Л.М. Бреховских, В.В. Гончаров - Введение в механику сплошных сред (1119112), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Переход от одного описания к другому. Связь между двумя описаниями в общем случае является весьма сложной. Например, если известно давление в лагранжевом описании р,(К„1), то для получения давления в точке (х,) р,(хь Г) (эйлерово описание) нужно найти начальное положение Щ той частицы, которая в момент времени 1 придет в точку (х„). Другими словами, нужно разрешить относительно $„систему уравнений Х» — — Х»($„1) (»=1, 2, 3), Чта даЕт р,(Х„, Г) =р,(я»(Хь 1), »1. ДЛя существования обратных функций й»(х„Г) необходимо и достаточно, чтобы якобиан преобразования был отличен от нуля.
В некоторых случаях важно знать, как меняется якобиан » со временем. Нетрудно показать (см. задачу 6.1), что — — = — = »11ч ч. 1 Ы д»»ь (6.2) »и дхе Учитывая теперь, что !пп(йх»/М) = о„, получаем » вью век / д д о~ = — + о» вЂ” = ~ — + о» вЂ” 1 оь (6.3) д! дх» ~ Вг дх» / или в векторной форме а= — +(ч ч)ч =- ( — + чр)ч. дч т д д1 ~а~ Аналогично находится скорость изменения произвольной (скалярной нлн векторной) величины / для данной частицы.
Эту величину называют субстанциональной, или материальной, производной, а также полной производной, или производной по траектории, н обозначают й//й! (в литературе также встречается обозначение Р//Р!). Частную же производную д//д! в эйлеровом описании называют также локальной. В наших обозначениях связь между субстанциональной н локальной производными имеет внд й/й!=д/д!+ (чт/). (6.4) Мы в основном будем пользоваться эйлеровой формой описания движения. Для дальнейшего полезно получить выражение для субстанциональной производной от интеграла по некоторому объему т', состоящему из одних и тех же частиц, т.
е. движущемуся вместе (6.3') 20.3. Субстанциональная н локальная производные по времени. В описании Лагранжа частная производная по времени от какой- либо величины боответствует скорости ее изменения для данной жидкой частицы. В частности, о;=дх,/д/ н до,/д! есть скорость и ускорение частицы соответственно. В эйлеровом же описании частные производные по х; н ! являются компонентами градиента и скоростью изменения соответствующей величины в данной точке пространства. Поэтому величина дч(х„!)/д! уже не является ускорением частицы, находящейся в момент времени ! в точке (х„), так как в момент времени /+А! в точке (х,) находится уже другая частица.
Так, например, в водопаде скорость в данной точке (х,) постоянна (дч/д!=О), в то время как под действием силы тяжести частицы ускоряются. Найдем выражение для ускорения частиц жидкости в описании Эйлера. Пусть за время А! частица, находящаяся в момент времени ! в точке (х,), переместится в точку (х»+Ах,).
Тогда !-я компонента ускорения найдется как !1ш [ос(х» + Ьхм ! + й!) — о»(х», !))/А! = Ы-~о = !ип [о~(х», !) + (до~/дх») йх»+ (до~/д!) /(! — о~(х», !))/И. Ы-» 88 с жидкостью; 1= ~Р(хь 1),(У Л д а е ) Здесь à — произвольная скалярная или векторная функция. Если перейти под интегралом к переменным Лагранжа х< — х,(йм 1), то интегрирование при любых 1 будет проводиться по фиксиро- ванному объему У„который занимал~и частицы в начальный мо- мент времени. Следовательно, мы имеем право менять местами ~(/Ю и интегрирование по У,.
Таким образом, — = — "Р7б~гб$Ф$з = "— (РУ) Ж~1ЖзЖэ, ж гг,1' ' ',) аг У", Уе (6.5) где У вЂ” якобиан преобразования (6.!). Возвращаясь в (6.5) к переменным Эйлера (обратное преобразование), запишем Воспользовавшись теперь (6.2) и (6.4), окончательно получаем — "' = — '~рбУ= И вЂ” '"+(чЧ)р+ рЧч,аУ. (6.6) (6.7) ~ — Р+ чЧр+ рЧч) НУ=О, /др ~аг (6.8) откуда в силу произвольности объема У, приравняв нулю подынтегральное выражение, получаем искомое уравнение неразрывности — +чЧр+рЧч =О или — +Ч(рч)=-О, или ар ар д~ д~ — + р Ч ч сг О. ер ш (6.9) $21. Система уравнений гидродинамики 21.1.
Уравнение неразрывности. Одним нз фундаментальных уравнений гидродинамикн является уравнение неразрывности, или закон сохранения вещества. Ои выражает тот очевидный факт, что масса жидкости в объеме, охватывающем все время одни и те же частицы, сохраняется. Математически зто можно записать так: Н Р вЂ” ~р,( =О. е3 ч Применив формулы (6.6) н (6.4), перепишем (6.7) в виде Интегральная форма уравнения неразрывности (6.8) имеет простой физический смысл, который становится ясным, если, используя теорему Гаусса — Остроградского, преобразовать интеграл по объему от чЧр+рЧч=Ч(рч) в поверхностный Ч(рч)дУ= ~рчпдЯ, где п — вектор внешней нормали к поверхности 5, ограничиваю- щей объем У. В результате нз (6.8) получаем — ~ рдУ = — ~ р чп д5 (6.
10) — скорость изменения массы жидкости внутри фиксированного объема У равна массе жидкости (с обратным знаком), вытекающей в единицу времени из объема через его поверхность 5. Заметим, что этот факт можно было бы взять за исходный н с помощью обратных преобразований вновь получить формулу (6.8). 21.2. Уравнение Эйлера. Перейдем теперь к выводу уравнения движения жидкости, называемого также уравнением Эйлера.
Для этого достаточно применить второй закон Ньютона: производная по времени от количества движения (импульса) некоторого объема жидкости равна сумме сил, действующих на этот объем: — ( рчдУ= Р+Р„ М,) (6.11) Р, = — ~рпд5 = — ~ЧрдУ 5 (6.12) В результате (6.11) с учетом (6.12) н выражения для внешних сил запишем в виде [ (Р + рч(Ч ч)1 дУ = ~ ( — Ч р+ р 1) дУ. а (6.13) где Р= ) рЫУ вЂ” внешняя объемная сила (1 — сила, отнесенная к единице массы); Р,— сила, действующая на объем У со стороны окружающей среды через ограничивающую поверхность 5. В идеальной жидкости поверхностные силы определяются только силами давления р и равны (с обратным знаком) силам, действующим со стороны объема У на окружающую жидкость. Так как давление действует по нормали к 5, то Р.= — ) рпд5, где и — внешняя нормаль к 5.
По теореме векторного анализа, аналогичной теореме Гау=са, имеем Если теперь, приняв во внимание уравнение неразрывности (6.9), преобразовать подынтегральное выражение в левой части сле- дующим образом: (РЧ)+ рч(Чч) = р — + ч ~ — -)- РЧч) = Ф ЫЧ / ар М ж Ь дч дч = р — = р — + р(ч7)ч, Ж д1 Ф а также воспользоваться произвольностью объема У, то получа- ем искомое уравнение Эйлера — = — +(чЧ)ч = — — +1.
Ыч . дч Чр (6.14) Ж д~ Р 21.3. Полнота системы уравнений. Уравнение (6.14) вместе с уравнением неразрывности (6.9) составляет четыре скалярных уравнения для пяти скалярных величин (плотностн р, давления р и трех компонент вектора скорости о,). Следовательно, система уравнений пока незамкнута. Замыкающими для нее являются термодинамическое уравнение состояния, связывающее три вели- чины, например давление р, плотность р и энтропию з: р=р(р, з), (6.15) и уравнение для энтропии. Как мы уже условились выше, энтро- пия данной жидкой частицы остается постоянной, т; е. — = — +ч7з О.
~й дв (6.16) Й д1 Заметим, что требование изэнтропичности процессов в идеальной жидкости не противоречит возможности изменения энтропии в заданной точке пространства. Это изменение может происходить в связи с приходом в данную точку новых частиц жидкости. Энтропию з можно исключить из уравнений, для этого нужно взять от (6.15) субстанциональную производную по времени и обозначить с'= (др/др) ° .
(6.17) В результате получаем ар/а/ = с'с(р/сй; (6.18) где с' уже следует считать заданной функцией р и р. Как будет видно ниже (ом. гл. 12), с является скоростью звука в среде. Если жидкость является баротроаной, т. е. давление зависит только от плотности р=р(р), (6.19) то последнее уравнение и будет замыкающим для системы (6.9), (614). Вид функции р(р) зависит от свойств рассматриваемой жидкости или газа. В частности, для идеального (термодинами- чески) .газа имеем уравнение аднабаты рт1=сопз1, где ч=с„/с„— отношение теплоемкостей газа прн постоянном давлении н объеме. Но 1'=1/р — удельный объем, поэтому р=р,(р/р,)'. Полная замкнутая система уравнений (6.9), (6.14) и (6.18) нли (6.19) называется системой уравнений гидродинамики идеальной жидкости. Для решения конкретных задач к уравнениям нужно добавить соответствующие граничная условия, Так, например, на неподвижной границе с абсолютно твердым телом должна обращаться в нуль нормальная компонента скорости с„, на тангенцвальную компоненту в случае идеальной жидкости никаких ограничений не накладывается иэ-за отсутствия напряжений сдвига.
Примером силы 1, входящей в уравнение Эйлера (6.14), является сила тяжести. Прн этом 1 равна вектору к(к=1к1= =9,81 м/с'), направленному к центру Земли. В уравнения могут войти также силы притяжения Луны н Солнца, которые учитываются в теории морских приливов. В динамике океана и атмосферы оказывается существенной неинерцнальность системы отсчета, связанной с вращающейся Землей.
При этом в систему уравнений гндродннамнкн должны быть введены силы инерции: центробежная 1„,=И'г= Ч (И*т'/2), где И вЂ” частота вращения Земли, и сила Кориолиса 1„= — 2ИХч. Заметим, что все рассмотренные нами силы, кроме корнолнсовой, являются потенциальными, т. е. представимыми в виде градиента от потенциальной функции: 1= — Чи. Рассмотрим здесь также важное в приложениях упрощение уравьений гндродинамнки, связанное с предположением о несжимаемости жидкости. В этом случае плотность каждой частицы должна оставаться постоянной: ар/Ж=др/д1+чЧр=О. Прн этом нз уравнения состояния (6.18) вовсе не следует, что с(р/а/=0, так как в несжимаемой жидкости скорость звука с бесконечно велика. Таким образом, в несжимаемой жидкости уравнение (6.!8) заменяется на йр/й/=0 и с учетом уравнения неразрывности будем иметь др/д/+чЧр=О, Чч=О, (6.20) так что система гидродннамнческих уравнений остается замкнутой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
