Л.М. Бреховских, В.В. Гончаров - Введение в механику сплошных сред (1119112), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Прн этом окружность г=/т ехр(10) стягивается в отрезок, простирающийся от ь= — 1 до ь=! и проходимый дважды. В результате Р(х) примет вид Ф(~)=Ф((гЯ+Й/г)/2)=ф,($, т!)+/фД, т!). Условие (дф/дг),,=0 переходит в (дф,/дт1)„,=0, так как прн конформном преобразовании сохраняются углы между линиями (прямой угол между границей и нормалью к ней в данном случае). Далее, при г-~ос имеем 1 т к ту 1=1+ 1ч — — — = — +— 2 тт 2к 2Гт 122 что дает ф(», У) В~(х/2й, у/2Л) при г-~со. Следовательно, М ФОЭ где х=Д*+ И', откуда получаем искомые условия: (Ор,/®„= — 2В,.
(Ор,/Ои)„„= О. Таким образом, мы получили задачу обтекания бесконечно узкой полосы набегающим со скоростью — 2Яо, потоком. Решением этой задачи является поток со скоростью, одинаковой во всех точках пространства: о,=.— 2Ю„о„=О. Комплексный потенциал последнего равен (см. $27) Ф(ь) = — 2йоо~.
Возвращаясь от ~ к переменной а в соответствии с (7.21), получим выражение для комплексного потенциала исходной задачи: Р(») = — 2/тоо~(г) = — Лов(»/К+Щг) = = — о(г ехр (10) + (/г*/г) ехр ( — 10)]. (7.22) Отсюда для потенциала имеем ф=йе г (г)= — о,(г+К'/г)сов О. (7.23) Для компонент скорости потока получаем: о,= д<р/дг= — о, (1 — Г/г') соз 8, (7.23') ов'= г 'д~р/дй=о,(1+/1*/г') з(п 8. Естественно, что граничные условия (7.20) для <р выполняются. В самом деле, (д~р/дг), „=О, а при г-«.оо <р-«- — о«гсоз 8= — о,», следовательно, (д~р/д»), „= — о„(д~р/ду) „=О. На поверхности цилиндра (г=Я) находим ог= О, ов = 2оо з!п 8. (7.24) Максимальная скорость имеет место в «плоскости миделя» (О= =л/2), где о=ое=2о.. 28.2.
Коэффициент давления. Давление в любой точке жид'кости можно найти, используя теорему Бернулли: р, + ро,'/2= р*+ рИ/2, (7.25) где р, и о,— давление и скорость на бесконечности; р и о — те же величины в произвольной точке. Поскольку мы знаем распределение скорости о по поверхности цилиндра (7.24), легко находится распределение иа ней давления: р=р +р(и' — о')/2=р,+ро,'(1 — 4з(пЪ)/2. (7.26) Мы видим, что давление в лобовой точке (0=0), равное р,+ +'/,рс,*, превышает давление на бесконечности. Такой же величкны оно достигает и в симметричной точке за цилиндром 123 (О=а).
При,приближении к,плоскости миделя (О= йп/2) давление монотонно падает до величины р,— '/,рс,*, меньшей р,. Параметр Р Рь=1 — 4з(п'О ~/ь ть (7.27) называют коэффициентом давления, Он не зависит ни от радиуса цилиндра, ни от плотности жидкости, ни от скорости потока. Это одно из проявлений общего закона гидродинамического подобия, о котором подробнее речь пойдет ниже. Благодаря закону подобия изложенную теорию обтекания цилиндра можно проверить, измеряя зависимость коэффициента давления от О на каком-либо случае с определенными значениями Я, о, и р.
Полученный результат будет относиться к любому случаю обтекания цилиндра. Эксперимент с реальной жидкостью не подтверждает формулы (7.27). Он показывает, что значение К действительно равно единице в передней критической точке (0=0), где поток разветвляется, и уменьшается при приближении к плоскости миделя. Од~нано в последней К не падает до значения К= — 3, как это должно было бы быть согласно формуле (7.27), а в задней критической точке (О=п) не возрастает снова до К=1. Это обусловлено тем, что в реальной жидкости безотрывное обтекание цилиндра, изображенное на рис. 7.4, невозможно. Линии тока в области и/2<0<и отрываются от поверхности цилиндра, и в этой области образуются вихри, о чем мы будем говорить позднее.
Однако это не означает, что теория обтекания тел идеальной жидкостью не имеет смысла. Цилиндр просто относится к числу плохо обтекаемых тел. Для хорошо обтекаемых профилей (например, самолетного крыла) эта теория оправдывается опытом значительно лучше. 28.3. Парадокс Даламбера — Эйлера. Обратимся еще к одной особенности обтекания тел идеальной жидкостью, а именно к так называемому парадоксу Даламбера †Эйле.
Частный случай этого парадокса легко установить, обратив внимание на симметрию выражения для давления на поверхности относительно плоскости миделя О=я/2 (см. формулу (7.26)). Вследствие этого сила лобового сопротивления, действующая на цилиндр в направлении потока, равна нулю. Хотя это утверждение и называется парадоксом, оно непосредственно следует из теоремы Эйлера и формулируется следующим образом: при обтекании тела с гладкой поверхностью идеальной несжимаемой жидкостью сила лобового сопротивления, действующая на него со стороны потока, равна нулю.
Для доказательства этого утверждения предположим сначала, что обтекаемое тело (рассматривается общий трехмерный случай) помещено в жесткую цилиндрическую трубу, образующая которой параллельна скорости потока на бесконечности (рнс. 7.5). Боковая поверхность трубы 5', так же кэк и поверх- 124 ность обтекаемого тела 5", будет составлять поверхность некоторой трубки тока. Рассмотрим два поперечных сечения трубы 5, н 5, справа н слева от тела, удаленные от него на достаточно большое расстояние, где скорость потока можно считать невозмущенной и равной — ч,. Согласно теореме Эйлера полная сила, действующая на жидкость, заключенную между поверхностями 5'+5,+5, и 5", равна разности потоков импульса жидкости через торцевые поверхности 5, и 5 .
Площади 5, и 5„как н скорости в этих сечениях, равны, следовательно, и полная сила Р,=О. рассмотрим проекцию этого векторного равенства на направление потока вдали от тела. Поскольку на 5' силы давления перпендикулярны я„интересующая нас проекция складывается из силы Р, действующей иа жидкость со стороны обтекаемого тела, и сил давления на торцах: Р+р,5,— р,5,=0. Отсюда с учетом 5,=5, и р,=р,=р, получаем, что и Р=О. Следовательно, по третьему закону Ньютона равна нулю и сила лобового сопротивления, действующая со стороны потока на тело. Предполагая теперь стенки трубы удалвн~нымн на бесконечность, получаем, что сила лобового сопротивления равна нулю и при обтекании тела в безграничном пространстве.
Если наложить на картину течения однородный поток со скоростью ч„то жидкость .на бесконечности будет в потоке — случай, когда тело движется с постоянной скоростью в покоящейся жидкости. Мы видим, что сила сопротивления его движению также равна нулю. 28.4. Циркуляционное обтекание цилиндра. При обтекании цилиндра однородным потоком также равна нулю и сила, действующая в перпендикулярном потону направлении (симметрия формулы для давления (7.26) относительно плоскости 0=0). В случае же циркуляционного обтекания тела эта сила может быть отличной от нуля.
Ее обычно называют «подт»емной» силой по аналогии с подъемной силой крыла самолета. Наложим на изученное выше течение при обтекании цилиндра циркуляционное движение вокруг его оси. Описание совокупного течения можно осуществить, взяв для комплексного потенциала сумму выражений (7.22) для симметричного потока и (7.16) (с учетом (7.16) ) для циркуляционного течения. В результате для суммарного течения получим Р(г) = — и,(з+Р*/г) +Г 1п(г)/2Ы. (7.28) Отсюда, определив ~р н ф, можно найти все характеристики течения.
Конечно, на поверхности цилиндра (г=Л) нормальная компонента скорости о, равна нулю. Тангенциальная компонента была найдена ранее отдельно для каждого из двух составляющих течений. Полная скорость и«будет их суммой. Поэтому с учетом (7.16) и (7.24) о~.- =о« ~1-» — — 2ио з!п 8+Г/2п)1. (7.29) 125 Подставляя найденное значение скорости циркуляцнонного потока на поверхности цилиндра в формулу Бернулли (7.25), для распределения давления в этом случае получаем г, Г 1'1 Р =Р«+ — р о' ~2оез1пО+ — ~ 1= 2 ~ ~ ~ 2л/1 ! = р, + — р ~ о~ (1 — 4 з(п 8) — — гйп 8 — ~ — ) ~ (7.30) 1 2Г// / Г 2 л/1 ~ 2л/1 ) Давление Р симметрично относительно плоскости миделя (О= =и/2). Поэтому, как н в безцнркуляционном обтекании, в соответствии с парадоксом Даламбера — Эйлера нет силы, действующей на цилиндр в направлении потока. Однако давление Р на поверхности цилиндра несимметрично относительно плоскости 8=0 (член — (2Го,/и/1)з(пО в (730)).
Следовательно, значения давления на нижней и верхней половинах поверхности цилиндра будут разными. Это и понятно. Действительно, наложим мысленно на симметричный поток (см. рис. 7, 4, и) цнркуляцнонное течение против часовой стрелки (положнтельное Г).
Тогда над цилиндром скорости обоих течений будут складываться, а под цилиндром вычитаться. Результирующая скорость сверху будет больше, чем снизу. Это означает, что по теореме Бернулли давление снизу будет больше, чем сверху, н на цилиндр будет действовать результирующая сила («подъемная» сила), направленная снизу вверх (по оси у). Величина этой силы, отнесенная к единице длины образующей цилиндра, равна л/3 Р„= — 2 ~ рйз(пО/18. -л/з В самом деле, в силу симметрии р относительно плоскости миделя (О=я/2) интегрирование поля давлений достаточно провести от — и/2 до и/2 и результат удвоить. Элемент плошади цилиндра будет равен МО, а проекция на ось у силы, действующей по нормали на единичную площадку, равна — р з(п 8. В результате и получается приведенная формула.
Теперь подстановка явного выражения для давления (7.30) с учетом только несимметричного члена дает л/» Р„=,— "'Р ( з(п48/(О = рп«Г. (7.31) л/3 Подъемная сила оказывается пропорциональной как. скорости набегающего потока "./„так н величине циркуляции Г. В частности, если Г поменяет знак (направленне циркуляции по часовой стрелке), то н «подъемная» сила поменяет направление на противоположное. Отметим, что формула Р=ро,Г для подъемной силы справедлива при обтекании любого цилиндрическою тела (не обяза- 126 тельно круглого сечения). Доказательство этого утверждения является предметом теоремы Жуковского. Интересно, что на использовании силы, даваемой выражением (7.31), была основана идея так называемых роторных движителей для судов. Действительно, если на корабль вместо парусов поставить вращающийся вокруг вертикальной оси цилиндр, то при наличии ветра возникает сила, перпендикулярная направлению ветра.
Однако такие движители не получили распространения. ф 29. Обтекание сферы потенциальным потоком 29А. Потенциал н скорости частиц. На примере с цилиндром мы видели, что решение двумерных задач потенциального обте- кания тел стационарным потоком идеальной жидкости сводится к поиску конформиого преобразования, переводящего область, занимаемую телом, в более простую, решение задачи обтекания которой известно. В общем случае трехмерных задач мы уже не- можем использовать аппарат конформных преобразований и должны непосредственно решать уравнение Лапласа с соответст- вующими граничными условиями.
Продемонстрируем метод ре- шения уравнения Лапласа на сравнительно простой задаче обте- ка~ния сферы '. Предположим, что на бесконечности жидкость покоится, а сфера движется с постоянной скоростью ч,. Потенциал скорости частиц жидкости ф (ч=чф) должен удовлетворять уравнению Лапласа (7.2), условию на бесконечности и условию на поверхности сферы — равенство нормальных к поверх- ности сферы составляющих скорости частиц жидко- сти и точек сферы. Первые равны (чг/г),, вторые о„= =ч,г/г, где предполагается, что начало системы координат поме- щено в центр сферы (рис. 7.6). Теперь полная математическая формулировка задачи будет: Лф=О, ч~1„„=0, (7.32) — — г = !/хв+ у'+кв.
1Ь-л Хорошо известным фундаментальным решением уравнению Лапласа, удовлетворяющим условию на бесконечности, является ф=А/г, где А — постоянная, Это решение описывает, например, гравитационный потенциал точечной массы или электрический потенциал точечного заряда, Однако в силу своей сферической симметрии оно не может служить решением нашей задачи, ко- торая не обладает такой симметрией, так как выделено направр ..о г арг р р 'В„,У„„Р г! т„,„,р„, б свести задачу к двумерной, если ввести функцию, аналогичную ф Однако мы этого делать не будем. !27 что и является решением задачи об обтекании сферы. Если теперь наложить на найденное течение однородный поток со скоростью — ч„то получается решение задачи, когда покоящаяся сфера обтекается потоком, скорость которого на бесконечности равна — ч,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
