Л.М. Бреховских, В.В. Гончаров - Введение в механику сплошных сред (1119112), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Это позволяет, как было показано впервые Прандтлем, существенно упростить уравнение Навье — Стокса в области слоя. Ограничиваясь плоской задачей (д/ду=О, о„=О), запишем уравнения (8.55) ко компонен- 150 там: дгх дгх дох ! др / д'о, — +и.— +и.— = — — — +.' — + — ' д! дх дг р дх дхг дхг (8.59) дог дог ! др дог дгх — +.— +.,— *= — — + ( — + — *' д! дх дг р дг дхг дгг дгх д"г — х+ — г=О.
дх дг Проведем оценку порядка величин входящих в эти уравнения членов иа примере'обтекания тонкой полубесконечной пластинки, хотя опыт показывает, что полученные результаты будут иметь более общую применимость. В области пограничного слоя 0(г(/г(х) положим: д 1 д ! х о„и„— — —, — — —, /г — =((х дх х ' дг а р'йе (йе= — '~ !). Проинтегрируем последнее уравнение (8.59) по г в пределах от нуля до г, (0(г,~/г(х), о,!,,=О): г дих иг ! = — г(2. е Но по порядку величины до./дх-о,/х, а интегрирование от нуля до г, эквивалентно умножению на й. Следовательно, и,-о,й/х« «о„. Оценивая теперь порядки величин в первом и втором уравнениях (8.59), например о.до,/дх- о,'/х, и„ди,/дх- и,*/г/х', мы видим, что др/дх- и,г/х, др/дг- о,*/г/хг ~а др/дх. Поэтому можно положить др/дг=О, р=р(х), т.
е. давление считать постоянным по толщине пограничного слоя и равным, например, его значению на верхней границе слоя, где жидкость ведет себя как идеальная. Это давление можно вычислить, решая уравнения движения идеальной жидкости для области вне пограничного слоя, т. е. считать р известной функцией. Пренебрегая теперь в первом уравнении (8.59) д'о„/дх*- -о,/х* по сравнению с Ого„/дг'-о,//г', получаем систему двух Уравнений, называемых уравнениями Прандтля пограничного слоя: дих дих ! др д'"х + х+ х + х д! дх дг р дх дг' (8.бО) ди — '+ — *=О. дх дг 151 Эти уравнения вместе с граничными условиями (у=О на поверх ности тела и и„-г-ог на бесконечно большом удалении от него) вполне определяют течение.
Отметим, что в пределах погранич ного слоя течение не является потенциальным: дюг дюх дюг (го(9)„= — ' — —" = — — '~0. дх дх дг В ряде задач бывает полезной интегральная форма уравнений Прандтля, полученная Карманом. Для вывода последней преобразуем инерционный член в (8.60): дюх д"г дюх д дюг д д ох — + "г — = Ох — + — (ого«) — ох — = — (и„')+ — ~огиг).
дх дх дх дг г дх Здесь мы также использовали второе уравнение (8.60). С учетом. последнего выражения проинтегрируем первое уравнение (8.60) по г от нуля до»: л л 1« « дю г дю 1» Ир дюг — дг+ ) — Иг+ о,о,~ = — — — + ч— (8.61) гн,) дх р дх дг ю ю ю введя обозначения Преобразуем члены этого выражения, Ог~г л Ог ° л л л дюг д 1 д» Р д"г — г(г = — 1 ох г1г — о, —, дг дФ ,1 дг ,) дх ю(г ю ю г л л д"г о»ог!г = олог 1ю « = ою ) — (г = .) дх ю = — ) ого'г — о' —, дг д» дхй х ю дх' о л л Г дюх д Г - д» = — ою ) — Нг = — ою — ) уг иг+ ою — ° й дх дх,) дх В результате, предположив также, что йо„/йг~,,=О, получаем искомую интегральную форму уравнений Прандтля: л л + „года дь,) ' ' д~ дх 3 ' 152 — о,— ) охю(г =: — — ч— д ' — » ир ~Ъ (8.62) дх,) р дх дг 32.4. Решение уравнений пограничного -слоя в простейшем случае.
Рассмотрим снова стационарное обтекание тонкой полубесконечной пластинки. В этом случае (8.60) допускает так называемое автомодельиое решение, когда о,= ой(ч), и,= =и4ч/о,хД(ь), ь= го,г*/~х, н уравнения Прандтля сводятся к В результате получаем для Й(х) обыкновенное дифференциальное уравнение еИ т я' и — = —— ех ее 4 — я (8.64) решением которого прн условии Ь(0) =0 будет функция И(х)= ]~* ~/Е. Отсюда видно, что полученная нз качественных соображений формула (8.56) дает правильный порядок для толщины пограничного слоя. Сила, действующая на единицу площади пластинки со стороны жидкости, будет /» —— т! (дие/дг)е — е —— т!иеп/2И = /ерио 'у (4 и)/2 (/ т/иех (8.65) В случае пластинки конечной длиной Е в направлении потока для силы, действующей на полосу единичной ширины, имеем: Ь /г =~/,дх = — ри', — 2/, 2 ' 2 г чей о е/4 — и е Ь "е Ь оеар = у — ри,— =1,31р — —, йе=— 2 г'йе 2 г'йе ' т Отсюда для коэффициента сопротивления Се=2Р/ри,'Ь следует выражение Си = 1,31/Уйе, 153 обыкновенному дифференциальному.
Мы учтем, однако, что согласно опыту (как, впрочем, и точному расчету) профиль горизонтальной скорости и„(х) неплохо аппрокснмируется функцией: и„=и, з!и $, 5=па/2Й, 0(г(Ь. (8.63) В стационарном случае д/д!=О, кроме того, н др/дх=О. В самом деле, давление р находится нз решения задачи об обтекании идеальной жидкостью, поток которой не возмущается бесконечно тонкой пластинкой. Подставляя и„из (8.63) в интегральное уравнение (8.62), находим: и лм е е2И Г ° е И в и На=и,— ~ з!г.'5Д = — и,, е о е юа 2И Г . 2И и» дх = ис — ~ з!и $ с$ = — ие. 9 а которое также подтверждает качественную формулу (8.58). Кро ме того, это значение (', мало отличается от рассчитанного на основе точного численного решения уравнений Прандтля для автомодельного случая (вместо 1,31 там стоит коэффициент 1,328). Задачи 8Л.
В выражении (8.6) постоянные а и Ь независимы. Найти связь между ними в предположении, что среднее давление р в вязкой жидкости равно давлению р, входящему в уравнения гидродинамикн. решение. Среднее давление в жидкости определяется через инвариант тензора напряженна а'м= — рба+аы следующим образом: Рю = — Чапае = Р— (заза, где пзь — тензор вязких напряжений.
Если р„=р, то пи=о, нли при подстановке (8.6) 2а дее(дхз + ЗЬ ди„(дха — — О, Ь = †'(за. Отметим, что предположение р р не следует из общих физических закономерностей. Чтобы учесть возможное различие р н р, иногда нвряду с коэффициентом вязкости я=а вводится некий новый коэффициент р (вторая вязкость), так, что р =р — рЧч. Пря этом Ь= — Чза+р=р-л(зц. Однако, как было показано экспериментально, вторая вязкость р отлична от нуля лишь в малом числе специальных случаев. В обычных классических жидкостях н газах и=о. 8.2.
Из уравнения Навье — Стокса (8.8) получить' уравнение для вихря е =го(ч. решение, Уравнение (8.8) с учетом а=и н векторного тождества (6.ЗЦ запишем в виде + ( ) +еХч= — +Чав+ (в+Ь) Р (Ч ч) дч (о«1 Чр д( (2~ Применяя к полученному уравнению операцию го( и воспользовавшись нзве- стнымн векторными тождествами: го((Чф) О, снчго!а О, го((фа)=фго(а — ахЧф, го((аХЬ) = (Ь'7) а — (аЧ) Ь+а(ЧЬ) — Ь(Ч а), получаем искомое уравнение — + (чЧ) е — (е Ч) о + е (Ч ч) = — Чр ХЧр(ре -+ и д е. дг Последнее с учетом векторного тождества ае =Ч(Че ) — го(го( е южно переписать и в таком виде: де(д(+ (ч Ч) е — (е Ч) в+е (Чч) = — Чрх Чр(рз — ч го(го(е.
ЗЛ. Используя ураваения предыдущей задачи, получить выражение для изменения во времени циркуляции вектора скорости в вязкой жидкости. решен и е. Проинтегрируем уравнение для вихря по произвольной «жидкой> (движущейся вместе с жидкостью) незамкнутой поверхности Я: 154 (Аю/б/ — (ю 7) я + е (7 ч) ) и АВ = --~(гр„ьзз шв — ~ ~~, ~мд где б ю/И=де/д(+(чЧ) е. Интеграл в левой части преобразуется по фор- муле, аналогичной (6.6) для интеграла по объему: (Аю/М вЂ” (а Ч) ч + в ~Ч ч)) и г(В = (г(/й) ) юп АЗ.
Далее, по формуле Стокса л-/ ~ые а-у и,-г. ) ~(~ ) ~я-4 ° с где 1 — замкнутый контур (граница 5). В результате для изменения цирку- ляции имеем И1' — ~(т/рхт/р/р ) пб — и $го(юбг. бг в с Если т=б и уравнение состояния имеет вид р=р(р) (баротропная жидкость), то ~грХчр=(Ар/Ар)ЧрХ тр=О и последнее выражение переходит в теорему Томсона для идеальной жидкости.
В общем случае изменение циркуляции, следовательно возникновение и исчезновение вихрей, Чвязано с вязкостью и небаротропиостью жидкости. 8А. Считая поле скоростей в несжимаемой жидкости заданным, найти выражение для лапласиана давления (4о). Указание. Применить к уравнению Навье — Стокса (8.17) оператор б(т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
