Л.М. Бреховских, В.В. Гончаров - Введение в механику сплошных сред (1119112), страница 30
Текст из файла (страница 30)
с, с,~ с, — в ) х Й Условие ч о,тгх при г- оо удовлетворяется, потребуем теперь выполнения условия на поверхности сферы (ч1„ „=О). Положив ЗСт=С,/1', мы обратим в нуль при г=/т второе слагаемое в (8.37), пропорциональное г.
Оставшееся слагаемое, направлен- ное по оси х и равное о,— 4С,/3/1 (С,=С,/т'/3) при г=Я, обра- тится в нуль на поверхности сферы, если С, ='/,о,/с. (8.38) Таким образом, для скорости частиц жидкости при обтекании сферы получаем З р 1 де ~ З,,лх у от, г ч= /1 — — — — — — ~ч,— — — '(1 (8.39) 4 г 4 гх / 4 хт (, гт ) г или в компонентах (8.40) 31.5.
Формула Стокса. Для того чтобы найти давление р, обратимся к первому уравнению (8.31). Подставляя в него ч из (8.33) и учитывая, что то„=то,=О, Лто,-б(1/г) =О, имеем т/р= ~б(т/тд) = ч(ттЬ|), или с учетом (8.36) и (8.38) тур=т7!2т)Стд(1/г)/дх) =Ч( — '/,т)от/4х/г'). Решением последнего уравнения, равным нулю на бесконечности, будет р = — '/,т1 о,/тх/г', (8.41) Найдем силу Г, действующую на сферу со стороны потока. Очевидно, г„=Р,=О в силу симметрии потока относительно оси х. В направлении х со стороны вязких сил на единицу площади поверхности сферы согласно (8.29) действует сила /т = ампх = т1 ~ — ' + — ) лх = т) ~ — '+ — )— ~ дх, дхт) 1 дхх дхт) 145 для установившейся скорости находим (8.46) 9 ч ~ р Как мы уже отмечали, приведенное выше решение вместе с формулами (8.44) — (8.46) справедливо только для движений с малыми числами Рейнольдса (Рек.1), т. е-,чдля малых скоростей о„, большой вязкости ч или мелких частиц (О малб).
Для выяснения пределов применимости теории нужно уточнить полученный результат, учтя нелинейные (инерционные) члены. Прп этом с точностью до первых степеней ме для С имеем формулу 24/ 3 Со= — ~1+ — йе), показывающую, что линейная теория с йе !б точностью до 10е/е справедлива при Ке('/ь Это условие следует всегда помнить при применении формулы Стокса. Так, например, предельная скорость (8.46) достаточно мала и достижима лишь при малых радиусах падающих тел. А именно: из Ве= =2/1о„/ч('/, с учетом (8.46) находим Я( — ( — р ) или о ( — ( ~ ~ р1 — 1~) (8.47) В частности, для дождевых капель в воздухе К(3 10-' см (о„<12 см/с).
$ 32. Пограничный слой 32.1. Вязкие волны. Рассмотренное в гл. 7 решение уравнения Лапласа (а~9=О, к=Чу) для потенциального течения несжимаемой жидкости удовлетворяет также и уравнению Навье — Стокса (8.17). Действительно, прн этом Ьч=й(Ч~р) =Ч(й~р) =0 и дополнительный вязкий член в (8.17), равный т1ач, также обращается в нуль. Однако потенциальное решение для идеальной жидкости не удовлетворяет граничным условиям на поверхности обтекаемого тела в вязкой жидкости ввиду равенства там нулю полной скорости.
Для ряда важных случаев это отличие проявляется лишь в тонком пограничном слое вблизи границы обтекаемого тела. В качестве примера приведем так называемые вязкие волны, возникающие при периодических колебаниях безграничной пластинки в своей плоскости.
Пусть последняя расположена в плоскости (х, у), ограничивающей полупространство г)0, заполненное однородной несжимаемой вязкой жидкостью. Заладим скорость точек пластинки в виде гармонического колебания о„~,,=о,ехр ( — (ы/), п„),,=о,1,, О. (8.48) Идеальная жидкость оставалась бы при таких колебаниях пластинки в покое из-за проскальзывания. В вязкой жидкости в силу условий прилипания выражения (8.48) определяют скорости частиц жидкости при г=О, т. е. являются граничными условиями 147 Найдем решение уравнения Навье — Стокса (8.17), удовлетворяющее этим условиям.
Из соображений симметрии о„ О, а две другие компоненты скорости о„ и о, могут зависеть только от г. Из условия несжнмаемости б)чч=О (до,/дг=О в нашем случае) следует, что компонента о, постоянна, но так как при .г=О она обращается' в нуль, следовательно, о.= — 0 при всех г. В результате нелинейный член в (8.17) р(оЧ)ч=ро,(до„/дх)Чх также тождественно равен нулю.
Компонента по оси г этого уравнения дает др/дг=О (р=сопз1), а компонента по оси х будет (о„~о) до д'~~ и дг дР р Мы получили линейное уравнение типа уравнения теплопроводности. Его решение, удовлетворяющее условию (8.48), будем искать в,виде о=о, ехр [1(лг — в1) 1. (8.50) 'Подставляя это,выражение в (8.49), получаем: — (в= — ой', й =фа)/у=+. [(1+1)/~2фв~~~. (8.51) Из условия ограниченности решения при г-+со следует требование 1гп й)0, которому удовлетворяет лишь выражение (8.51) со знаком плюс.
В результате (8.50) запишем о = о, ехр ( — ув/2ог) ехр [1()/в/2чг — в/) 3, (8.52) что и является выражением для вязкой волны. Ее амплитуда убывает в е раз при удалении от пластинки на расстояние 6=72ч/в. (8.53) Чем меньше вязкость, тем меньше величина 6 — толщина слоя, в пределах которого в основном сосредоточены колебания жидкости. На расстояниях г»6, как и в идеальной жидкости, о=О. 32.2. Пограничный слой. Качественные соображения.
Допустим, что мы исследуем обтекание какого-либо тела вязкой жидкостью. Будем последовательно использовать жидкости с уменьшающимся коэффициентом вязкости, надеясь получить течение, приближающееся к случаю обтекания идеальной жидкостью. Казалось бы, что прн достаточно малых ч мы достигнем желаемого результата, так как вязкий член в уравнении Навье — Стокса при и-~0 становится все меньше и меньше. Как мы видели, мерой отношения вязкого члена (т)бч) к инерционному (р(чЧ)ч) является число Рейнольдса. Если Ь вЂ” характерный масштаб задачи (размер тела) и о,— характерная скорость потока, то по порядку величины (8.54) 148 При ч-ьО Йе-ььь, и вязкий член мал по сравнению с инерционным.
Однако оказывается, что эта оценка справедлива всюду, кроме непосредственной близости к поверхности тела — в так называемом пограничном слое, ввести который имеет смысл, если число Рейнольдса потока велико. Формальной причиной введения в рассмотрение пограничного слоя является понижение порядка дифференциального уравнения (8.17) при отбрасывании вязких членов, а следовательно, и уменьшение числа граничных условий, потребных для единственности решения зада си. Из-за этого мы уже не можем требовать равенства нулю тангенциальной составляющей скорости частиц жидкости на поверхности тела, а должны допустить проскальзывание.
Но это противоречит опыту, поскольку в жидкости со сколь угодно малым коэффициентом вязкости частицы прилипают к поверхности тела. Противоречие снимается введением пограничного слоя. Определим толщину последнего й как расстояние, на котором скорость частиц жидкости изменяется от ч=О на границе (тело предполагается неподвижным) до значения ч„соответствующего обтеканию тела идеальной жидкостью (точнее, отличающееся от о, на фиксированную малую величину).
Такое изменение ч обусловлено только вязким члеиом,в уравнении Навье — Стокса, порядок которого (~т~бч~ т)о,/и') должен быть таким же, как и порядки остальных членов уравнения. Следовательно, чем меньше вязкость ц, тем тоньше пограничный слой и тем больше Ьч-о,/6'. В результате при любом малом и в пограничном слое вязким членом ОЛч уравнения (8.17) пренебрегать нельзя. Рассмотренная выше зона вязкой волны также является пограничным слоем для случая бесконечной пластинки.
Вне этой зоны жидкость остается в покое, как если бы она была идеальной. Толщина зоны 6 уменьшается при уменьшении вязкости. Однако случай бесконечной пластинки является особенным, так как при этом тождественно обращается в нуль нелинейный (инерционный) член р(чЧ)ч. Рассмотрим другой, хотя тоже идеализированный случай, позволяющий получить результаты гораздо более общего значения, — случай обтекания потоком полубесконечной (в направлении потока) тонкой пластинки (рис.
8.6). Пусть последняя расположена в плоскости г=О, неограниченна в направлении у и занимает область х)О в направлении х. Уравнения гидродинамики вместе с граничными условиями для этого случая имеют вид; — + (ч Ч) ч = — — + чйч, Ч ч = О, дч Чр д1 Р (8.55) 149 Характерным масштабом изменения величин вдоль осн х бу дет расстояние точки наблюдения от ребра пластинки (х), по скольку другого пространственного масштаба, кроме х, в нашей задаче не существует. Вдоль осн г (в пределах пограничного слоя) характерным масштабом будет толщина последнего Ь(х). Приравняв по порядку величины вязкий (чйч) и инерционный ((чЧ)ч) члены в уравнении (8.55), можно оценить значение й(х). Как мы уже отмечали, для вязкого члена ч~Дч~-ч~длч/дг''1-чо /Ь'(х). При этом учитывается, что )д'ч/дгл'(.з )д'ч/дх'~-о /х* (й(х) « «х).
Поскольку основная компонента скорости ч есть о„-о„то, оценивая инерционный член, получаем ~(чЧ)ч) - ~о до /дх~- -о,л/х. Итак, приравнивая порядки вязкого н инерционного членов, находим: гчклм ! ч лн к (8.55) Лл (к) к (, ил ) (, иок ~ р'йе где йе=о,х/ч>)1 — число Рейнольдса. Требование Кели1 необходимо, чтобы вне пограничного слоя вязким членом можно было пренебречь. Толщина пограничного слоя растет с увеличением х, как гх.
Отметим, что число Рейнольдса для пластинки можно ввести и так: Вел= — — — — у Йе. иел (к) к к 6(к) Не составляет труда также оценить вязкую силу, действующую на единицу площади пластинки со стороны потока (см. (8.14) ): иик иик 1 1 иик1 т)ие чие (чиел ) ' У!=ч — + — = ) — — — '=р — '=р— йк йк~ ~ йк ~ 'Ь(к) И(к) л к / (8.57) Соответственно для коэффициента сопротивления Си имеем (8.58) ри' ~ иек / У не 32.3. Уравнения Прандтля пограничного слоя. Для количественного описания,пограничного слоя прн больших числах Рейнольдса можно воспользоваться тем обстоятелиством, что слой является весьма тонким.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
