Л.М. Бреховских, В.В. Гончаров - Введение в механику сплошных сред (1119112), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Оказывается, что критическое число Рейнольдса существует и в этом случае. Его значение йеь-1О' —:1О' зависит от степени возмущенности набегающего потока. Мы видим, что по порядку величины значение критического Ке, для пограничного слоя получается примерно тем же, что н для трубки. Поскольку Ке, растет при продвижении вдоль потока (увеличении х), существует критическая тачка х=х„„где Ке, достигает критического значения. На некотором интервале, включающем точку х„„характер течения в пограничном слое изменяется от ламннарного к турбулентному.
В начале этого интервала течение практически ламинарно и лишь изредка появляются и исчезают «пятна» турбулентных пульсаций, а перед областью полностью турбулентного движения уже участки ламинарного течения наблюдаются лишь спорадически. Величина критического значения Ке„а следовательно, и удаленность области перехода от начала пограничного слоя существенно зависят от гладкости поверхности.
Шероховатости, срав.нимые с й, весьма способствуют переходу ламннарного течения в турбулентное. Теоретически описать переход от ламинарного течения к турбулентному не удается. Даже более простая задача вычисления критического числа Рейиольдса в общем случае также не решена, хотя принципиально подход к решению этой задачи ясен. Он основывается на том, что как ламинарное, так и турбулентное движения жидкости являются решениями уравнения гидро- динамики, причем переход данного ламинарного течения в турбулентное происходит из-эа потери его устойчивости, т. е, из-за быстрого роста первоначально малых возмущений, всегда имеющихся в реальном «ламинарном» потоке.
Таким образом, исследовав исходное ламинарное решение уравнений гидродинамики,на устойчивость, можно найти некоторое критическое значение числа Рейнольдса Кеь при котором решение начинает терять устойчивость. Один нз возможных путей развития этого процесса при йе)Ке, описывается гипотезой Ландау, согласно которой гидродннамическая система переходит в новое устойчивое состояние, являющееся суммой исходного ламинарного движения и наложенного на него периодического колебания. С дальнейшим ростом числа Рейнольдса это движение также может потерять устойчивость при Ке=це„ что приведет к дополнительному периодическому колебанию. Ландау предположил, что этот процесс возникновения все новых колебаний с ростом Йе будет продолжаться и дальше.
В результате в гидродинамической системе с большими числами Рейнольдса должно возбудиться большое число колебаний (степеней свободы) с различными, вообще говоря, несоизмеримыми частотами. Такое состояние гидродинамической системы называется развитой турбулентностью. В ряде экспериментов (см., например, приведенное ниже описание следа за обтекаемым жидкостью цилиндром) на первый 160 взгляд подтвердилась гипотеза Ландау о последовательном усложнении состояния гидродинамической си~темы.
Однако практически удавалось заметить лишь несколько начальных стадий этого процесса, после которых внезапно осуществлялся переход к турбулентному режиму. В последнее время возниклн новые представления о развитии турбулентного движения. Чтобы понять их, заметим, что формально состояние гидродинамической системы можно описать, разложив реальное поле скорости по заданной ортогональной системе функций. Тогда коэффициенты д» этого разложения можно рассматривать как обобщенные координаты гидродинамической системы, а их производные по времени р<=дс — как обобщенные скорости.
Для течений в ограниченных областях число обобщенных координат (степеней свободы) будет счетным, но высокие номера Г', соответствующие малым масштабам, из-за вязкости возбуждаются слабо. Поэтому практически возбуждается конечное число йГ степеней свободы. Пространство (д„р,) размерностью 2йГ называется фазовым пространством течения, а линия в этом пространстве, описывающая изменение состояния системы,— фазовой траекторией. В гипотезе Ландау каждая возбуждаемая степень свободы соответствует в фазовом пространстве так называемому простому атгракгору.
Для стационарного течения — это неподвижная точка (положение равновесия типа фокуса), а для периодического — замкнутая линия (предельный цйкл). До последнего времени этим и ограничивали возможности гидродинамической системы, их нерегулярность (турбулентность) связывалась с большим числом возбуждаемых степеней свободы. Однако несколько лег назад была выдвнмута гипотеза о возможном существовании в гидродинамической системе так называемых «странных» аттракторов, существенно отличающихся по своим свойствам от простых. Характерным примером такого рода является аттрактор Лоренца, полученный при решении модельной системы трех уравнений и содержащий две неподвижные точки ~в фазовом пространстве.
Точка в этом пространстве, изображающая состояние системы, находится некоторое время в окрестности одной из них и описывает вокруг нее несколько раскручивающихся циклов, а затем переходит в окрестность другой неподвижной точки, отходя от первой на достаточно большое расстояние. В дальнейшем процесс многократно повторяется нерегулярным (псевдослучайным) образом. Странные аттракторы такого рода были получены и при анализе других модельных задач, но их существование в задачах, описываемых уравнениями гидродинамики, пока еще строго не доказано. Введение в теорию понятия о странных аттракторах качественно меняет представление о возникновении и развитии турбулентности.
В этом случае псевдослучайное поведение гидродинамической системы может проявляться и при возбуждении малого числа степеней свободы. Конечно, и здесь остается в силе за- о л. м. Бреховсхнх. в. В. Гончаров 1б1 дача об описании движения с обязательным для турбулентности возбуждением большого числа степеней свободы.
Однако эта теория пока еще далека от завершения, в то время как потреб. ности практики уже давно требовали сведений о структуре турбулентных течений. В этом, казалось бы, тяжелом положении помогают опыт, а также теория подобия и размерности, которые позволяют как пересчитывать результаты модельных экспериментов на реальные масштабы, так и получать новые результаты. 33.2.
Понятие о подобных потоках. Рассмотрим задачу обтекания некоторого тела с поверхностью 5 однородным на бесконечности потоком вязкой несжимаемой жидкости. Плотность жидкости во всем пространстве будем считать постоянной. Задача заключается в решении уравнений гидродинамики р — + р(ч 7)ч = — 7р+ Ойч, д(чч = О, дт с граничными условиями ч~,=О, ч~, „=и,Чх, г'=х'+у~+г'.
(9.2) — + го1 (е х ч) = чЬ е. дю д1 (9.3) Теперь уравнения содержат три размерных параметра: ч, Р, и,. Для дальнейшего уменьшения числа параметров введем безразмерную скорость ч'=ч/и„безразмерные координаты х'= = х/Р, у'= у/Р, г'= г/Р и соответствующее им безразмерное время 1'=и,1/Р. Другими словами, теперь мы будем измерять расстояние, скорость и время соответственно в единицах Р, и, 162 Поверхность тела Б в общем случае описывается уравнением /(х/Р, у/Р, г/Р)=О, где Р— некоторый характерный размер тела. В случае кругового цилиндра диаметром Р функция /= = (х'+у®)/Р' — '/,. В общем случае эта функция будет содержать наряду с Р и некоторые безразмерные .параметры, характеризующие отношение размеров тела по разным направлениям.
Так, для эллиптического цилиндра, положив Р равным одной из главных осей эллипса, имеем /=(х'+у'/а')/Р' — '/„где а — отношение главных осей. Помимо координат точек пространства и времени, решение нашей задачи зависит от четырех размерных параметров: тп р, и, и Р. Если бы опыт става"гь для каждой их комбинации, то ввиду большого их числа задача была бы практически невыполнимой. Однако в случае однородной (р=сопз1) жидкости число параметров можно легко свести к трем, исключив также и давление р.
Для этого достаточно вместо уравнения Навье— Стокса воспользоваться уравнением для вихря е=го1 ч, получающимся из (9.1) применением операции го1 с учетом векторного тождества (6.31) (см. также задачу (8.2): (9.5) В результате последнее уравнение вместе с сохранившими свой внд условием несжимаемости Ч'ч'=О и определением вихря еь'=го('о', а также с граничными условиями (9.4) вполне определяет задачу обтекания и содержит всего один параметр— число Рейнольдса ке. Это означает, что прн заданных ме и безразмерных координатах все течения, возникающие при обтекании геометрически подобных тел, будут выглядеть одинаково, т.
е. описываться одной н той же функцией безразмерных переменных. Иначе говоря, для геометрически подобных тел скорость частиц обтекающей жидкости, измеренная в единицах о„зависит только от координат и времени, измеренных в единицах 0 и Р(о, соответственно, и от числа Рейнольдса г к у г е»г ч = о,б ~ —, —, — '-, —, Ке1, ° ' Ь'~'~'Р (9.6) где С вЂ” некоторая универсальная функция для данной геометрии течения. Этот важный результат называется законом подобия Рейнольдса. Мы уже отмечали проявление этого закона в случае обтекания цилиндра идеальной жидкостью, где число Рейнольдса просто не входит. Не составляет труда найти явный вид универсальных функций б для рассмотренных в предыдущей главе простейших течений Куэтта и Пуазейля (для последних в качестве характерной скорости можно взять среднюю скорость потока). Эти функции оказываются не зависящими от числа Рейнольдса. Давление в жидкости принято измерять в единицах ро,'/2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
