Л.М. Бреховских, В.В. Гончаров - Введение в механику сплошных сред (1119112), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Р е ш е н и е. Поступая аналогично расчету присоединенной массы для шара, найдем кинетическую энергию жидкости в слое единичной (в направлеяии оси цилиндра) толщины, возмущенной движущимся со скоростью оэ цилиндром. Для етого, добавив к комплексному потенциалу (7.22), описывающему обтекание цилиндра, член еэя, получим комплексный потенциал прн движении цилиндра со скоростью оэ. Р(х)= — оэйэ/г= — (оэ/14/г)ехр ", откуда 9= — (оэЯэ/г)соз 9. Лля скорости частиц жидкости находим др Лэ 1 д~р Лэ, /74 Р =оэ созВ, е = — — =64 51ПВ, оэ=о гз 4 гэ Следовательно, кинетическая энергия в слое единичной толщины равна ЭП 44 э 4 1ГГ лр)44 э оэ оэ Е = — ) ~ рсэгпгя — о' =рл/14 — = М— х 2 ) ) 2/14 э 2 2 э я где М рл/14 — присоединенная масса на единицу длины, равная массе жидкости, вытесненной цилиндром.
7.10. Рассчитать присоединенную массу движущегося в жидкости с ускоревием а шара на основе решения динамических уравнений. Решение. В силу справедливости уравнения Лапласа при движении шара в несжимаемой жидкости в любой момент времени / можно воспользо. ваться выражениями (7.33), положив в них те=ай Тогда для потенциала и скорости частиц жидкости имеем: пэ ! Лэ 3 Лэ (ш)г 9 — — — /аг, ч — — — а/+ — — — Е 2 гэ ' 2 гэ 2 гэ ге Давление на поверхности шара можно найти с помощью интеграла Коши— Лагранжа (7.1), где следует положить и О, ш=р/р, кроме того, учтем, что ~рч О, т-эО, р-ьрэ прн г-ьеэ.
Тогда р р ), ц рэ — р — ~ — р — ~ = р,— — аэ/э (1+3 созэ 9)+ — а/1 соз В. 2) ц д/~ и 8 2 Сила, действующая на шар в направлении его дэижения, найдется интегриро- ванием последнего выражения по поверхности шара: эл и р — р — 4/3 — Лэ 1 1 1 р — — я'/э (1 + 3 созэ 9) + э э + — Л 9~ 9 1 Вб930. р 2 134 Первые два слагаемых в этой формуле симметричны относительно плоскостг перпендикулярной направлению движения, и прн интегрировании дадут нули Таким образом, рЕР Р = — /(зйп — созз Оззпйдй = — пйзра= — У ра — Ма, л 2,) 3 2 где М рУш/2 — присоединенная масса, совпадающая с выражением (7.37). 7.11. Пусть тонкостенная сфера (сферический буй) массой т и радиусом /7 находится в равновесии в стратифицнрованной жидкости плотностью ро(г) на горизонте го (т=з/зп/)зр(го)).
Одределнть период малых колебаний буя. Р е ш е н и е. Если вывести буй из состояния равновесия, сместив его ва расстояние ь по вертикали, то на него будет действовать возвращающая сила, пропорциональная частоте Вяйсяля (см. формулу (6.28)) с с=со: 1 др Р=тЛГз(г)ь= — тп — — ь. С учетом присоединенной массы сферы, равной р дг т/2, запишем уравнение движения буя: 3 — ть + т/уз (г,) ь = О. 2 Отсюда ддя частоты колебаний буя и периода имеем юз=з/зЛ/з(го), Т=Чбк/Л1(го).
7.12. Определить силу давления, с которым нужно действовать на бесконечно легкую и растяжимую сферическую оболочку в несжимаемой жидкости, чтобы ее радиус начал увеличиваться с ускорением а. Найти присоединенную массу расширяющейся сферы. Р е ш е н и е. Через промежуток времени Ы скорость растяжения оболочки будет о=ай/. Сферически-симметричным решением уравнения Лапласа для жидкости с граничным условием о1в= (дф/дг)в=об/ является функция ф= — аЬЯз/г. При этом скорость частиц жидкости найдется как о(г) = =дф/дг=аЬ/Ез/гз. Вычислим энергию всей жидкости: оз оо р Г Г дг Š— 4м ) овгз де= 2кр (аб/)з/(о ) — = 2п/7зр (айфз.
2,) з Я й Эта энергия должна равняться работе действующей силы Р=4кйзр, равной А Р/зй Ра(31)з/2. Приравняв Е н А, находим: Р=4п/(зри=Ма, М=4п/7зр, где М вЂ” присоединенная масса, равная утроенной массе вытесненной сферой жидкости. 135 тнз. Показать, что в несжимаемой жидкости для увеличения радиуса цклиидрической оболочки требуется бесковечио большая сила иа едииицу длины образующей цилиндра.
Указ а к ие. Показать, что в цилиидрически-симметричиом случае зиергия жидкости в слое едиикчиой толщины во образующей цилиидра для расширяющейся со скоростью о)а=от оболочки равна бесконечности. Глава 8 ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ На течение любой реальной жидкости существенное влияние оказывает вязкость.
Как мы видели, в идеальной жидкости, находящейся в поле потенциальных сил, не может возникать вихрей — потенциальное течение жидкости всегда остается потенциальным. В действительности же мы постоянно наблюдаем возникновение и исчезновение вихрей. Неверным является также положение теории идеальной жидкости о существовании отличной от нуля тангенциальной составляющей скорости на поверхности твердого тела.
Опыт, однако, показывает, что на поверхности любого неподвижного тела все компоненты скорости частиц жидкости равны нулю. В силу этого на жестких поверхностях собирается тонкий слой пыли, несмотря на то что поверхность обтека= ется скоростным потоком (например, пылинки на вращающихся лопастях вентилятора). $30. Уравнения гидродинамики ВЯЗКОЙ Жидкостн 30.1. Коэффициент вязкости и вязкие напряжения. Вязкость (сила трения) проявляется только при деформациях в жидкости. Если же жидкость движется как целое, то силы трения не возникают. Для того чтобы учесть этн силы, рассмотрим следующий элементарный опыт.
Возьмем две бесконечные плоские и параллельные друг другу пластины, расстояние между которыми равно Ь. Пусть одна из пластин, например верхняя, движется относительно другой с постоянной скоростью тг, (течение Куэтта, рис. 8.1). Обозначим через г силу, которая должна быть приложена при этом к верхней пластине. Опыт показывает, что эта сила, отнесенная к единице площади пластины, прямо пропорциональна скорости и, и обратно пропорциональна расстоянию Ь: Г/5 = т1 о,/й. (8.1) Коэффициент пропорциональности т1 называют ньютоновским коэффициентом вязкости.
В теоретических расчетах часто бывает удобнее вводить величину т=т)/р, называемую кикематическом 136 вязкостью. В качестве примера приведем численные значения коэффициентов и (в г см ' с ') и т (в см' с ') для воды и воздуха при температуре 20' С; т1=0,01, т=0,0! (вода), т~=1,8 10-', т=0,15 (воздух). Коэффициенты вязкости зависят от температуры, причем для жидкостей вязкость быстро убывает при возрастании температуры, а для газов она несколько растет.
Закон (8.1) поддается обобщению на случай произвольного течения. Для этого направим ось х вдоль вектора скорости течения в некоторой точке и выделим мысленно из всего объема, занимаемого жидкостью, малый параллелепипед с длинами ребер Лх, Ьу, Лг (рис. 8.2), такими, что Лу«Лх и Лу«бг. Обозначим через АЗ=Лхбг площади граней, перпендикулярных осн у. Скорость частиц жидкости иа нижней грани выделенного объема будет о.
на верхней о,+Ло„. На основании (8.1) получаем, что 137 для поддержания такого перепада скорости а, между нижней н верхней гранями должна существовать «перерезывающая» сила Ьг", такая, что ЛР/ЛЗ= ибо./Лу. Полагая Лу-«-О и Л5-«-0, получаем одну из компонент. так называемого тензора вязких напряжений аР е»» а„е =1ип — «ц» (8.2) аз-+в ЬЯ ду Высказанные соображения можно рассматривать как наводящие, позволяющие построить формальную теорию движения вязкой жидкости, к чему мы сейчас и приступим. 30.2.
Уравнение Навье — Стокса. В 3 24 мы видели, что уравнения Эйлера для идеальной жидкости и равных нулю внешних сил могут быть записаны в виде закона сохранения импульса д/дт(ра~) = — дПв/дхь (8.3) где Пв —— рбв+ра;и„— тензор плотности потока импульса. Обобщим последнее уравнение, вводя в Пв дополнительные члены, учитывающие действие вязких сил.
Для этого положим Пв=рб,.+ра,ц,— а,„ (8.4) где тензор ов назовем тензороя вязких напряжений. Его явное выражение можно найти из общих соображений. Как мы уже от. мечали, трение может возникнуть только в случае, когда различные участки жидкости движутся с разными скоростями. Следовательно о;„должен зависеть от градиентов скорости (см. формулу (8.2)). Предполагая, что эти градиенты невелики, представим тензор о„в виде разложения по ним, удерживая только линейные члены. Из требования обращения в нуль а„в случае, если жидкость вращается как целое, следует, что градиенты скорости должны входить в о;, только в комбинациях да,/дх,+да„/дх,, до /дх, (8.5) равных нулю при таком движении. Действительно, пр~и вращении жидкости как целого с угловой скоростью И= (Й„йь Й,) имеем ч=(ллХг, где г — радиус-вектор произвольной частицы жидкости при условии, что начало координат выбрано на оси вращения.
Отсюда непосредственно следует да„/дх =б(ч ч=О. Кроме того, например, о,=й,х,— О,хь а,=й,х,— й,хь да,/дх,+до,/дх,=О, Наиболее общим выражением для тензора второго ранга, удовлетворяющего указанным выше условиям, является (д»~ де» ~ де ам=а~ — + — ~+Ь вЂ” бм, ~,дх» дх~ ) вх 138 (8.6) где а и Ь вЂ” постоянные, не зависящие нн от скоростей, ни от ия градиентов. Последний член в этой формуле, пропорциональный скорости изменения объема жидкой частицы, существен только в сжимаемой жидкости, например при исследовании звуковых волн в вязкой жидкости. Уравнение движения жидкости с учетом вязких сил, называемое уравнением Навье — Стокса, можно получить при подстановке выражения для тензора плотности потока импульса в виде (8.4) с учетом (8.6) в уравнение (8.3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
