Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 2 (1119110), страница 103
Текст из файла (страница 103)
Соответствующая обобщенная теорема Н. Е. Жуковского для сил, действуюпрлх на присоединенные вихри, разъяснена на стр. 300. Вычислим теперь величину дАзв для Формула Ирвина трещины в случае плоского деформированного состояния. Для вычисления ((Адй воспользуемся асимпто(е) тическими формулами (2.11), (2.12), (2.18) и (2.19), установленными при решении задачи об упругой плоскости со щелью, и формулой (3.16). В действительности при квазихрупком разрушении законы линейной теории упругости в малой области вблизи краев трещины не описывают реальное поведение ма- 1 3.
Теория трещин 549 териала (из-за проявления нелинейных эффектов, свойств пластичности и т. д.). Все же указанный прием вычисления НАЩ для квазихрупких тел можно применять, если иметь в виду следующие соображения. Из уравнения (3.7) следует, что величина НАМ, непосредственно связанная с эффектами, проявляющимися лишь в малой области у краев трещины, балансируется с приращениями остальных величин, входящих в это уравнение, для всего тела в целом. В связи с этим для правильного определения г)А3~ достаточно, чтобы вычисление остальных величин в атом уравнении осуществлялось правильно в главной части тела.
Ввиду малости особой зоны вблизи краев трещины, в которой проявляются усложненные свойства тела, можно считать, что ее влияние на основную часть тела таково, как если бы все тело, включая малую область краев трещины, было упругим. В связи с этим мы можем пользоваться для определения ЫАлл законами оз теории упругости, не беспокоясь о том, что они не описывают реальные явления в малой области у краев трещины, и помня, что прн вычислении г(Ал~х в рамках упругой модели удовлетво ряются все законы сохранения так же как и в усложненной ыодели, описывающей детали явления малой окрестности краев трещины. Хорошее соответствие действительности законов теории упругости в основной части объема показывает, что расходы энергии у края трещины в действительном явлении и расходы энергии, рассчитанные по теории упругой модели, одинаковы. Точность совпадения для хрупких и квазнхрупких тел гарантируется удовлетворительной применимостью теории упругости для расчета полей напряжений и деформаций зо всем объеме тела, за исключением весьма малых областей вблизи краев трещин.
С помощью формулы (3.16), используя для р„и р„формулы (2.11) и (2.18) при Ю = О, г = х, а для и и и формулы (2.12) и (2.19) при 6 = я, г = б( — х, для величины бАэяэ', рассчитанной на единицу ширины пластины, получим ') м ЬА~в1 = — ~ (ртти+ ржи)Нх = —:(йг+ lгггг) Ы.
(3.18) Как видно, вывод формулы Ирвина (3.18) связан с рядом существенных допущений. Однако формула Ирвина, получен- ') Если напряжения иа бортах трещины отличны от нуля, то нужно учесть также второй интеграл в формуле (335). Однако если ре ограничено, то вычисление этого интеграла ио асииитотическим формулам дает малую величину высшего порядка (лорядка (ЕИ Ь).
Гл. Х1. Плоские задачи и теория трещин Ус>+ Угп = — 2Т = —, а а» ЕТ 1 — с 1 — с' (3.19) Здесь Уг> и Уггг — величины, зависящие функциональным образом от распределения внешних нагрузок, от полн ускорений (массовых сил инерции), размеров и формы трещин и законов притока тепла. Равенства (3.19), написанные для концов всех трепшн, могут служить добавочными условиями в упругой задаче для определения законов развития внутренних разрывов— трещин. Статическое решение задачи теории упругости с заданной щелью можно найти при любых формах и размерах щели и при любых внешних нагрузках.
В каждом решении получаются свои Угг и Угп. Если для данного конца щели Уст + Усгн ( (ЕТУ(1 — а~) ), то при Уаг ~+ Я>+ О будет концентрация напряжений, но не будет развития щели каь трещины. Расчетные упругие поля, в которых Угг + Ус>г ) (ЬТУ(1 — о')), неосуществимы. Равенства (3.19) являются в теории трещин основными соотношениями, добавочными к уравнениям и условиям теории упругости. Эти соотношения, тесно связанные с идеей Гриффитса, были установлены и применены к решению многочисленных задач о равновесии и распространении трещин Ирвином (1957 г.) и затем рядом других авторов. Полезно подчеркнуть, что для каждой отдельной трещины будет, вообще говоря, не одно, а два соотношения типа (3.19).
В частных случаях, например, при наличии симметрии число существенных соотношений (3.19) сокращается. В общем случае соотношения (3.19) определяют не только длины трещин, но и их расположение в теле. Из равенства (3.19) видно, что условие об Об отсутствии кокцеятра- отсутствии концентрации напряжений у цяи яаярвжеиий концов щели или трещины, т. е. равенство нулю коэффициентов интенсивности напряжений Угг и Уг>г, может иметь место только в том случае, когда у == О или ИУУз — — О.
ная как следствие разъясненных выше допущений, принята авторами, разрабатывающими механическую теорию трещин. Эта теория во многих случаях хорошо соответствует опытам. С помощью (3.18) из основного уравнения условие, определяющее (3.8) при условии, что б(У„= убВ = у 281 Развит"е твещвкы и 6>.,У** =- О, ввиду произвольности вариации бУ у каждого развивающегося края трещины получается фундаментальное равенство, регулирующее решение упругой задачи с учетом дни>кения концов трещины, 1 3.
Теория трещин 551 й~~ + 1сп ( 1 2т, (3.20) причем в этом случае концы щели фиксированы. Переход от неравенства (3.20) к равенству (3.19) определяет критические условия для внешних нагрузок, действующих на тело. Выше были установлены локальные условия на концах трещины. Этих условий достаточно для решения с помощью теории упругости глобальной задачи о не- установившемся деформировании образца, внутри которого имеются трещины. Решение динамической задачи для тела в целом с использованием условия (3.19) в зависимости от формы тела и вида нагрузок может соответствовать лавинообразному ускоренному неустойчивому развитию трещины, приводящему к разрушению образца, или устойчивому процессу, в котором для последовательного увеличения размеров трещины требуетоя прикладывать все большие нагрузки.
Небесполезно подчеркнуть, что проблема разрушения тел представляет собой глобальную задачу, не связанную непосредственно с локальными условиями па концах трещин; однако локальное предельное условие на конце трещины должно выполняться как в случае устойчивого, так и в случае неустойчивого развития трещины, и 'поэтому это условие моягет быть использовано как необходимое условие при решении соответствующих задач. В ряде случаев локальное условие (3.19) является достаточным критерием неустойчивости, приводящей к разрушению тела. Приведем некоторые примеры неустойчивого развития трещин.
Устойчивый и неустой- чивый процесс развития трещины Это может быть тогда, когда в направлении роста трещины два тела просто прижаты друг к другу (не склеены) и не взаимодействуют мегкду собой силами сцепления, противодействующими разъединению тела. Выше была рассмотрена такого рода задача (см. стр. 524). Очевидно, что в задачах о развитии треФввеврованвые щели щинв реальных телах всегда имеется расход и РаэвивающиесЯ тРещины энергии, н поэтому всегда у + О. Сл едовательно, в рамках линейной теории упругости у заостренных концов щели и трещины всегда имеет место концентрация напряжений. Трещина отличается от простой щели (геометрически они могут быть одинаковыми) только тем, что для трещины выполняется равенство (3.19), а для щели вместо равенства (3.19) имеет место неравенство 552 Гл.
ХП Плоские задачи н теория трещин Плоскость с крямолинсй- ной трещиной, ио берегам которой распределены постоянные нормалыяяс напряжения Рассмотрим бесконечную плоскость, ослабленную прямолинейной трещиной (х!( а, у — О. Пусть по берегам трещины распределены раздвигающие ее берега нормальные напряжения р,с= — д(х), р„=О при (х( .а у=О, Коэффициент интенсивности напряжений йг определяется при этом выражением (2.10) и, согласно (3.19), условие развития трещинка имеет ввд Прн Е(5) = р, = сопзФ коэффициент интенсивности напряжений (см. (2.21)) равен йг = р рГяа и предельное условие (3.21) записывается в виде е'г рс рс г яа (1 — сс) (3.22) где через р, обозначена величина напряжения рщ при которой происходит разрыв щели.! Согласно (3.22) критическое значение напряжения р, убывает с ростом цлины трещины 2а.
Поэтому при фиксированном давлении рс распространение трещины будет носить неустойчивый характер. Очевидно, что развитие трещины' будет иметь неустойчивый характер и в том случае, когда берега трещины свободны от напряжений, а плоскость испытывает всестороннее растяжение под действием постоянного напряясения рс на бесконечности. Коэффициентинтенсивностинапряжений кг в этом случае также определяется формулой (2.21), а критическое значение р,' растягивающего напряя,ения р, — формулой (3.22).
В случае одноосного растяжения упругой Одноосяос растщксвис плоскости с трещиной (х( ~( а, р = О напряжениями р, в бесконечности под углом О, к оси х (рис. 178), коэффициенты интенсивности напряжений йг и йп согласно (2.22) имеют значения йс =рс')'глаз(птбс, )си = рс р'яаз1п9ссозйс и условие предельного равновесия щели согласно (3.19) $3.
Теория трещин 553 запишется в виде Плоскость с трещиной, иа фяксирозанном участие берегов которой распределены постоянные нормальные раздвигающие напряжения ь — с$ = агой рг (* а+5 2р0 'г' а Ь Ул,) У', 5* 'г' а' — Ь' — ь Условие развития трещины (3.19) принимает вид 1 яят 1 Ь Рс= Пс= 2 Ь а(1 — са (агс1о р, ° с) Легко усмотреть, что в этом случае ре с ростом длины трещины Рис. 190. Трещина ( а ( ~( а, у = О под действием нормальных разрывающих постоянных напряжений ра, распределенных на отрезке ( а ! ~ Ь (Ь а„а) В = О, Ь = сонет. а возрастает и, следовательно, процесс распространения тре- щины при фиксированных р, и Ъ может остановиться.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
