дс.) ',) а„; Здесь первый интеграл в правой части преобразуем в интеграл по поверхности 5, охватывающей объем У, воспользовавшись тео- ремой Гаусса — Остроградского для тензора (см. теорему 4 при- ложения). Тогда д — 1 росс(У = — ( Пмпм16+ ~ ссс(У, ас 3 (6.50) где и,— компонента единичного вектора внешней нормали к 8. Таким образом, изменение импульса в объеме У связано с патоном импульса через граничную поверхность и с действием внешних сил.
Если последние отсутствуют (~~ —— 0), то (6.50) переходит в закон сохранения импульса: — 1 рос с(У вЂ” ~ Псьпьс(Я д ас 3 (6.51) — изменение импульса объема У равно потоку импульса, втекающего в У через граничную поверхность. В связи с этим тензор называют тензором плотности потока импульса. 24.2. Теорема Эйлера. При решении практических задач гидродинамики часто возникает необходимость расчета силы,.действующей со стороны протекающей жидкости на окружающую среду. Найдем эту силу в случае стационарного движения жидкости в отсутствие внешних снл. Для этой цели воспользуемся законом сохранения импульса (6.51), который для стационарного движения примет вид (п,,~ю -)(Р~ ~-,л,~~~в-о.
(6.52) Выберем в качестве 5 поверхность некоторого участка трубки тока. В плоскости чертежа этот участок изображен на рис. 6.4. На входном торцевом сечении трубки Я, скорость ч= — оп, а на выходном 5, и=оп, где о= ~ч~. Интеграл ) род„нс(Б по бокозб аым стенкам трубки исчезает, так как о„п,=чп=О (скорость на- 101 и проинтегрируем последнее равенство по произвольному фикси- рованному объему У: правлена вдоль стенки). Поэтому (6.52) можно записать в виде ) рп~ й5 = — ) ро оьпьй5. (6.53) 3 за+за Здесь слева имеем 1-ю компоненту интересующей нас силы Р, действующей со стороны жидкости в трубке на окружающую среду.
Далее на 5, имеем о„п„=тп= — в, а на 5, о,п,=ни=и. В результате (6.53) примет вид Рс = — ~ ро'пв15 — ~ реп й5. 81 зв Таким образом, результирующая сила, действующая со стороны протекающей жидкости на границы выделенного участка т убки тока (включая и его торцы), равна сумме сил— ро'пй5 (1=1, 2), приложенных к торцевым сечениям.
Это Яу утверждение обычно называют теоремой Эйлера. Заметим, что векторная величина Р,= — 1 розпй5 (6.55) зю есть не что иное, как импульс, втекающий в единицу времени в трубку через 5,. Знак минус обусловлен тем, что внешняя нормаль и на 5, направлена противоположно т. Аналогично Р, = ) ро'пй5 (6.56) зф — импульс, вытекающий в единицу времени из трубки через 5,.
Теперь (6.54) перепишем следующим образом: Га Р,— Р„ (6.57) т. е. сила Г равна потере импульса (за единицу времени) жидкостью, заключенной в момент времени 1 в выделенном участке трубки тока. Если теперь умножить обе части равенства (6.57) на Ж и поменять знаки, то получим классическую формулировку теоремы об изменении количества движения: — Рй1= (Р,— Р,) Ж. Здесь — Р по третьему закону Ньютона соответствует силе, действующей со стороны окружающей среды на протекающую в трубке жидкость; — ГЖ вЂ” ее импульс, а правая часть — приращение количества движения за время Ш 24.3. Применение теоремы Эйлера.
Теорема Эйлера широко используется при расчете характеристики стационарного потока жидкости. Найдем, например, силу, действующую на стенки тру. бы со стороны протекающей по ней жидкости. Если труба цилиндрическая с прямолинейной образующей, то Р,=Р„и р;=ра 102 на торцах, следовательно, результирующая сила, действующая со тараны жидкости на стенки трубы; равна нулю. Нетривиальный результат получается, если рассмотреть искривленную трубу и, возможно, с переменным сечением. Участок такой трубы изображен на рис. 6.4. Выражение для полной силы, действующей на границы этого участка трубы, имеет вид Е = ~ рпд5 = Р„+ ~ рпй5+ ) рпд5.
Я з~ з. Здесь первый член представляет собой искомую силу, действующую на боковые стенки трубы, второй и третий члены — силы, действующие на торцевые сечения 5, и 5,. Теперь с учетом теоремы Эйлера (6.54) получаем г«« = — ) (р+ ро') п д5 — ) (4э+ ро') п Л5. (6.58) зв за Мы видим, что для определения этой силы достаточно знать характеристики потока на входном и выходном отверстиях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
