Л.М. Бреховских, В.В. Гончаров - Введение в механику сплошных сред (1119112), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Выберем в качестве 5, поверхность, ограничивающую конечный участок вихревой трубки: 5,=5~+ +5,+5', где 5' — боковая поверхность, а 5, и 5, †'поверхност» торцов. Поток вектора гв через 5' равен нулю по самому определению вихревой трубки (пго(я=О). Следовательно, остаются только потоки по поверхности торцов вихревой трубки: ~ пгво5+ ') пгвй5 = О. 3, зэ Здесь первый член отрицательный, поскольку п направлен противоположно е на 5,. Поэтому и в силу произвольности выбора поверхностей 5, н 5. мы получаем утверждение теоремы.
Из постоянства интенсивности вдоль вихревой трубки следует, что такая трубка не может начинаться н кончаться в жидкости. Вихревые трубки замкнуты нли начинаются н кончаются на бесконечности, а также на стенках или на поверхности жидкости.
Заметим, что на основании первой теоремы Гельмгольца, казалось бы, можно было бы заключить, что свойство потенциальности движения жидкости сохраняется с течением времени. В действительности же, как это хорошо известно из опыта, вихри постоянно возникают н исчезают, например кольцеобразные вихре- 107 вые нити дыма, смерчи в атмосфере и т. п. Причинами этого являются неидеальность жидкости (вязкость и отличие уравнения состояния от р.=.р(р) ), а также непотенцнальные внешние силы. Задачи 61. Показать, что Х-'(ау/Ш) =оич ч, где у= [д(хь хв, кв) Иа(фь Ыв) ]в нкобнаи преобразования от эйлеровых координат к лагранжевым.
Решение. В соответствии с формулой (6.1), правилом дифференцирования определителей н соотношением дх;/о( о~ — (-я компонента скорости— имеем ЬГ д(о„х,, х,) а(х„е,, хв» а(х„х,, о,) М даат, фв, Ре) д(фы фэ, фз) '.'дфы фв, фв) Здесь в каждом из трех полученных якобианов преобразуем элементы строки, содержащие о4хв(й„,(), (), к сумме трех слагаемых, воспользовавшись прави- лом дифференцирования сложной функции: аог аог дхв аог аьв дев дхв аов дх, + + аа( двв а$( дкв азу дха ЯГ дхв а$( Теперь, рззбнвая каждый якобиан иа сумму трех в соответствии с правилом вычисления определителей, получаем, например, для первого якобнана д(оы хв. хв) до, д(х„ хв, хв) дов д (х,, х,, «,) д($в,~в $в) дхв д(фв,Ь.$в) дхв д($в ~в $в) ао( д(хв, «в* хв» дов дхв д(4 Ь Ы дхв так как два других якобнана равны нулю из-за совпадения строк определителя.
Аналогично находим: д(х,, о„хв) до, д (х,, х„о,) до, дф„$в, $,) дхв д($в $в Ь) в дх, И окончательно ,д дев — = в — = Ха|те. ог дхв йя. Получить уравнение неразрывности в переменных Лагранжа. и' Г Решение. В силу уравнения неразрывности — ~ р(хв,т)в(У=О, где а.) У У вЂ” объем, движущийся вместе с жидкостью. Переходя под интегралом к переменным Лагранжа, находим в( 1'в С вЂ” ~ ~Р(хван(), Г) УдУ= — ~ Ра,, Г) ЛП~- а(3)~ ' ' и.) у, У, 'Г (Р(в Г) з) дУ вЂ” О 108 В силу произвольности обьема )го получаем искомое уравнение неразрывность в лагранжевой форме; з( (р(з св Ь, г)з] О.
дг 6.З. Пусть при )>О и хз>0 задано поле скоростей частиц жидкости в описании Эйлера: и,=из=О, из(хз, Г) =)(хз). Найти лаграижево описание етого движения, рассмотреть частный случай г(хз) =~2ухз Р е ш е н и е. Поскольку и,=и,=О, то в координатах Лагранжа (За) имеем зависимость только от $з.. ха=хэма, (), х, $ь язв - $з.
Но тогда ив($э,з) =(дхв(ав,г)]lдг=((хэ(аьг)], что дает после интегрирования (учитывая, чтзз при г=О хз Зз)г= (з(хзу(хз)]. В частности, для ](хэ) уййхэ имеем У22(=29хз — увв). Отсюда находим хэ=фз+У2дфз(+й(92, иэ(йв, Ф) У2дфэ+ф, авДв, |) =Р, т. е. получилось движение частиц жидкости с постоянным ускорением я (движение в водопаде). 6.4. Радиус сферы, находящейся в жидкости, язменяется по закону й=й(О (й(0) =йо). Найти зтот закон, если известно, что ри г>0 н г>й(Г) скорость частиц жидкости опксывается формулой и,(г) =и(г) = = иойозггз Решение.
Нам задана скорость в зйлеровой ноординате г. Найдем ее выражение в лагрзнжевой координате», где» вЂ” положение фиксированной частицы при с=О. Имеем по условию задачи з(г (», й) йоио и(», г) = — ' Й га(», Г) Интегрируя зто уравнение с учетом г(», 0) =», находим: г(», Г) = (»в+ЗйовиоГ) зго, и (», Г) = йо'ио(х'+Зйоэиот) Интересующий нас закон изменения радиуса будет РЯ =г(йо, Г) =йо(1+ЗиоЦйо) го. бдд Написать дифференциальное уравнение для определения линий тока в жидкости, скорость частиц которой в каждой точке пространства известна: из(ха,з).
Р е ш е и н е. Пусть линия тока задана параметрическим уравнением хз =хз(з), или в векторной форме г=г(з), где з — длина дуги вдоль линии тока. Поскольку вектор касательной к линии тока з(г/гз параллелен вектору скорости и, то з(ггз(з= Сч, С=сопщ, Следовательно, искомым уравнением будет иа озэ иа з(з и з з(5 6.6.
Показать, что при стационарном течении жидкости (див/дз 0), а также для течения, в котором из(ха, Г) мо(ха)1(Г), линии тока и траектории частиц совпадают. $09 Решение. В общем случае траектории частиц жндкостн находятся нз решения уравнений з(хо/4и = ог (ха, Н, которые можно также записать в виде о з(х», Г) дхз/з(Г = о з(хз, () дкз/Й = о '(хз, () дхз/з(Г. Линии тока находятся нэ уравнений оз ~ (кз, П дхз/дз = о з (кз, () з(кз/дз = оз ~ (ха, () Ихз/дз, в которых время ( является параметром.
В стационарном случае оз=оз(хо), в результате чего обе системы уравненнй становятся эквнвалентнымн. Аналогично н во втором случае: уравнения для лнннй тока в~-'о(Х1/о(э=аз-Чхз/Из= =аз Ыхз(дэ н уравнения длн траекторнн аз-'(хз)дх,/д(=аз-'(хо)дхз/з(Г= вз '(хз)дкз/о(( совпадают. 6.7. Показать, что во вращающейся как целое с круговой частотой Я жидкости вектор вихря ввзго1 т=2И. Решение. Имеем в компонентах во=доз/дхг — доз/дкз, вз до~(дхз — доз/дхь вз=доз/дк,— до~/дхз.
Подставляя сюда соответствующие компоненты вектора Я Х г (Язхз Язкз Язкз — Язкз. Язкз — Язхз) который н описывает вращенне жидкости как целое, имеем вз=2Яь вз 2Яь вз=2Яз, в=2Я. 6.6. Получить днфференциальные уравнения длн внхревых линий в жндкостм для общего случая н проинтегрировать нх длн частного случая, рассмотренного в предыдущей задача. Р е ш е н н е.
Еслн г=г(з) (хо =хо(э) ) — параметрнческое уравнение вихревой лнннн, то, по ее определению, дг/дз Св, где в го1т — вектор вихря С=сонэ(. Расписывая полученное равенство по компонентам, легко получаем в~ 'дк1/з(э=во 'дкз/да=во-'дкз(о(з. В случае вращения жндкостн с частотой И имеем в соответствнн с задачей 6.7 в=2Я. Тогда, как легко видеть, уравнение для вихревых лнннй (2Яз) 'дх~(да=(2Яз)-Ыкз/Из=(2Яз) Ыкз/г(зявляется уравненнем прямой линни, параллельной вектору Я: (х1 х!о)/Я! — (Хт кзо)/Яз — (кз — хзо)/Яз, что и должно быть в силу постоянства вектора вихря в=2Я. 6.9. Определить эавнснмость давления идеального газа от высоты в поле силы тяжести, еслн температура газа изменяется по закону Т Т(г).
Рассмо- треть частные случаи: а) 7=То=спой; б) Т=Т,(1 — г(Н) (г(Н); в) Т=То(( — гз/Нз) (г(Н). Решение. Уравнение состояния ндеального газа р (((/р)РТ(г), где р — молекулярный вес газа. Отсюда р=рр/НТ(г), нрнчем прв Х=О имеем ро=рро/ЙТо (р/ц роТо(ро). Подставляя р в уравненне гндростатнкн (623), получаем уравнение, которое легко интегрируется: о В частных случаях <໠— «в» имеем; а) Т(г) = То, ~ То(Т(г)г(г= г н для р получаем формулу (6 26); о б) Т (г) То (1 — г(Н), ) Та(Т (г) ) (1 — г(Н) з «(г = а о — Н 1п (1 — г(Н) н Р (г) Ра (1 — г(Н)'", аз 2Р«Н(Ра) в) Т (г) То (1 — га(На)о ~ (То(Т (г)) г(г (Н(2) 1п ( (1+ г(Н)((1 — г(Н) ! ° Р (г) Ра !(1 г(Н)((1 + а(Н))н', аа аз(2 йраН(йро.
6.10. Пусть жидкость с уравненвем состояния Р=ро(р(ра) ° находвтса в ноле силы тяжести. Определить гидростатнческое распределение давления. Решение. Пользуясь уравнением (6.23) н учитывая задаввую связь р=р(р), находим 6.11. Цилиндрический сосуд с несжимаемой жидкостью в пола палы тяжести вращается с постоянной угловой скоростью й вокруг вертикальной осн цилиндра. Определить форму свободной поверхности. Решение. Напишем уравнение Эйлера во вращающейся системе координат: о(ч ЧР— — 2Ч вЂ” а о(( р цб где аяа й'г — центробежное ускорение. В цилиндрических коордвнатах в условиях равновесия (ч=О) имеем: 1 др ! др 1 др — — — +йзг=О, — — =О, — — — 2.
р дг * рг до ' р дг После интегрирования этой системы уравнений получаем Р(г, г) =ро — арг+рйогз(2, где Ро Р(0, 0). На свободной поверхности Р(г, г)=Р< — атмосферное давление, что дает Ро — Ра йз г (г) — + — г' цр 2я 111 6.12. Определить зависимость давления от расстояния до центра Земли, считая вещество Земли несжимаемой жидкостью плотности р. Вращеыием Земли пренебречь.
Решение. Уравнение гндростатики (6.22) в этом случае имеет вид г/р/бг = — Ро/и/г/г — рй (г), Зависимость ускорения силы тшкести от г можно найти из закона всемырного тяготения 6(г)=уМ(г)/го, где М(г) =о/вихор — масса жидкости, заключенная в сфере радиусом О у=667.10-о см'/(со г) — гравитационная постоянная. В частности, известное значение ускорения силн тяжести на поверхности Земли будет го=я(Я) =ТМ(/с)//(о, где И вЂ” радиус Земли (И=6400 км, го=9,81 м/с'). Теперь легко получить г(Р/о/г= — Рйог/К Р(г) Р,+йоР(йо — г')/2Р., где ро — давление на поверхности Земли. Максимальное давление в центре Земли равно р(0) =ро+йоро/2/2. Среднюю плотность вещества Земли можно оценить, воспользовавшись выражением яо через у и и' Р=Зйо/(4пуй), что дает для р(г) и р(0) соответственно: р(г) = р +(Зйр/йму) (! — гз/Гсо), р(0) р +Зло/йму-10о атм.
6.13. Пусть го — высота уровня жидкости в сосуде, г — высота отверстия иад основанием сосуда. Определить расстояние, на котором вытекающая нз сосуда жидкость достигнет плоскостн основания сооуда. При каком г (прн заданном го) это расстояние будет максимальным) Решеыи е. Горюоытальная, скорость истечения жидкости в соответствии с (6.39) есть и У28(го — г). При свободном падении в поле силы тяжести частицы жидкости достигнут основания сосуда за время 1о=рйг/8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
