Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 2 (1119110), страница 99
Текст из файла (страница 99)
ствах кокцснтрацнп напряжений (см. ниже, 1 3). з 2. Концентрация напряжений 527 на участке оси х ~х~ «» а. Штамп при этом находится под действием силы Р, уравновептнвагощей силы, приложенные к нижней полуплоскости, и производит растягивающее действие б) Рис. 188. К аналогии между задачами об упругой плоскости с прямолннейнмми щелями, находящейся под действием растягивающих сил, н действии врямоугольного штампа на упругую нагруженную полуплосиость.
(рнс. 183, б). Можно у всех приложенных сил сменить знаки на обратные и получить задачу о жестком прямоугольном штампе, -а а а) б) Рис. 184. К аналогии между задачами о растяжении шгосяостя с внутренней щелью н давлении прямоугольных штампов на нижнюю нагруженную полу- плоскость. примыкающем к нижней нагруженной полуплоскостн, под действием силы — Р, принсимающей его к полуплоскости на участке оси х ! х ( ~ а (рис. 183, в). Аналогичное рассуждение можно провести и в случае растяжения силами, симметричными относительно оси х, плоско- Гл. ХП Плоские задачи к теория трещин сти, ослабленной одной или несколькими внутренними щелями, расположенными вдоль оси х.
Штампы при атом должны примыкать к нижней нагруженной полуплоскости на всех сплошных участках оси х (рис. 184). Таким образом, любое решение задачи о плоскости, ослабленной прямолинейной щелью или системой щелей, расположенных вдоль одной прямой, и находящейся под действием нагрузки, симметричной относительно атой прямой, может быть истолковано как решение задачи о гладком прямоугольном штампе или системе штампов, примыкающих к нагруженной упругой полуплоскости. Из приведенного выше анализа задачи о щели следует, что распределение напряжений под поверхностью гладких прямоугольных штампов вблизи их концов имеет особенность, описываемую формулами (2.10).
Покажем, что функция Задача о давлояпи прямоугольяого штампа г Р (2.29) ме упругую полуплосяость я у ае — аа дает решение задачи о давлении жесткого абсолютно гладкого прямоугольного штампа ширины 2а на упругую полуплоскость, когда штамп может перемещаться только поступательно в вертикальном направлении параллельно оси у, под действием силы — Р. В самом деле, вдоль У действительной оси х нз (2.29) и (2.7) имеем р„, = 0 при любом х, р„= 0 прн)х() а и (2. 80) Р -а а а а' кри ~х) а а. Из (2.29) и (2.8) легко получим, что и =- сопз$ при (х! ( а, у=О.
На рис. 185 построено распределение напряжения рю под штампом, на краях штампа ре, обращается в бесконечность. Из симметрии распределения р,е под штампом относительно оси у ясно, что силы, действующие па штамп, проводятся к равнодействующей, линия действия которой проходит через середину ширины штампа. Величина втой силы равна Р: а а ~р„(х= у' ~ -"а — а Напряжения и перемещения в любой точке упругой полуплоскости можно вычислить по (2.29), (2.8) и (2.9). Ряс.
185. Распределепяе капряженин Рее поД глаДким жестким прямоугольным штампам. 1 2. Ковцевтрация вапряжейвй Б29 Рассмотрим теперь задачу о давлении ва упругую полуплоскость жесткого штампа ладанкой ширины 2а с абсолютно гладкой поверхностью, имеющей в плоскости ху некоторый заданный слабо иэогиутый прокогда штамп смещается только посту- Задача о давленяэ ва упругую полуплоскооть жесткого штампа постояв- вой ширины в слабо вскривлеппого профпля филь Р(х) — сопэВ, пательно по оси у. Получим решение этой задачи с помощью подбора функции Я~(э).
Граничное условие рм = 0 при у = О удовлетворится автоматически, если воспольэоваться формулой (2.7) для рю. В силу того, что перемещением(х) под штампом согласно граничным условиям задачи задано, иэ (2.8) будем иметь 1шХо=. Р 1'(х) при!х((а, у=О, где Р(х) — известная фупкция х. Продифференцировав это выражепие по х, эолучимдля определения функции 7ь(э) бледующее условие: 1 ™ ( ) = 1 - — 7" (х) = — У'(х) (2 30') при у = О, (х ! ая а. Решение задачи о нахождении функции 7с(г) по условию (2.30') дается формулой (2,9) (см. также сноску на стр. 518), а именно: Чь 16 л.
и. соков. ток э Очевидно, что построенва я таким путем функция Я~ (э) удовлез воряет такпсе граничному условию р„= 0 при )х) ) а, у = О, так кэн согласно (2.7) и (2,31) р, = 1)еЕ~ = 0 при )х() а, у=О. Таким образом функция 7~(х), определяемая формулой (2,31), удовлетворяет всем граничным условиям ва границе упругой полуплоскости у= О. Одвако эта функция не можот быть непосредственно истолкована как решепие рэйсмэтриваемой задачи о штампе. Действительно, определяемое ею распределение напряжений таково, что раэводействую~цаэ усилий на бесконечности равва пулю, в то время как она должэа ураввовеп1иваться отличкой от нуля силой, действуюшей ва штамп. Кроме того, иэ решеиия эадачи о давлении штампа с искрлвленвым профилем при г"(х) 0 должно получаться рассмотреивое выше решевие вадачи о давлении прямоугольвого штампа. Поэтому для решения задачи о давлении ва упругую полуплоскость штампа заданной ширины 2а, имеющего слабо вэогвутый бЗО Гл.
Х1. Плоские задача и теория трещвв профиль И(х), возьмем функцию Ег (г) в виде а Ег(з) = " т (") ~ " И$+, (2.32) л1(1 — а) Уг' — а' г' л Уа' — аз' — а где С вЂ” пока неопределенная постоянная. Функция (2.32), очевидно, удовлетворяет всем граничным условиям задачи на границе упругой полуплоскости р = О. В окрестности бесконечно удаленной точки для функции Яг (х), определяемой формулой (2.32), имеем разложепие Ег= — —.т ОЯ Полагая з = х + 1у = ре", с помощью (2„7) в окрестности бес- конечно удаленной точки о точностью до малых высшего поряд- ка для компонент тенвора напряжений получим р„= — 'яп0(1+ соз20), С лр С Рм = — яп 0 (1 — соз 20) лэ С Рм = — яп0яп20.
ла (2. 33) Р„= ~р„,й, р„= ~р„й, М= ~(рлх — р у)й по полуокружвости М большого радиуса, получим г"„= О, ЛХ О, Р„= С. Иа условия равновесия полуплоскости и жесткого штампа следует, час С = Р, где Р— величава равводействующей приложенных к штампу сил. Таким образом, с помощью функции мокше удовлетворить всем уравнениям и граничным условиям С помощью этих формул легко подсчитать компоненты г' и г"з результирующей силы У' и величину результирующего момента М, к которым сводится распределение напряжений в окрестности бесконечно удаленной точки. Вычисляя интегралы $2.
Коицеитрацвя напряжений задачи; эта функция дает полное решение задачи о давлении под действием силы Р жесткого абсолютно гладкого штампа заданной постоянной ширины 2а и профиля г'(х) на упругую полуи лоскость. Заметим, что второе слагаемое в формуле (2.34), соответствующее решению задачи о давлении прямоугольного штампа, играет основную «несущую» роль, а первое слагаемое соответствует возмущениям, вызванным искривлением профиля штампа. Допустим, что штамп ширины 2а имеет Иааачв о 'шале"и" ш*ампа профиль в виде дуги окружности достав профилем в виде дуги окружиоети большого точно большого радиуса Л, тогда радиуса иа упругую х* х полуилоскость »г(л) = —, Г(в)= ~ .
Следует различать два случая: первьай, когда ширина 21 контакта штампа с границей полуплоскости-. меныпе всей ширины штампа 2а(( (а) (рис. 186, а) и второй, когда штамп л) Рис. 18б. Давление иа упругую полуклоскость жесткого штампа пологого профиля У(х) =- х'/2й; с) ширина участка контакта меньше всей ширины штампа, б) ширила участка контакта совпадает с шириной штампа.
соприкасается с полуплоскостью по всей своей ширине 1 = а (рис. 186 б), В первом случае согласно (2,34) решение имеет вид 1 2« = — тл Ыз+ — =. (2.35) р г4ри 4« Р яп(1 — с) Уи, в« и г' 1~ — г« Вычислив первый интеграл с помощью теоремы о вычетах, будем иметь г, = Р (и " + Р" + ' ,. (2.36) 2Л (1 с) ):1~ сг л (1 — с) я )Г(« — с« С помощью атой формулы и (2.7) легко найти распределение 532 Гл.
ХП Плоские вадачи и теория трещин напряжения р„мод штампом 2Л(1 — о) у(~ — зх я уя — хз Ширину 2( участка контакта штампа с границей упругой среды можно определить иа условия отсутствия концентрации напряжений в окрестности его концов р„= О при у = О, х =- + 1. Из (2.35) при атом получим 23Р (1 — с) яр В этом случае зпюра напряжений имеет зид, приведенный на рис. 186, а. Второй случай, когда ширина участка контакта штампа с упругой средой совпадает с шириной штампа, имеет место при условии, что величина равнодействующей сил давления на штамп удовлетворяет неравенству ярах Р) В формулах (2.35) — (2,37) в этом случае следует положить 1 = а, Вблизи краев штампа будет иметь место концентрация напряжений (рис. 186, б).
$3. Теория трещин Все твердые тела при соответствующих условиях разрушаются, При разрушении твердые тела распадаются па части. Разрушение может иметь различный характер в зависимости от механических свойств тела, его конфигурации, вида яагрузок, скорости нагружения, температуры, вида и свойств окружающей среды') и других факторов, Разрушение может быть названо хрупким, квазихрупким, вязким, упруго-пластическим и т, д, в зависимости от того, какие из свойств материала играют определяющую роль при данном процессе разрушения. ') Например, раарушение стекла в воде происходит иначе, чем в воздухе.
Разрушение в воздухе и пустоте может происходить по-равному. Известно, например, что малые количества ртути на нозерхпостк трещин резко снижают сопротивляемость алюминия распространению трещин вт.д 1 3. Теория трешка ~руккее в кваааирупкое Под хрупким раврушением понимается разрушения такое разрушение, при котором образовавшиеся после разрушения тела части можно сложить так, чтобы составленное тело совпадало с исходным. Благодаря отсутствию заметных остаточных деформаций, обусловлнваемых свойствами пластичности или вязкости, разрушившиеся хрупким образом предметы можно склеивать. Прн хрупком разрушении в телах возникают и распространяюзся макроскопические трещины.
Треснувшее нлн разбитое стекло может служить примером хрупко разрушившегося тела. Многие металлические конструкции при возникновении и распространении в них макроскопнческих трещин разруша1отся квазихрупкнм образом. При квазнхрупком разрушении в приповерхностном слое малой толщины на берегах трещин возникает пластическое деформирозапне. Предложенные теории хрупкого и квазихрупкого разрушений основаны на результатах классической теории упругости с малыми деформациями. В Я 1 и 2 этой главы изложен математический аппарат, используемый в теории распространения трещин при хрупком и квазихрупком разрушениях. Ниже рассмотрены только случаи равновесия и распространения трещин от тонких щелей, имеющихся а начальном состоянии тела, и не затрагивается вопрос о начальном возникнозении трещин.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
