Л.М. Бреховских, В.В. Гончаров - Введение в механику сплошных сред (1119112), страница 25
Текст из файла (страница 25)
(7.13) Зта теорема является одной из основополагающих в теории функ- ции комплексного переменного и вытекает из требования суще- ствования предела (7.11), а именно из независимости последнего от направления приращения Ьг. Поясним это простым расчетом предела (7.11) по двум взаимно перпендикулярным направле- ниям: если Ьх — Ьх, то Р' = Ип| (а(х+ Ьх, у)+ ф(х+Ьх, у) — а(г, у) — ф(х, у))/Ьх= ='да/дх + (А/дх, если Ьг 1Ьу, то Р' = 1пп (а(х, у+Ьу)+ф(х, у+Ьу) — а(х, у) — ф(х, у))/(Ьу= гг-н = др/ду — 1да/ду.
Приравнивая вещественные н мнимые части последних выражений, мы н получим условия Коши — Римана (7.13). Вспомним ~еперь, что именно этим условиям (см. (7.9)) удовлетворяют потенциал ф и функция тока ф двумерного течения идеальной несжимаемой жидкости. Следовательно, последние можно рассматрнвать как вещественную и мнимую чисти аналитической функцнн Р(г), называемой «омпле«сным потенциалом. Из условий Коши — Римана нетрудно также получить, что вещественная и мнимая части любой аналитической функции Р(г) удовлетворяют уравнениям Лапласа.
Например, дифференцируя первое уравнение (7.13) по х, второе по у и складывая полученные выражения, для а имеем: д'а/дх'+ д'а/ду' = да = О, Аналогично доказывается, что и Ар=О. Таким образом, любой аналитической функции Р(г) соответствуют два взаимно сопряженных течения с потенциаламн: ф,= КеР(г) (ф,=1шР(г)) и ф,=1щР(г) (ф.=цеР(г)), Часто бывает удобнее получать потенциал сопряженного течения несколько иначе, а именно ф,=Ке(+-(Р(г)) (ф,=!ш(.ь(Р(г))). 27.2.
Прнмеры двумерных течений. Приведем несколько простейших примеров функций Р(г) н соответствующих нм течений 1. Пусть Р(г) =аг, где а — вещественная постоянная. Имеем ф+(ф=ах+(ау, следовательно, ф=ах, ф=ау — течение с постоянной скоростью о.=а, линии тока (ф=сопз() параллельны оси х.
Чтобы получить сопряженное течение, введем новую Р(г), получающуюся из старой умножением на мнимую единицу со знаком минус ( — 1). В результате для сопряженного течения имеем Р(г) = — (аг=ау — (ах, ф=ау, ф= — ах. Здесь скорость также постоянна п„=а, а линии тока (ф=сопз1) параллельны оси у. 2. Пусть теперь Р(г) =т 1п г, (7.14) где гчьО; т — вещественно. Для анализа этого случая целесообразно ввести в плоскости (х, у) полярные координаты г н О так, что хь гсоэй, у=гз(пО, г=х+(ук гехр((О). Тогда, подставляя г(г, О) в (7.14), получаем: Р(г)=т(1пг+10), ф=т1пг, ф=тО.
Здесь линиями тока будут лучи О=сонэ(, а линиями равного потенциала — окружности г=сопз( (рис. 7.2). Скорость частиц жидкости направлена по лучам и равна о, = дф(де = т/г. Прн т~)О скорости всех частиц направлены от точки г=О, В этой 'очке мы имеем источник жидкости. Масса жидкости, протекаю- 119 щей в единицу времени через произвольную окружность (г= =сопз1), равна 2пгв,=2пт и в соответствии с законом сохранения вещества не зависит ог' радиуса г.
Эта величина называется производительностью источника, При т<0 мы имеем в точке г=О сток жидкости. Комплексный потенциал для сопряженного течения получим, умножив (7.14) на — 1: Р(х) = — (т 1п а=т(0 — 11п г), ~р=т0, ф = — т 1п г. (7,15) В этом случае линиями тока будут концентрические окружностн г=сопз1 (пунктнр на рис. 7.2), а линиями равного потенциала— лучи О=сопз1 (сплошные прямые на рис.
7.2), Для скорости по- лучаем 1дв а ов = — — =— г дз г в, = О, Следовательно, мы имеем вращение частиц жидкости вокруг точки г=О со скоростью, обратно пропорциональной расстоянию г до этой точки. При т)0 вращение происходит против часовой стрелки, а прн т<0 — по часовой стрелке. Здесь мы имеем так называемый вихревой источник с циркуляцией вдоль любой ляпин тока, равной В=в,2пг=2пт. (7.16) Отметим, что это обстоятельство не противоречит предположению о потенциальности течения н утверждению теоремы Томсона.
В данном случае точка г=О является особой н поэтому исключается нз рассмотрения, вследствие чего область, ограниченная линней тока, не является односвязной н теорема Томсона неприменима. Движение жидкости всюду, за исключением точки г=О, потенциально. 27.3. Конформные преобразования. Наибольшие успехи в решении задач двумерного течения идеальной несжимаемой жидкости были достигнуты при использовании известного в теории аналитических функций аппарата конформных иэображений, Допустим, что у нас решена какая-нибудь определенная задача о двумерном потенциальном течении в некоторой области с определенными граничными условиями, т.
е. найден комплексный потенциал Р(г). Перейдем с помощью конформного преобразования к другой комплексной переменной Ь, связанной с г формулой г=1(Ь). Прн этом комплексный потенциал преобразуется к виду Р(г) = РЦ(~) ] = Ф (~), который в плоскости Ь будет соответствовать какому-то новому течению. С помощью этой процедуры иногда удается получить решение весьма сложных задач. Продемонстрируем метод кон- 120 формных преобразований на сравнительно простой задаче течения в клинообразной области.
Раосмотрмм в качестве исходного течения протекание жидкости с постоянной скоростью в полупрострэнстве у>0 при наличии твердой стенки при у=О (и.=и„ и„=О; рис. 7,3, а). Такому течению соответствует введенный выше комплексный потенциал г(г)=и,а. Преобразуем теперь полуплоскость у>0 конформным преобразованием я=К((/К)' (а>0, К>0) в клиновидную область плоскости переменного ь (рис. 7.3, б). При этом комплексный потенциал запишем в виде 4)(~) =и К(~/К) Введем в плоскости ь полярные координаты г и О так, что ь= =ге". Тогда ф(~) =и К(г/К) ехр ((аО) =и К(г/К)'(сов ай+)в(паО). Отсюда для потенциала скорости и функции тока получаем следующие выражения: ф=и К(г/К)'сова8, ф=и»К(г/К)'в1паО.
И окончательно для компонент скорости имеем: и, = — =и,а ~ — ) соваО, и, = — — = — и,а~ — ) в1паО. д. ~К) ° дв ' Ь) (7.17) Нетрудно видеть, что и. обращается в нуль на лучах 8=0 и О=п/а, где могут быть без нарушения течения поставлены твердые стенки.
Этот факт является непосредственным следствием конформности преобразования, сохраняющего угол (в данном случае прямой) между стенкой и линией ф=сопвй Таким образом, мы получили решение задачи о течении в клине с раствором и/а. На рис. 7.3, б изображен случай а=4. Как следует из (7.17), при а>1 и г-»-0 снорости и;+О и и»-».0, т. е. в угловой точке скорость частиц жидкости обращается в нуль. Если же а(1, мы получаем решение задачи об обтекании клина. На рис. 7.3, в изображен случай а=*/,.
При этом пз формулы (7.17) следует, что и;~ии и и»-~си при г-~О. Комплексный потенциал Г(г)=ф+/ф можно рассматривать как аналитическую функцию, осуществляющую конформное преобразование некоторой области на плоскости а, называемой также областью течения, на плоскость комплексного потенциала. В ряде случаев полезно также рассматривать конформное преобразование области течения на плоскость комплексной скорости ш(з) =Р (а) = — + 1 =и» вЂ” ю». дф .дф (7.18) дх дх Можно также осуществить отображение плоскости потенциала на плоскость комплексной скорости ш(г) =»и[а(Р)], где г(Р)— 121 отображение, обратное Р(г).
Если функция тв(Р) известна, то комплексный потенциал Р(г) можно найти, интегрируя очевидное дифференциальное уравнение; т(Р/т(х= тв (Р) . (7.19) Использование такой процедуры прн решении конкретных задач гидродннамики проиллюстрировано на примере решения задач 7.7 и 7.8. 9 28. Стационарное обтекание кругового цилиндра 28.1. Решение задачи методом конформного преобразовании. Задача обтекания кругового цилиндра важна как сама по себе, так и потому, что, взяв ее в качестве исходной, можно решить методом конформного преобразования задачи обтекания цилиндрических тел более сложной формы. Пусть на плоскости г=х+/у=гехр(10) (рис.
74, а) задана окружность г=/7 ф — радиус цилиндра). Будем искать решение уравнения Лапласа Аф=О при условии, что на поверхности цилиндра г=/7 нормальная компонента скорости равна нулю, а при г-т-сс невозмущенный поток имеет компоненты скорости о„= = — о„о„=О. Выражая последние через потенциал, запишем граничные условия в виде: (дф/дг), = О, (дф/дх), = — о„(дф/ду), = О. (7.20) Вместе с функцией тока ф (Лф=О) ф образует комплексный потенциал Р(г) =ф(х, у) +/ф(х, у). Отобразим, далее, 'область вне окружности ф)/т конформным преобразованием на плоскость Ь с разрезом от — 1 до +1, изображенную на рис. 7.4, 6. Это преобразование хорошо известно и называется преобразованием Жуковского: (7.21) ь=$+(т)= (хЯ+/т/х)/2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
